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lunes, 19 de junio de 2017

Área de un círculo y definición informal de límites

En este post vamos a ver como obtener el área de un círculo usando el método de modelado exhaustivo usando la definición informal de límite.
Cuando un polígono regular inscrito en una circunferencia aumenta su número de lados también aumenta su área, y podemos decir que el límite del área de un polígono regular inscrito en una circunferencia cuando su número de lados (n) tiende a infinito, es igual al área del círculo en el que está inscrito.
Pero también sabemos que cuando un polígono regular circunscrito en una circunferencia incrementa su número de lados disminuye su área, acercándose a el área del círculo que circunscribe cuando su número de lados se aproxima a infinito.
Tal como muestra la siguiente imagen de polígonos regulares inscritos y circunscritos, los polígonos en la medida que aumentan su número de lados, en esta misma medida sus respectivas áreas se acercan a el área del círculo considerado.
Polígono-inscrito-y-circunscrito-a-una-circunferencia
Así que lo que haremos ahora es encontrar dos fórmulas para el área de un polígono inscrito y circunscrito en función del número de lados (n) que contengan.
Para encontrar esta relación matemática para un polígono regular inscrito en una circunferencia nos auxiliaremos de la siguiente gráfica.
Polígono-inscrito-a-una-circunferencia
Utilizando la función trigonométrica seno, vamos a obtener la longitud \(x\), que es la mitad de la base del triángulo isósceles \(\Delta OAB\) y luego por medio del teorema de pitágoras hallaremos una relación para la altura \(y\), todo esto se muestra a continuación.
 Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-regular-inscrito
Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-regular-inscrito
Por lo que el área del triángulo \(\Delta OAB\) es.
Área-de-un-subtriángulo-inscrito-en-una-circunferencia
Y el área polígono completo es igual al número de lados \(n\) que tiene el polígono multiplicado por el área de uno de los subtriángulos, es decir si el polígono tiene \(n=5\), entonces este polígono está compuesto de 5 subtriángulo, si \(n=6\) el polígono se compone de 6 subtriángulos, si \(n=7\) de 7 subtriángulos y así sucesivamente.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia
Pero resulta que \(\beta=\frac{360^{\circ}}{n}\), así que el área de un polígono en función de su número de lados \(n\) la podemos reescribir así.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lados
Así que el área de un polígono inscrito en una circunferencia en función de su número de lados \(n\) es.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lados

Ahora encontraremos una función que nos permita calcular el área de un polígono circunscrito de (n) lados a una circunferencia, para empezar nuestro análisis que es semejante al de un polígono inscrito nos guiaremos del siguiente gráfico.
Polígonos-circunscritos-en-una-circunferencia
Usaremos la función trigonométrica tangente, para averiguar la longitud x que es la mitad de la longitud de la base del triángulo \(\Delta OAB\) y la altura sabemos que es \(r\), como se observa a continuación.
Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-circunscrito
Por lo tanto el área del triángulo \(\Delta OAB\) es .
Área-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia
Entonces el área total de un polígono circunscrito a una circunferencia con radio \(r\), es igual al área del triángulo \(\Delta OAB\) multiplicado por el número de lados \(n\) que contenga el polígono considerado.
Área-total-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia
Así que el área de un polígono circunscrito en una circunferencia de radio \(r\), en función de su número de lados \(n\) es.
Área-total-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lado

Área de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia cuando \(n\) se aproxima a infinito
Haremos uso de la definición informal de límites para averiguar el límite del área de un polígono regular inscrito y circunscrito cuando \(n\rightarrow \infty\), para hacer estas pruebas vamos a tomar un \(n\) bastante grande como \(n=1000\) que nos de una buena visión del área de un polígono inscrito y circunscrito bajo estas condiciones, así primero vamos a trabajar con la fórmula para el área de un polígono regular inscrito cuando \(n\rightarrow 1000\).
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites
Ahora hacemos la misma prueba con \(n\rightarrow 1000000\).
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
Haremos estas mismas pruebas usando la fórmula del área de un polígono regular circunscrito, así que primero vamos a tomar \(n\rightarrow 1000\).
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000
Ahora hacemos la pruebas de exhaución anteriores cuando \(n\rightarrow 1000000\)
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
En conclusión podemos observar que mientras más grande es el valor al que se aproxima \(n\), con más presición nos aproximamos a la constante pi (\(\pi\)), aunque el área de los polígonos circunscritos tienden mas lentamente, entonces es evidente que cuando \(n\) se aproxima a un valor suficientemente grande osea cuando \(n\rightarrow \infty\), el área de un polígono regular inscrito y circunscrito es igual a un número constante multiplicado por el radio \(r\) elevado al cuadrado, que es el área de un círculo.
Este número constante valga la redundancia es igual al famoso número \(\pi\), lo que se expresa matemáticamente así.
área de un círculo

Teorema del emparedado o encajado
Con este teorema podemos demostrar fácilmente el área de un círculo como la que obtuvimos de manera exhaustiva con la definición informal de límites.
Este teorema establece que si tenemos tres funciones \(h\left( x\right),f\left( x\right),g\left( x\right)\) y se cumple que 
desigualdad del teorema del emparedado
para todo x exepto posiblemente en \(c\) y
teorema del emparedado
Entonces el \(\lim _{n \to c}f\left(x\right)\) existe y es igual a \(L\).

