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martes, 18 de julio de 2017

Matriz inversa

En este breve post vamos a estar hablando de como se define una matriz inversa y como obtener una matriz inversa de segundo y tercer orden de una matriz con estos mismos ordenes.
Sea \(A\) una matriz cuadrada de cualquier orden, sea \(B\) la matriz inversa de \(A\) y sea \(C\), una matriz unidad del mismo orden de \(A\), entonces si una matriz \(A\) al ser multiplicada por una matriz \(B\), da como resultado la matriz unidad \(C\), entonces podemos decir que \(B\) es la matriz inversa de \(A\) es decir \(B={A}^{-1}\), expresado esto matemáticamente tenemos:
definición de matriz inversa
La matriz inversa \({A}^{-1}\) de una matriz \(A\), es aquella matriz que hay ser multiplicada por \(A\) da como resultado la matriz unidad \(C\).
Y como ya hemos hablado de una matriz unidad en la definición de matriz inversa, debemos decir que una matriz unidad es aquella cuyo determinante es igual a uno. 
La siguientes matrices son ejemplos de matrices unidad:
matrices unidades
Así que los determinantes de  \({C}_{i}\left(i=1,2,3\right)\) son iguales a uno \(det\left({C}_{i}\right)=1;\left(i=1,2,3\right)\).
Aplicando la definición de matriz vamos ha hallar la matriz inversa de la siguientes matrices.
matrices R1, R2 y R3
Y como no conocemos aún los coeficientes de las matrices inversas \({{R}_{i}}^{-1}\left(i=1,2,3\right)\), asumiremos que estos son \({x}_{i}\left(1,2,\cdot \cdot \cdot ,{n}^{2}\right)\) en donde \(n\) es el orden de la matriz, y la cantidad de elementos de una matriz inversa sera igual \({n}^{2}\), así que la matrices inversas de \({R}_{i}\left(i=1,2,3\right)\) son:
matrices inversas de R1, R2 y R3
Aplicando la definición de matriz inversa a \({R}_{1}\), vamos a averiguar los valores de las variables \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\).
Obtención de la matriz R1
Y después de solucionar los sistema de ecuaciones (1) y (2), tenemos que las variables son:
solución de los sistemas de ecuaciones 1 y 2
Así que la matriz inversa de \({R}_{1}\) es:
matriz inversa de R1

Y la inversa de la matriz \({R}_{2}\), la vamos a obtener de manera análoga a como obtuvimos la inversa de \({R}_{1}\), así que básicamente daremos exactamente los mismo pasos.
Primero aplicamos la definición de matriz inversa, para de esta manera averiguar los valores de \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\):
Obtención de la matriz R2
Ahora resolvemos los sistema (1) y (2), dándonos las soluciones:
solución de los sistema 1 y 2
Así que la matriz inversa de \({R}_{2}\) es:
matriz inversa R2
Y la ´matriz \({R}_{3}\) al igual que la dos matrices \({R}_{1}\)\({R}_{2}\), le aplicaremos el mismo procedimiento, la única diferencia es que \({R}_{3}\) es una matriz de tercer orden así que esta nos generará ecuaciones con un máximo de tres incógnitas.
Así que aplicando la definición de matriz inversa a \({R}_{3}\), vamos a obtener las variables \({x}_{1},{x}_{2},\cdot \cdot\cdot,{x}_{9}\).
Obtención de la matriz R3

Obtención de la matriz R3

Obtención de la matriz R1

sistema de ecuaciones 1, 2 y 3
Y la solución a los sistema (1), (2) y (3) son:
solución de los sistema 1, 2 y 3
Así que la matriz inversa \({R}_{3}\) es:
matriz inversa de R3

Fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz de segundo orden.
Sea \(A\) una matriz cuadrada de segundo orden y sea \({A}^{-1}\) su inversa y además sea \(C\) una matriz unidad de segundo orden, usando la definición de matriz inversa vamos a obtener una fórmula estándar que nos permita calcular la matriz inversa de una matriz inversa de segundo orden fácilmente:
Obtención de fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz de segundo orden cuadrada
Solucionando los sistemas (1) y (2), para \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\), tenemos.
solución de los sistema 1 y 2
Y la matriz inversa de una matriz \(A\) de segundo orden es:
Matriz inversa de A
Pero resulta que el determinante de la matriz \(A\) es \({a}_{1}\dot {a}_{4}-{a}_{2}\dot {a}_{3}\), podemos reescribir la inversa de \(A\) de una forma más elegante, como se muestra a continuación:
matriz inversa de A
Así que, si una matriz \(A\) es de segundo orden y es no singular entonces su matriz inversa es:
definición formal de matriz inversa de segundo orden cuadrada
Para probar esta fórmula vamos a aplicarla a las matrices \({R}_{1}\)\({R}_{2}\), dada más arriba, entonces vamos a obtener las inversas de ambas matrices cuadradas de segundo orden; todo el proceso de obtención se muestra a continuación.
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Y como se puede observar, usando esta fórmula obtenemos el mismo resultado que obtuvimos más arriba cuando utilizamos la definición de una matriz inversa.