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viernes, 30 de diciembre de 2016

Parábola y circunferencia en combinación

En este post estaremos viendo como combinar los conceptos foco de una parábola, lado recto de una parábola , vértice de un parábola y ecuación canónica de una parábola con vértice en el origen y la ecuación general de la circunferencia, así como también la ecuación canónica de una circunferencia con centro \(C\left(h,k\right)\) en la resolución de un problema de geometría elemental.
Primero recordemos que la ecuación canónica para una parábola con vértice en el origen \(V\left(0,0\right)\), foco \(F\left(p,0\right)\) y cuyo eje coincide con el eje x es.

Gráfica-de-una-parábola
Como muestra la figura el lado recto de una parábola es el segmento de recta que comunica los puntos extremos A, B y el foco F, así que si la coordenada \(x\) del foco F es \(p\) que es la coordenada \(x\) de los puntos A y B, entonces las coordenadas \(y\) de los puntos extremos del lado recto AB son.
Puntos-extremos-del-lado-recto-de-una-parábola
Es importante dejar esto claro para que podamos usar estos conceptos en la resolución del siguiente problema.
Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola \({y}^{2}-8x=0\) y recrear el gráfico de la parábola y la circunferencia.
Solución:
Para encontrar la ecuación de una circunferencia debemos conocer como mínimo tres puntos por donde pase esta circunferencia, y para resolver este problema los tres puntos van a ser, el vértice de la parábola \(V\left(0,0\right)\) y los dos puntos extremos que deben ser igual a \(A\left(p,2p\right)\)\(B\left(p,-2p\right)\).
Sabemos que la ecuación de la parábola coincide con la forma canónica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas \(\left(0,0\right)\), y cuyo eje parabólico coincide con el eje \(x\).
Forma-canónica-de-una-parábola
Ahora igualamos el coeficiente 8 a \(4p\) para encontrar la coordenada \(x\) del foco \(p\).
Foco-de-parábola
Ya conociendo el punto focal \(F\left(p,0\right)\) podemos calcular los puntos extremos del lado recto de la parábola, que son.
Puntos-extremos-de-lado-recto-de-la-parábola
Bueno conocemos el vértice de la parábola y los dos puntos extremos del lado recto de la parábola que son \(V\left(0,0\right)\)\(A\left(2,4\right)\)\(B\left(2,-4\right)\), y ya estamos listos para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por estos tres puntos.

Ecuación-de-la-circunferencia
Y la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos de esta parábola es.
Ecuación-general-de-la-circunferencia
Pero para graficar esta ecuación es mucho más fácil expresarla en su forma canónico u ordinaria, así que ahora vamos a obtener la forma canónica de esta ecuación.
Ecuación-canónica-de-la-circunferencia
Podemos observar de la ecuación canónica que el radio es 5 y la coordenada del centro de la circunferencia es \(C\left(5,0\right)\), ahora si podemos mostrar la gráfica de la parábola y de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola.
Gráfico-de-la-parábola-y-la-circunferencia
Gráfico-de-la-parábola-y-la-circunferencia
Y curiosamente esta gráfica tiene cierta similitud con el ocular de un ojo humano !curioso, bien curioso¡.
parábola,-circunferencia-y-similitud-al-ocular-de-un-ojo