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martes, 13 de diciembre de 2016

Longitud de un arco de una curva

Vamos a trabajar en este post en la deducción de la longitud de un arco de una curva en un intervalo finito.
Para empezar debemos decir que si tenemos dos puntos \({P}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\)\({P}_{2}\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\) dibujado en una gráfica, la distancia entre estos dos puntos es.
Distancia-entre-dos-puntos
Pero si el punto \({P}_{2}\) tiende o se acerca al punto \({P}_{1}\) en esa misma medida \({x}_{2}\rightarrow {x}_{1}\) y por tanto \(\Delta x={x}_{2}-{x}_{1}\) también tiende a cero \(\Delta x\rightarrow 0 \).
Así que reescribiendo la expresión que nos permite calcular la distancia entre dos puntos vamos a tener que la distancia entre ellos es.
Distancia-diferencial-de-s
Ahora bien vamos a dividir los dos miembros de esta expresión entre \(\Delta x\).
Simplificación-de-expresión
Ahora vamos a obtener los límites de los dos miembros de la igualdad cuando \(\Delta x\rightarrow 0 \), teniendo presente que.
\(\begin{align*}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta x}=\frac{ds}{dx}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}\end{align*}\)
Así que vamos a tener que:
Derivada-de-s
Y si la función \(y=f\left(x\right)\) es continua en un intervalo \(\left[a,b\right]\),y \(y'\) es derivable en este intervalo, entonces la longitud de un arco de una curva en un intervalo finito \(\left[a,b\right]\) es igual a la integral definida de miembro derecho de la expresión diferencial para \(s\).
Longitud-de-un-arco-de-una-curva
Longitud de un arco de una curva usando parámetros
Para obtener una expresión  de la longitud de una curva en donde \(x\) e \(y\) estén expresadas en términos de un parámetro \(t\), lo que haremos es expresar \(y'\) en términos de derivadas parametricas es decir.
Derivada-en-forma-parametrica
Así que reescribiremos la expresión de longitud de un curva en coordenadas rectangulares sustituyendo \(y'\) por su igual en forma parametrica.
ds-en-forma-parametrica
ds-en-forma-parametrica
Así que la longitud de un arco en donde \(x\)\(y\) están expresado en término de \(t\) en un intervalo de \(\left[{t}_{1},{t}_{2}\right]\) está dado por la integral.
Longitud-de-un-arco-en-forma-parametrica
Longitud de un arco de una curva dada en forma polar
Primero recordemos que el punto de coordenadas polares \(\left(r,\theta\right)\) es equivalente al punto de coordenadas rectangulares \(\left(rcos{\theta},rsin{\theta}\right)\), por lo tanto.
\(x=rcos{\theta}\)
\(y=rsin{\theta}\)
Por lo que entonces usaremos la expresión para la longitud de un arco cuando \(x\)\(y\) están en forma parametrica sustituyendo el parámetro \(t\) por \(\theta\), de donde entonces la expresión se transforma en.
Longitud-de-un-arco-en-forma-parametrica
Ahora lo que procede es hallar \(x'\left(\theta\right)\)\(y'\left(\theta\right)\).
derivada-de-x-e-y-respecto-de-theta
Ahora vamos a encontrar \({\left[x'\left(\theta\right)\right]}^{2}\)\({\left[y'\left(\theta\right)\right]}^{2}\).
Cuadrados-de-las-derivadas-de-x-e-y-respecto-de-theta
Y sumaremos ahora \({\left[x'\left(\theta\right)\right]}^{2}+{\left[y'\left(\theta\right)\right]}^{2}\)
Suma-de-los-cuadrados-de-las-derivada-de-x-e-y-respecto-de-theta
Así que la longitud de un arco en coordenadas polares en un intervalo \(\left[{\theta}_{1},{\theta}_{2}\right]\) es.
Longitud-de-un-arco-de-una-curva-en-coordenadas-polares
Nota: En un próximo artículo estaremos abordando de manera puntual algún ejemplo que ilustre la aplicación de este artículo, así que cuando este artículo esté listo dejaremos un enlace en este artículo, pero si usted desea ser el primero en ver este artículo le sugerimos suscribirse a este blog