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miércoles, 18 de enero de 2017

Punto de intersección entre una recta que es tangente a dos circunferencia y una recta que pasa por los centros de las dos circunferencias

En este post traemos a este blog la resolución de un problema, en el trabajarán juntos el cálculo y la teoría de una línea recta en el plano [en especial la pendiente y la ecuación de la recta [y=mx+b].
Así que sin más preámbulos veamos el problema.
Hallar la distancia \(c\) respecto del centro de una circunferencia \({C}_{1}\) a la que una recta tangente a esta y a otra circunferencia \({C}_{2}\)´intercepta la recta que une los centros de estas circunferencias como muestra la imagen.
Rectas tangentes a dos circunferencias que interceptan la recta que une los centros
Para mas simplicidad hemos tomado el centro de \({C}_{1}\) en el punto \(\left(0,0\right)\) y el centro de \({C}_{2}\) en el punto \(\left(r,0\right)\), y supondremos que la recta \(l\) intercepta la recta que une los dos centros de las circunferencias que en este caso especial es el eje x, por lo que si encontramos este punto de intersección el problema queda resuelto, ya que conoceríamos el valor de \(c\) que es la distancia respecto de la circunferencia \({C}_{1}\) a la que la recta tangente tanto a \({C}_{1}\) como a \({C}_{2}\) intercepta el la recta que pasa por los dos centros.
Solución:
Primero plateamos las ecuaciones que representan \({C}_{1}\)\({C}_{2}\) y despejamos \(y\), luego buscamos una ecuación para la pendiente en cualquier punto \(x\) de ambas circunferencias que se reduce simplemente a encontrar las derivadas de \(y\) respecto de \(x\).
Ecuaciones de las circunferencias
Como \(l\) es tangente a \({C}_{1}\) por arriba del eje \(x\) tomamos entonces la ecuación que representa estos puntos como.
Ecuaciín de la circunferencia 1 por arriba del eje x
Como \(l\) es tangente a \({C}_{2}\) por debajo del eje \(x\) tomamos la ecuación que representa estos puntos como.
Ecuaciín de la circunferencia 2 por debajo del eje x
Así que ahora obtenemos las derivadas de \({C}_{1}\)\({C}_{2}\).
Derivadas de ecuaciones de circunferencias
Ahora hallamos las dos formas posibles que puede tener la ecuación de la recta \(l\), dado que tenemos dos ecuaciones generales de pendientes pero un solo punto por donde la recta \(l\) debe pasar \(\left(c,0\right)\).
Ecuación de la recta l
Ahora encontramos el punto en que \(l\) es tangente a \({C}_{1}\).
Punto de tangencia de circunferencia 1

Ahora también encontramos el punto en que \(l\) es tangente a \({C}_{2}\).
Punto de tangencia de circunferencia 2
Punto de tangencia de circunferencia 2
Ahora calculamos la pendiente de la recta \(l\) tomando como referencia el punto \(p\left(c,0\right)\) y el punto tangente a \({C}_{1}\)\({p}_{1}\).
Pendiente de recta l
Ahora encontramos la pendiente para \(l\), tomando como referencia el punto \(p\left(c,0\right)\) y el punto tangente a \({C}_{2}\)\({p}_{2}\).
Pendiente de recta l
Por último como \({m}_{1}\)\({m}_{2}\) representan la misma pendiente de la recta \(l\), igualamos \({m}_{1}={m}_{2}\) para hallar el valor de \(c\) que es lo que nos interesa.
Valor de c
Valor de c
Resolvemos la ecuación cuadrática para hallar \(c\).
Valor de c

Y tomando \(c\) como el valor positivo \({c}_{1}\), tenemos que la distancia respecto a la circunferencia \({C}_{1}\), a la que la recta \(l\) intercepta la recta que pasa por los centros de dos circunferencias con radios \({r}_{1}\)\({r}_{2}\) y cuyos centros están separados una distancia \(r\) es.
Valor de c

Vea también

Ecuación de la recta

Reglas básicas de derivadas

Depeje de una variable