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viernes, 16 de diciembre de 2016

Longitud de una circunferencia

En este post vamos a estar aplicando las expresiones de integrales definidas para la longitud de un arco de una curva, vamos a deducir la fórmula que nos permite calcular la longitud de la circunferencia de un círculo.
Circunferencia-roja
Muchos de los lectores de este blog sabemos que la longitud de la circunferencia de un círculo viene dada por.
Fórmula de la longitud de una circunferencia con radio R
Lo que haremos en este post es llegar a esta fórmula usando la expresión integral para la longitud de una curva en coordenadas rectangulares, parametricas y polares, debemos decir que este artículo es una continuación del artículo [Longitud de un arco de una curva] por lo que le sugerimos para una mayor comprensión de este artículo ver ese artículo.

Longitud de una circunferencia usando coordenadas rectangulares
La ecuación que representa el lugar geométrico de una circunferencia con su centro en el punto \(\left(0,0\right)\)
 es.
\({x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}\)
La longitud de un arco de una curva en coordenadas rectangulares es.
Longitud-del-arco-de-una-curva
Lo primero que hacemos es despejar \(y\) y derivarla respecto de \(x\) para así obtener el valor de \(y'\).
Despeje-de-y-y-su-derivada
Ahora sustituiremos en la expresión (1)  \(y'\) y tomaremos 
\(a=0\) y \(b=R\) que representa el intervalo en donde la longitud de la circunferencia es una cuarta parte de su longitud total, entonces la longitud total de una circunferencia será igual a 4 veces la expresión del miembro derecho de la expresión (1) .
Obtención-de-la-longitud-de una-circunferencia
Obtención-de-la-longitud-de-una-circunferencia
Y como se puede ver luego de una ardua simplificación hemos llegados a la fórmula que permite calcular la longitud de la circunferencia de un círculo cuyo radio es \(R\).
Fórmula-que-permite-calcular-la-longitud-de-una-circunferencia-de-radio-R

Longitud de una circunferencia usando usando coordenadas parametricas
Para obtener la longitud de la circunferencia usando coordenadas expresadas en forma parametrica, tomaremos \({x}^{2}=t\) por tanto \(x\)\(y\) en términos de \(t\) son.
x-e-y-en-función-de-t
Así que la derivadas de \(x\)\(y\) respecto de \(t\) son.
Derivadas-de-x-e-y-respecto-a-t
Como \(x\) está expresada en términos de \(t\), tenemos que redefinir el intervalo de integración que va a ser.
Intervalo-de-integración-parametrica
Así que ahora estamos listos para empezar a integral para obtener la longitud de una circunferencia con coordenadas en forma parametricas.
Longitud-de-una-circunferencia-en-coordenadas-parametricas
Longitud-de-una-circunferencia-en-coordenadas-parametricas
Longitud-de-una-circunferencia-en-coordenadas-parametricas
Y una vez más hemos llegado a la fórmula que nos permite obtener la longitud de la circunferencia de un círculo con radio \(R\).
Fórmula-que-permite-calcular-la-longitud-de-una-circunferencia-de-radio-R

Longitud de una circunferencia usando coordenadas polares
Para hallar la longitud de la circunferencia usando coordenadas polares vamos a hallar la ecuación de un círculo en coordenadas polares, para esto sustituiremos \(x\)\(y\) por \(r\cos{\theta}\)\(r\sin{\theta}\) respectivamente en la ecuación de una circunferencia en coordenadas rectangulares y simplificamos.
Ecuación-de-una-circunferencia-en-coordenadas-polares
Ya sabiendo que la ecuación que  representa una circunferencia con centro \(\left(0,0\right)\) en coordenadas polares es \(r=R\) derivamos \(r\) respecto de \(\theta\), y sabiendo que el giro de una circunferencia va desde un ángulo \(\theta=0\) hasta \(\theta=2\pi\) , entonces integramos en el intervalo que va de \(\theta=0\) hasta \(\theta=2\pi\).
Longitud de una circunferencia en coordenadas polares
Y una vez más llegamos a la fórmula que nos permite calcular la longitud de la circunferencia de un círculo con radio \(R\) en coordenadas polares es.
Fórmula-que-permite-calcular-la-longitud-de-una-circunferencia-de-radio-R
Como se ha podido notar la forma más simple para calcular la longitud de una circunferencia es en coordenadas polares, por último debemos decir que muchas de la expresiones que se usan en este articulo fueron desarrollada en el artículo [Longitud de un arco de una curva]. 


Vea también

Longitud de un arco de una curva

Identidades trigonométricas pitagoricas

Reglas de derivación e integración