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lunes, 21 de agosto de 2017

Matriz inversa y solución de un sistema de ecuaciones

En este artículo vamos a ver como aplicamos lo que es una matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuación.
Como muchos de los lectores ya saben que un sistema de ecuaciones en dos variables se puede escribir como se muestra a continuación.
Sistema de ecuaciones en forma matricial
Si nombramos la matriz que contiene los coeficientes de las diferentes variables como \(A\), y los términos independientes los colocamos en la matriz \(B\), y si además las variables las colocamos en la matriz de variables \(X\), entonces la ecuación anterior la podemos expresar en forma matricial así:
Ecuación matricial
Si despejamos la matriz \(X\), entonces podemos observar que la matriz \(X\), viene dada como se muestra a continuación.
Solución de un sistema de ecuaciones usando matriz inversa
Así que la solución de un sistema de ecuación la podemos obtener multiplicando la matriz inversa de \(A\) por la matriz de coeficientes independientes \(B\).

Veamos algunas soluciones de sistemas de ecuaciones en dos y tres variables usando productos matriciales y la inversa de una matriz  como se muestra a continuación.
1- Solucionar el sistema:
Sistema de ecuación
Solución:
Primero, identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\) que es:
Matriz de coeficientes de variables A de un sistema de ecuación
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Vector de términos independientes de un sistema de ecuaciones
Tercero, expresamos la matriz de variables a resolver en término del producto de la matriz inversa de \(A\) y el vector de coeficientes independientes o matriz columna \(B\).
Matriz de solución de variables de un sistema en término de la matriz inversa y el vector de coeficientes
Cuarto, hallamos la matriz inversa de \(A\), si no sabe como obtener la inversa de una matriz clic en [Matriz inversa]:
Matriz inversa de la matriz de coeficientes de variables del sistema de ecuación
Quinto y último paso, resolvemos el producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz columna o vector \(B\) y obtenemos los valores de cada variable en la matriz \(X\).
Obtención de la matriz de variables solución X

2- Solucionar el sistema
Sistema de ecuaciones
Solución:
Como en la solución del ejemplo (1), en este también vamos a dar los mismos cinco pasos anteriores.
Primero, identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\), que es:
matriz de coeficientes de variables del sistema
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Matriz de términos independientes B
Tercero, colocamos la matriz de variables a resolver en función del producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz de coeficientes \(B\), como se muestra a continuación:
Matriz de variables en término de la matriz inversa de A y la matriz B
Cuarto, hallamos la matriz inversa de \(A\):
Matriz inversa de A
Y por último solucionamos el producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz \(B\), y de esta manera determinamos los valores de la variables contenidas en la matriz \(X\).
Encontrando la solución de la matriz X

Y como último ejemplo de aplicación de una matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuaciones, vamos a resolver un sistema en tres variables.
3-Resolver el sistema
Sistema de ecuación 3
Solución:
Como en la soluciones anteriores, primero identificamos la matriz de coeficientes de variables \(A\) que es:
Matriz de coeficientes de variables A
Segundo, identificamos la matriz de coeficientes independientes \(B\) que es:
Matriz columna o vector B
Tercero, colocamos la matriz solución de variables en función del producto de la matriz inversa de \(A\) y la matriz o vector de coeficientes independientes \(B\).
Expresión de la matriz solución X, en función de la matriz inversa de A y el vector B
Cuarto, encontramos la matriz inversa de \(A\):
Matriz inversa de A
Y finalmente resolvemos el producto de la matriz inversa de \(A\) y el vector de coeficientes independientes \(B\), y de esta manera obtenemos los valores de las respectivas variables del sistema de ecuaciones dados.
Solución de la matriz de variables X

Como se puede observar, a partir de un sistema de ecuación de tres variables, este método de encontrar la matriz inversa de la matriz de coeficientes de las variables involucradas se vuelve complejo, por los muchos cálculos numéricos que habría que realizar, por lo que a partir de un sistema de cuatro variables, resulta más factible usar otros métodos de solución, como por ejemplo el método de reducción de matrices, usando gauss-jordan.

Vea también

Matriz inversa


Regla de cramer para resolver un sistema de ecuación.

Método de reducción suma y resta, y la solución de un sistema de ecuación.

martes, 18 de julio de 2017

Matriz inversa

En este breve post vamos a estar hablando de como se define una matriz inversa y como obtener una matriz inversa de segundo y tercer orden de una matriz con estos mismos ordenes.
Sea \(A\) una matriz cuadrada de cualquier orden, sea \(B\) la matriz inversa de \(A\) y sea \(C\), una matriz unidad del mismo orden de \(A\), entonces si una matriz \(A\) al ser multiplicada por una matriz \(B\), da como resultado la matriz unidad \(C\), entonces podemos decir que \(B\) es la matriz inversa de \(A\) es decir \(B={A}^{-1}\), expresado esto matemáticamente tenemos:
definición de matriz inversa
La matriz inversa \({A}^{-1}\) de una matriz \(A\), es aquella matriz que hay ser multiplicada por \(A\) da como resultado la matriz unidad \(C\).
Y como ya hemos hablado de una matriz unidad en la definición de matriz inversa, debemos decir que una matriz unidad es aquella cuyo determinante es igual a uno. 
La siguientes matrices son ejemplos de matrices unidad:
matrices unidades
Así que los determinantes de  \({C}_{i}\left(i=1,2,3\right)\) son iguales a uno \(det\left({C}_{i}\right)=1;\left(i=1,2,3\right)\).
Aplicando la definición de matriz vamos ha hallar la matriz inversa de la siguientes matrices.
matrices R1, R2 y R3
Y como no conocemos aún los coeficientes de las matrices inversas \({{R}_{i}}^{-1}\left(i=1,2,3\right)\), asumiremos que estos son \({x}_{i}\left(1,2,\cdot \cdot \cdot ,{n}^{2}\right)\) en donde \(n\) es el orden de la matriz, y la cantidad de elementos de una matriz inversa sera igual \({n}^{2}\), así que la matrices inversas de \({R}_{i}\left(i=1,2,3\right)\) son:
matrices inversas de R1, R2 y R3
Aplicando la definición de matriz inversa a \({R}_{1}\), vamos a averiguar los valores de las variables \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\).
Obtención de la matriz R1
Y después de solucionar los sistema de ecuaciones (1) y (2), tenemos que las variables son:
solución de los sistemas de ecuaciones 1 y 2
Así que la matriz inversa de \({R}_{1}\) es:
matriz inversa de R1

Y la inversa de la matriz \({R}_{2}\), la vamos a obtener de manera análoga a como obtuvimos la inversa de \({R}_{1}\), así que básicamente daremos exactamente los mismo pasos.
Primero aplicamos la definición de matriz inversa, para de esta manera averiguar los valores de \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\):
Obtención de la matriz R2
Ahora resolvemos los sistema (1) y (2), dándonos las soluciones:
solución de los sistema 1 y 2
Así que la matriz inversa de \({R}_{2}\) es:
matriz inversa R2
Y la ´matriz \({R}_{3}\) al igual que la dos matrices \({R}_{1}\)\({R}_{2}\), le aplicaremos el mismo procedimiento, la única diferencia es que \({R}_{3}\) es una matriz de tercer orden así que esta nos generará ecuaciones con un máximo de tres incógnitas.
Así que aplicando la definición de matriz inversa a \({R}_{3}\), vamos a obtener las variables \({x}_{1},{x}_{2},\cdot \cdot\cdot,{x}_{9}\).
Obtención de la matriz R3

Obtención de la matriz R3

Obtención de la matriz R1

sistema de ecuaciones 1, 2 y 3
Y la solución a los sistema (1), (2) y (3) son:
solución de los sistema 1, 2 y 3
Así que la matriz inversa \({R}_{3}\) es:
matriz inversa de R3

Fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz de segundo orden.
Sea \(A\) una matriz cuadrada de segundo orden y sea \({A}^{-1}\) su inversa y además sea \(C\) una matriz unidad de segundo orden, usando la definición de matriz inversa vamos a obtener una fórmula estándar que nos permita calcular la matriz inversa de una matriz inversa de segundo orden fácilmente:
Obtención de fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz de segundo orden cuadrada
Solucionando los sistemas (1) y (2), para \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) y \({x}_{4}\), tenemos.
solución de los sistema 1 y 2
Y la matriz inversa de una matriz \(A\) de segundo orden es:
Matriz inversa de A
Pero resulta que el determinante de la matriz \(A\) es \({a}_{1}\dot {a}_{4}-{a}_{2}\dot {a}_{3}\), podemos reescribir la inversa de \(A\) de una forma más elegante, como se muestra a continuación:
matriz inversa de A
Así que, si una matriz \(A\) es de segundo orden y es no singular entonces su matriz inversa es:
definición formal de matriz inversa de segundo orden cuadrada
Para probar esta fórmula vamos a aplicarla a las matrices \({R}_{1}\)\({R}_{2}\), dada más arriba, entonces vamos a obtener las inversas de ambas matrices cuadradas de segundo orden; todo el proceso de obtención se muestra a continuación.
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Ejercicios resueltos de la aplicación de la fórmula que permite obtener la matriz inversa de una matriz cuadrada de segundo orden
Y como se puede observar, usando esta fórmula obtenemos el mismo resultado que obtuvimos más arriba cuando utilizamos la definición de una matriz inversa.

lunes, 19 de junio de 2017

Área de un círculo y definición informal de límites

En este post vamos a ver como obtener el área de un círculo usando el método de modelado exhaustivo usando la definición informal de límite.
Cuando un polígono regular inscrito en una circunferencia aumenta su número de lados también aumenta su área, y podemos decir que el límite del área de un polígono regular inscrito en una circunferencia cuando su número de lados (n) tiende a infinito, es igual al área del círculo en el que está inscrito.
Pero también sabemos que cuando un polígono regular circunscrito en una circunferencia incrementa su número de lados disminuye su área, acercándose a el área del círculo que circunscribe cuando su número de lados se aproxima a infinito.
Tal como muestra la siguiente imagen de polígonos regulares inscritos y circunscritos, los polígonos en la medida que aumentan su número de lados, en esta misma medida sus respectivas áreas se acercan a el área del círculo considerado.
Polígono-inscrito-y-circunscrito-a-una-circunferencia
Así que lo que haremos ahora es encontrar dos fórmulas para el área de un polígono inscrito y circunscrito en función del número de lados (n) que contengan.
Para encontrar esta relación matemática para un polígono regular inscrito en una circunferencia nos auxiliaremos de la siguiente gráfica.
Polígono-inscrito-a-una-circunferencia
Utilizando la función trigonométrica seno, vamos a obtener la longitud \(x\), que es la mitad de la base del triángulo isósceles \(\Delta OAB\) y luego por medio del teorema de pitágoras hallaremos una relación para la altura \(y\), todo esto se muestra a continuación.
 Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-regular-inscrito
Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-regular-inscrito
Por lo que el área del triángulo \(\Delta OAB\) es.
Área-de-un-subtriángulo-inscrito-en-una-circunferencia
Y el área polígono completo es igual al número de lados \(n\) que tiene el polígono multiplicado por el área de uno de los subtriángulos, es decir si el polígono tiene \(n=5\), entonces este polígono está compuesto de 5 subtriángulo, si \(n=6\) el polígono se compone de 6 subtriángulos, si \(n=7\) de 7 subtriángulos y así sucesivamente.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia
Pero resulta que \(\beta=\frac{360^{\circ}}{n}\), así que el área de un polígono en función de su número de lados \(n\) la podemos reescribir así.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lados
Así que el área de un polígono inscrito en una circunferencia en función de su número de lados \(n\) es.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lados

Ahora encontraremos una función que nos permita calcular el área de un polígono circunscrito de (n) lados a una circunferencia, para empezar nuestro análisis que es semejante al de un polígono inscrito nos guiaremos del siguiente gráfico.
Polígonos-circunscritos-en-una-circunferencia
Usaremos la función trigonométrica tangente, para averiguar la longitud x que es la mitad de la longitud de la base del triángulo \(\Delta OAB\) y la altura sabemos que es \(r\), como se observa a continuación.
Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-circunscrito
Por lo tanto el área del triángulo \(\Delta OAB\) es .
Área-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia
Entonces el área total de un polígono circunscrito a una circunferencia con radio \(r\), es igual al área del triángulo \(\Delta OAB\) multiplicado por el número de lados \(n\) que contenga el polígono considerado.
Área-total-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia
Así que el área de un polígono circunscrito en una circunferencia de radio \(r\), en función de su número de lados \(n\) es.
Área-total-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lado

Área de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia cuando \(n\) se aproxima a infinito
Haremos uso de la definición informal de límites para averiguar el límite del área de un polígono regular inscrito y circunscrito cuando \(n\rightarrow \infty\), para hacer estas pruebas vamos a tomar un \(n\) bastante grande como \(n=1000\) que nos de una buena visión del área de un polígono inscrito y circunscrito bajo estas condiciones, así primero vamos a trabajar con la fórmula para el área de un polígono regular inscrito cuando \(n\rightarrow 1000\).
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites
Ahora hacemos la misma prueba con \(n\rightarrow 1000000\).
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
Haremos estas mismas pruebas usando la fórmula del área de un polígono regular circunscrito, así que primero vamos a tomar \(n\rightarrow 1000\).
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000
Ahora hacemos la pruebas de exhaución anteriores cuando \(n\rightarrow 1000000\)
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
En conclusión podemos observar que mientras más grande es el valor al que se aproxima \(n\), con más presición nos aproximamos a la constante pi (\(\pi\)), aunque el área de los polígonos circunscritos tienden mas lentamente, entonces es evidente que cuando \(n\) se aproxima a un valor suficientemente grande osea cuando \(n\rightarrow \infty\), el área de un polígono regular inscrito y circunscrito es igual a un número constante multiplicado por el radio \(r\) elevado al cuadrado, que es el área de un círculo.
Este número constante valga la redundancia es igual al famoso número \(\pi\), lo que se expresa matemáticamente así.
área de un círculo

Teorema del emparedado o encajado
Con este teorema podemos demostrar fácilmente el área de un círculo como la que obtuvimos de manera exhaustiva con la definición informal de límites.
Este teorema establece que si tenemos tres funciones \(h\left( x\right),f\left( x\right),g\left( x\right)\) y se cumple que 
desigualdad del teorema del emparedado
para todo x exepto posiblemente en \(c\) y
teorema del emparedado
Entonces el \(\lim _{n \to c}f\left(x\right)\) existe y es igual a \(L\).

En la siguiente gráfica de un polígono inscrito y circunscrito a una circunferencia se puede observar claramente que el área del polígono regular inscrito \({A}_{total-I}\) es menor que el área del polígono circunscrito \({A}_{total-C}\), y esto se cumple para cualquier valor \(n\) de lados de los polígonos.
Gráfica de una circunferencia y un polígno inscrito y circunscrito con n lados
Esta gráfica se traduce simbólicamente como.
desigualdad para usar el teorema del emparedado
De donde se tiene que para todo \(n\) mayor o igual a 3 que:
Demostración de la desigualdad para usar el teorema del emparedado para el área de un círculo
Gráficamente esta relación del área del polígono inscrito y circunscrito y el área de un círculo para \(n\geq3\) se ve así.
Gráfica que muestra el área tanto de un polígono regular inscrito como circunscrito en función de su número n de lados y el área del círculo que inscriben y circunscriben
Y como más arriba se demostró que :
demostración del área de un círculo usando la definición informal de límites
Lo que por el teorema del emparedado o encajado concluimos entonces que el área de un círculo \({A}_{círculo}\) es:
Área de un círculo
Vea también

Definición informal de límites

Perímetro y área de un polígono regular