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martes, 18 de abril de 2017

Ángulo externo a una circunferencia y problemas resueltos

En esta post vamos a continuar hablando de la aplicación del tema [Ángulo central, inscrito, interior y externo a una circunferencia], a la solución de problemas relacionados con este tema.
Este problema que analizaremos a continuación, a mi parecer es un ejemplo de lo que es el dibujo geométrico hecho con esplendidez, ya que el mismo dibujo nos inspira a llegar a su solución analítica.

1- El ángulo 1 es externo a un número infinito de circunferencias, ya que los rayos de este interceptan cada circunferencia exactamente en los mismos cuatros puntos, formando dos arcos que son iguales en cada circunferencia, si en cada circunferencia se forma un rombo y la distancia del vértice interior a una circunferencia del rombo a el centro de dicha circunferencia es directamente proporcional al radio de dicha circunferencia, ¿Hallar la medida enésima de los arcos menores y mayores de todas las circunferencias que siguen el mismo patrón de la siguiente figura?
Ángulo-externo-a-un-número-infinito-de-circunferencias
Solución:
El problema nos dice que la distancia de un punto interior del círculo que coincide con el vértice de un rombo \(d\) es directamente proporcional al radio \({r}_{n}\), así que se cumple que \(d=k{r}_{n}\) , siendo \(k\) la constante de proporcionalidad.
Lo primero que haremos es lanzar una línea auxiliar que vaya del vértice interior del rombo a el punto de intercesión de dos circunferencias consecutivas y uno de los rayos del ángulo 1, también colocamos el radio del circulo desde el centro hasta este punto de intercesión, el objetivo es hallar la distancia \(h\) mediante el teorema de pitágoras, y luego encontrar el ángulo \(\theta\) que representa la mitad de la medida del arco mayor del enésimo círculo en el patrón, así que la medida del arco mayor de cualquier círculo en el patrón debe ser igual al doble de este ángulo, todo estos cálculos se muestran a continuación.
Obtención-del-arco-CD
Obtención-del-arco-CD
Obtención-del-arco-CD
Así que la medida de un arco \(\widehat{CD}\) en una enésima circunferencia del patrón presentado en el problema es.
Medida-del-arco-CD
En donde \(k\) está dentro del intervalo \(0< k \leq 1\), así que la medida del arco \(\widehat{CD}\) está en el intervalo \(180< k \leq 0\).
Para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\), la encontraremos usando la fórmula que nos permite obtener el ángulo externo a una circunferencia, de donde despejaremos este arco como se muestra continuación.
Obtención-del-arco-AB
Y la medida del arco \(\widehat{AB}\) en una enésima circunferencia del patrón descrito en el problema es igual a:
Medida-del-arco-AB
Y bueno, sería interesante resolver un ejercicio con datos numéricos que nos permita observar como se aplican las fórmulas deducidas en este artículo.

2- Si un ángulo externo a un número infinito de circunferencias como muestra la figura 1 mide 47.96º, y sabemos que la constante de proporcionalidad entre la distancia \(d\) que va desde el vértice interior de un rombo dentro de una enésima circunferencia al centro de esta es 0.291. ¿Cuánto miden los arcos mayores y menores que forman los rayos del ángulo externo al interceptar cada circunferencia?.
Ángulo-externo-a-un-número-infinito-de-circunferencias
Solución:
Para solucionar este ejercicio lo primero que hacemos es organizar los datos que nos ofrecen, el ejercicio dice que la constante de proporcionalidad es 0.291, así que \(k=0.291\) y la medida del ángulo externo a todas las circunferencia en el patrón es igual 47.96º, con estos dos datos podemos determinar la medida del arco \(\widehat{AB}\) que representa todos los arcos menores de cada circunferencia y \(\widehat{CD}\) que representa todos los arcos mayores.

Solución-de-ejercicio-2
Y la medidas de los arcos menores y mayores son 50.24º y 146.16º respectivamente.

Vea también

Problema 1

Ángulo central, inscrito, interno y exterior a una circunferencia

lunes, 3 de abril de 2017

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia y problemas resueltos

Vamos en este post a ver como se aplican los conceptos, ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia a la resolución de ejercicios y problemas, así que para una mayor comprensión de los ejemplos les recomiendo ver el artículo [Ángulo central, inscrito, interior y exterior a una circunferencia].
Y sin más preámbulos comencemos...
1) Si los ángulo \(x\)\(y\) siguen las direcciones que se muestran figura 1.
a) Si \(x\) mide 20º y el ángulo \(y\) mide 60º ¿Cuántos grados miden los arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\)?
b) Encontrar una fórmula para los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), en función de los ángulos \(x\)\(y\).
figura 1
Solución:
Como \(x\) es un ángulo externo a la circunferencia de la figura 1, vamos a utilizar la fórmula que nos permite calcular la medida de este ángulo en función de la medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como \(y\) es un ángulo interior a la circunferencia vamos a usar la relación matemática que nos permite calcular su medida en función de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como se puede observar en la figura 1, los rayos de los ángulos \(x\) e \(y\) pasan o describen los mismos arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\).
Fórmulas-de-los-ángulos-internos-y-externo-a-una-circunferencia
Así que sustituiremos \(m\angle x\) por 20º y \(m\angle y\) por 60º, y formaremos un sistema de ecuaciones en donde las variables metas seran los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\) y resolvemos nuestro sistema de ecuación por el método de reducción.
Resolución-de-problema-1
Ahora sustituimos el valor de \(m\widehat{CD}\) en la expresión \(m\widehat{CD}+m\widehat{AB}={120}^{\circ}\) para obtener \(m\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) miden 40º y 80º respectivamente.
b) Al igual que la solución a la parte a) vamos a encontrar una relación matemática para el arco \(\widehat{DC}\) en función de las medidas de los ángulos \(x\)\(y\), vamos a sumar las fórmulas que se usan para calcular los ángulos \(x\)\(y\), ya que esto nos permite eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\) en función de las medidas de \(x\)\(y\), a la medida del ángulo \(y\) le restaremos la medida del ángulo \(x\), para de esta manera eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{DC}\).
Resolución-de-problema-1
Y las medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) en función de la medidas de los ángulos \(x\)\(y\) son.
Resolución-de-problema-1
2) Demostrar que si los rayos de cualquier ángulo inscrito en una circunferencia pasan por el diámetro de esta, entonces estos ángulos miden 90º.
Solución:
Para hacer esta demostración vamos a dibujar tres ángulos 1, 2 y 3 que pasen por la cuerda diametral AB como muestra la figura 2.
figura-2
Y como podemos observar en la figura 2, la medida del arco \(\widehat{AB}\) es igual a la medida del ángulo llano central, y como todos sabemos este ángulo es la mitad de un ángulo con un giro de 360º es decir mide 180º. Con este dato y sabiendo que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a mitad del arco que suscribe, se cumple que las medidas de los ángulos 1, 2 y 3 son.
Solucion-de-problema-2
Y queda demostrado que cualquier ángulo inscrito cuyos rayos pasen por la cuerda del diámetro mide 90 grados.

Vea también

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia

Problema resuelto 2