En la siguiente gráfica de un polígono inscrito y circunscrito a una circunferencia se puede observar claramente que el área del polígono regular inscrito \({A}_{total-I}\) es menor que el área del polígono circunscrito \({A}_{total-C}\), y esto se cumple para cualquier valor \(n\) de lados de los polígonos.
Gráfica de una circunferencia y un polígno inscrito y circunscrito con n lados
Esta gráfica se traduce simbólicamente como.
desigualdad para usar el teorema del emparedado
De donde se tiene que para todo \(n\) mayor o igual a 3 que:
Demostración de la desigualdad para usar el teorema del emparedado para el área de un círculo
Gráficamente esta relación del área del polígono inscrito y circunscrito y el área de un círculo para \(n\geq3\) se ve así.
Gráfica que muestra el área tanto de un polígono regular inscrito como circunscrito en función de su número n de lados y el área del círculo que inscriben y circunscriben
Y como más arriba se demostró que :
demostración del área de un círculo usando la definición informal de límites
Lo que por el teorema del emparedado o encajado concluimos entonces que el área de un círculo \({A}_{círculo}\) es:
Área de un círculo
Vea también

Definición informal de límites

Perímetro y área de un polígono regular

lunes, 29 de mayo de 2017

Límites y propiedades básicas

Siguiendo con las matemáticas detrás del tema de límites, vamos en esta ocasión a tratar las propiedades básicas aplicadas a la simplificación de ejercicios que solicitan el límite de una función, pero para esto primero nos referiremos a las propiedades básicas de límites.
Sabemos que el límite de una función f cuando x se aproxima a un valor c puede existir independientemente de que la función f esté definida en x=c, así que se da el caso de que el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a c sea igual a f(c).
Atendiendo a que lo anterior sea cierto osea que el límite de una función f(x) cuando x tiende a c sea f(c), podemos escribir las propiedades de algunos límites básicos.

Sean \(s\) y \(c\) número reales y \(n\) un número positivo, y sean \(f\) y \(g\) funciones cuyos límites son.
Limite-de-funcion-f(x)-y-g(x)

Límite de una función constante \(f\left(x\right)=k\).
Es igual a la misma constante.
Limite de una funcion constante
Ejemplos
Limite de funciones constante

Límite del producto de una constante y una función.
Es igual a la constante por el límite de la función.
Limite del producto de una constante por una funcion
Ejemplos
Limite del producto de funciones por constantes

Límite de la suma o diferencia de dos funciones.
Es igual a la suma de los límites de ambas funciones o a la diferencias de los límites de ambas funciones.
Limite de la suma o diferencia de dos funciones
Ejemplos
Limite de la sumas o diferencias de funciones

Límite del producto de dos funciones
Es igual al producto de los límites de ambas funciones.
Limite del producto de dos funciones
Ejemplos
Limite del producto de funciones

Límite del cociente de dos funciones.
Es igual al cociente de los límites de ambas funciones, siempre que el límite de la función denominador sea diferente de cero.
Limite del cociente de dos funciones
Ejemplos
Limite del cociente de funciones

Límite de una función elevada a un exponente \(n\) positivo.
Es igual al límite de la función elevada al exponente \(n\).
Limite de una potencia
Ejemplos
Limite de funciones elevadas a exponente n positivo

Límite de una función radical con índice radical par e impar
Si \(n\) es positivo e impar entonces tiene el siguiente límite para cualquier valor real de \(c\).
Limite de una funcion radical con indice impar
Ejemplos
Limite de funciones radicales con indice impar
Si \(n\) es positivo y par y \(c>0\), entonces el límite es.
Limite de una funcion radical con indice par
Ejemplos
Limite de funciones radicales con indice impar

Límite de una función compuesta de otra función
Si \(f\) y \(g\) son funciones compuestas de modo que \(f\) es igual a \(f\left(g\left(x\right)\right)\), y el límite de \(g\) es \(\lim_{x\rightarrow c} g\left(x\right)=L\) y \(\lim_{x\rightarrow L} f\left(x\right)=f\left(L\right)\), entonces se cumple que:
Limite de una funcion compuesta
Ejemplos
1- Si \(f\left(x\right)={x}^{2}\)\(g\left(x\right)=2x+1\), hallar \(\lim_{x\rightarrow 1} f\left(g\left(x\right)\right)\).
Solución:
Primero obtenemos el límite de \(g\).
Limite de una funcion compuesta
2- Si \(f\left(x\right)={x}^{2}+x\) y \(g\left(x\right)={x}^2\), hallar \(\lim_{x\rightarrow 2} f\left(g\left(x\right)\right)\).
Solución:
Encontramos el límite de \(g\). Luego encontramos el límite de \(f\) cuando \(x\) se aproxima al límite \(L\) de \(g\).
Limite de una funcion compuesta

Límites de las funciones trigonométricas básicas
Son aquellos límites aplicados a funciones trigonométricas.
Limites de funciones trigonometricas
Ejemplos
Limites de funciones trigonometricas
Limites de funciones trigonometricas
Vea también

Definición informal y formal de límites