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martes, 7 de febrero de 2017

Medida de la circunferencia de la tierra según Eratóstenes

Bueno vamos a ver en este post como pudo el matemático griego Eratóstenes medir aproximadamente la longitud de la circunferencia de la tierra.
Decimos aproximadamente ya que en sus cálculos por ejemplo Eratóstenes asume que la tierra es perfectamente esférica, lo que hoy día sabemos que no es así.
Aunque para la época en que Eratótenes hizo estos cálculo, se puede pasar por alto cualquier posible error en las apreciaciones y mediciones del globo terráqueo.
Y dicho esto vamos a analizar los pasos básicos que dio Eratóstenes que le llevaron a la conclusión de que la circunferencia terrestre mide aproximadamente 250,000 estadios.
Longitud de un arco de un círculo
Si conocemos la longitud \(S\) de una circunferencia y conocemos el ángulo \(\beta\) que un arco \(\Delta s\) suscribe como muestra la figura, sabiendo que un giro completo de una circunferencia mide \({360}^{\circ}\), entonces \(\Delta s\) viene dado por la fórmula.
Longitud de un arco de un círculo
Resulta que mediante trabajos de campo Eratóstenes averiguó que la longitud \(\Delta s\) que representa la distancia entre Siena y Alejandría era de 5000 estadios, el se dio cuenta de que en una temporada del año los rayos solares impactaban perpendicularmente la superficie de la cuidad de Siena, así que en esa misma temporada el científico clavó una vara en la ciudad de Alejandría, dándose cuenta de que la vara proyectaba una sombra, Eratóstenes entonces midió con las herramientas de su época el ángulo respecto a la longitud de la vara a la que se proyectaba la sombra, y la pregunta es ¿Por que midió la longitud de este ángulo?
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Resulta que el ángulo \(\theta\) es el mismo ángulo al que se encuentra Siena de Alejandria, según sus suposiciones los rayos solares se transmiten paralelos entre si, pero perpendiculares a la superficie de la cuidad de Siena, así que si se considera la tierra perfectamente esférica, entonces podemos demostrar que el ángulo \(\beta\) que muestra la siguiente figura es igual al ángulo \(\theta\).
Rayos solares incidiendo en la superficie
El rayo A rojo forma un ángulo \(\theta\) con la vara en Alejandria y a su vez observamos que \(\theta\) es un ángulo del triángulo rectángulo \(\Delta AEO\),entonces hallando las relaciones para el ángulo \(z\) demostraremos que \(\theta=\beta\).
Demostración de que theta es igual a beta
Y sabiendo esto procedemos a despejar \(S\) de la relación dada al principio de este artículo que nos permite calcular una pequeña porción de longitud de una circunferencia \(\Delta s\).
Longitud completa de una circunferencia
Y según el artículo de wikipedia [Historia de Eratóstenes], Eratóstenes obtuvo \(\beta={7.2}^{\circ}\) como la separación angular entre Siena y Alejandria, y \(\Delta s=5000\)estadios como la distancia entre ambas, así que con estos datos podemos confirmar la medida que obtuvo Eratóstenes para la circunferencia terrestre que fue de \(S=250000\)estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes
Pero Erastóstenes según cuenta la historia rectificó el ángulo entre Siena y Alejandria en \(\beta={7.14}^{\circ}\), así que con este cambio la nueva longitud de la circunferencia que obtuvo fue de 252000 estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes