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lunes, 29 de mayo de 2017

Límites y propiedades básicas

Siguiendo con las matemáticas detrás del tema de límites, vamos en esta ocasión a tratar las propiedades básicas aplicadas a la simplificación de ejercicios que solicitan el límite de una función, pero para esto primero nos referiremos a las propiedades básicas de límites.
Sabemos que el límite de una función f cuando x se aproxima a un valor c puede existir independientemente de que la función f esté definida en x=c, así que se da el caso de que el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a c sea igual a f(c).
Atendiendo a que lo anterior sea cierto osea que el límite de una función f(x) cuando x tiende a c sea f(c), podemos escribir las propiedades de algunos límites básicos.

Sean \(s\) y \(c\) número reales y \(n\) un número positivo, y sean \(f\) y \(g\) funciones cuyos límites son.
Limite-de-funcion-f(x)-y-g(x)

Límite de una función constante \(f\left(x\right)=k\).
Es igual a la misma constante.
Limite de una funcion constante
Ejemplos
Limite de funciones constante

Límite del producto de una constante y una función.
Es igual a la constante por el límite de la función.
Limite del producto de una constante por una funcion
Ejemplos
Limite del producto de funciones por constantes

Límite de la suma o diferencia de dos funciones.
Es igual a la suma de los límites de ambas funciones o a la diferencias de los límites de ambas funciones.
Limite de la suma o diferencia de dos funciones
Ejemplos
Limite de la sumas o diferencias de funciones

Límite del producto de dos funciones
Es igual al producto de los límites de ambas funciones.
Limite del producto de dos funciones
Ejemplos
Limite del producto de funciones

Límite del cociente de dos funciones.
Es igual al cociente de los límites de ambas funciones, siempre que el límite de la función denominador sea diferente de cero.
Limite del cociente de dos funciones
Ejemplos
Limite del cociente de funciones

Límite de una función elevada a un exponente \(n\) positivo.
Es igual al límite de la función elevada al exponente \(n\).
Limite de una potencia
Ejemplos
Limite de funciones elevadas a exponente n positivo

Límite de una función radical con índice radical par e impar
Si \(n\) es positivo e impar entonces tiene el siguiente límite para cualquier valor real de \(c\).
Limite de una funcion radical con indice impar
Ejemplos
Limite de funciones radicales con indice impar
Si \(n\) es positivo y par y \(c>0\), entonces el límite es.
Limite de una funcion radical con indice par
Ejemplos
Limite de funciones radicales con indice impar

Límite de una función compuesta de otra función
Si \(f\) y \(g\) son funciones compuestas de modo que \(f\) es igual a \(f\left(g\left(x\right)\right)\), y el límite de \(g\) es \(\lim_{x\rightarrow c} g\left(x\right)=L\) y \(\lim_{x\rightarrow L} f\left(x\right)=f\left(L\right)\), entonces se cumple que:
Limite de una funcion compuesta
Ejemplos
1- Si \(f\left(x\right)={x}^{2}\)\(g\left(x\right)=2x+1\), hallar \(\lim_{x\rightarrow 1} f\left(g\left(x\right)\right)\).
Solución:
Primero obtenemos el límite de \(g\).
Limite de una funcion compuesta
2- Si \(f\left(x\right)={x}^{2}+x\) y \(g\left(x\right)={x}^2\), hallar \(\lim_{x\rightarrow 2} f\left(g\left(x\right)\right)\).
Solución:
Encontramos el límite de \(g\). Luego encontramos el límite de \(f\) cuando \(x\) se aproxima al límite \(L\) de \(g\).
Limite de una funcion compuesta

Límites de las funciones trigonométricas básicas
Son aquellos límites aplicados a funciones trigonométricas.
Limites de funciones trigonometricas
Ejemplos
Limites de funciones trigonometricas
Limites de funciones trigonometricas
Vea también

Definición informal y formal de límites

miércoles, 17 de mayo de 2017

Definición informal y formal de límites

En este post estaremos abordando las definiciones básicas con las que hay que trabajar para poder dar soluciones a ejercicios que involucren límites.

Definición informal de límites
Debemos decir que el límite de una función en un punto definido existe, cuando nos acercamos a este punto por la derecha y por la izquierda tan próximo como sea posible y por ambos lados la función se acerca o tiende a un mismo valor es decir si queremos comprobar la existencia del límite de la función cuando x tiende o se acerca a 2.
funcion-matemática
A simple vista podemos observar que f(x) no está definida en x=2 ya que se produce la indeterminación 0/0, pero esto no quiere decir que la función aun así no tenga límite cuando x tiende a 2, si nos acercamos a 2 tanto por la izquierda como por la derecha, es decir tomando por la izquierda valores muy próximo a 2 pero menores a 2 y tomando por la derecha valores muy próximo a 2 pero ligeramente mayores que 2, como muestra la siguiente tabla de doble entrada.
tabla de valores de una funcion
Es más que evidente que en la medida que x se aproxima por la izquierda y por la derecha a 2, en esa medida también converge o se aproxima f(x) a 12, por lo que podemos concluir que el límite de esta función cuando x tiende a 2 es 12, simbólicamente lo expresamos así.

Lo que nos lleva a concluir intuitivamente la definición informal de límites.

Si una variable independiente x se acerca o tiende a un valor c, tanto por la izquierda como por la derecha y en ese mismo orden la función f(x) tiende, se aproxima o converge a un valor L, entonces L representa ese límite.
Limite de f(x) cuando x tiende a c

Veamos un ejercicio de aplicación de la definición informal de límites.
Limite-de-una-funcion
Solución:
Como se puede observar esta función no está definida en x=0, ya que da como resultado una indeterminación ya que resulta 0/0, pero esto no significa que no exista un límite L, cuando nos acercamos por la izquierda o por la derecha a 0. Así que evaluaremos la función en diferentes valores de x en la vecindad o proximidad de x=0.
evaluación de la existencia de un limite con el método informal
Y los datos tabulados se ven así

Lo que nos lleva a concluir de una manera informal que el límite de la función analizada cuando x tiende a cero es uno.
Limite de una funcion

Definición formal de límites
Si f es una función definida en un intervalo abierto donde c está dentro de dicho intervalo y f posiblemente no esté definida en c y sea L un número real, Podemos decir que:

Si se cumple que para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta >0\) tal que si \(0<\left |x-c\right |<\delta\) entonces \(\left |f\left(x\right)-L\right |<\varepsilon\)

A esta definición también se le conoce como epsilon-delta (\(\varepsilon-\delta\)).
La desigualdad \(0<\left |x-c\right |\) quiere decir que la distancia de un punto x a c es mayor que 0, y la segunda desigualdad \(\left |x-c\right |<\delta\) significa que x está a una distancia de c menor que \(\delta\).
Mientras que \(\left |f\left(x\right)-L\right |<\varepsilon\) significa que \(f\left(x\right)\) está dentro del intervalo \(\left(L-\varepsilon,L+\varepsilon\right)\), minetras que \(c\) se encuentra dentro del intervalo \(\left(c-\delta,c+\delta\right)\), gráficamente se ve así.
grafico de epsilon delta
Esta definición al igual que otras definiciones se entiende mucho mas fácil cuando la aplicamos a la resolución de algunos ejercicios.

1-Usar la definición \(\varepsilon - \delta\) de límite para demostrar que:
limite de una funcion
Solución:
Para probar que \(L=2\), probaremos que para todo \(\varepsilon >0\), existe un \(\delta >0\) tal que \(\left|\left(2x-4\right)-2 \right|<\varepsilon\) siempre que se cumpla que \(0<\left|x-3\right|<\delta\), así que lo primero que haremos es establecer una relación entre los valores absolutos \(\left|\left(2x-4\right)-2\right|\) y \(\left| x-3\right|\), como se muestra a continuación.
simplificacion del valor absoluto
De manera que, para todo \(\varepsilon >0\), existe un \(\delta=\frac{\varepsilon}{2}\), de manera que se cumple que:
definicion de delta
Lo que nos lleva a 
definicion-de-epsilon
La siguiente gráfica muestra claramente la relación entre \(\varepsilon\) y \(\delta\), tomamos \(\varepsilon =1\) de donde \(\delta=\frac{\varepsilon}{2}=\frac{1}{2}=0.5\), este valor tan grande de \(\varepsilon\) lo hacemos para vislumbrarlo mejor en la gráfica.
grafico de epsilon delta

2- Dada la función
funcion matematica
Determinar \(\delta\), tal que \(0<\left|x-1\right|<\delta\), se cumple que \(\left|f\left(x\right)-2\right|<0.02\).
Solución:
Lo primero que haremos es mediante algo de álgebra es averiguar los valores extremos de \(x\) que nos permitan inferir un valor de \(\delta\) apropiado, sabemos que \(\left|a\right|=a\) y \(\left|-a\right|=a\), por lo que vamos a encontrar los valores de \(x\) de la siguiente ecuación:
solucion de problema de limites con epsilon delta
solucion de problema de limites con epsilon delta
Solucionamos estas dos ecuaciones en la variable x, lo que nos dará dos valores de los posibles valores extremos que debe tener \(x\) para que se cumpla que \(\left|f\left(x\right)-2\right|<0.02\), y estos son:
solucion de problema de limites con epsilon delta
Ahora elegimos el valor mínimo entre 0.00336 y 0.00331 como el valor de \(\delta\), por tanto tomamos \(\delta=0.00331\).
Por tanto para \(\left|f\left(x\right)-2\right|<0.02\) debe cumplirse que \(0<\left|x-1\right|<0.00331\)
Gráficamente la respuesta se ve así.
Grafica-de-epsilon-delta-numericos

3- Encontrar \(L\) de manera que \(\delta>0\) y \(\left|f\left(x\right)-L\right|<0.01\), cumpliéndose \(0<\left|x-c\right|<\delta\).
matematica-funcion
Solución:
Primero colocamos \(\left|20x-30-L\right|<0.01\), ahora simplificamos \(\left|20x-30-L\right|\) hasta que nos quede en la forma \(\left|x-4\right|<\delta\).
Encontrando el limite
Así que tomamos \(\delta=\frac{0.01}{20}\) y \(\left|x-\left(\frac{L+30}{20}\right)\right|=\left|x-4\right|\), y para que estos dos valores absolutos sean completamente iguales tomamos \(\frac{L+30}{20}=4\), y despejamos el valor de L para el que se cumple esta igualdad, que se corresponde con el límite de la función \(20x-30\) cuando \(x\) tiende a \(4\).
Encontrando el limite
Así podemos expresar explícitamente que:

Vea también

Límites y sus propiedades básicas


Área de un círculo y definición informal de límites

lunes, 3 de abril de 2017

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia y problemas resueltos

Vamos en este post a ver como se aplican los conceptos, ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia a la resolución de ejercicios y problemas, así que para una mayor comprensión de los ejemplos les recomiendo ver el artículo [Ángulo central, inscrito, interior y exterior a una circunferencia].
Y sin más preámbulos comencemos...
1) Si los ángulo \(x\)\(y\) siguen las direcciones que se muestran figura 1.
a) Si \(x\) mide 20º y el ángulo \(y\) mide 60º ¿Cuántos grados miden los arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\)?
b) Encontrar una fórmula para los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), en función de los ángulos \(x\)\(y\).
figura 1
Solución:
Como \(x\) es un ángulo externo a la circunferencia de la figura 1, vamos a utilizar la fórmula que nos permite calcular la medida de este ángulo en función de la medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como \(y\) es un ángulo interior a la circunferencia vamos a usar la relación matemática que nos permite calcular su medida en función de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como se puede observar en la figura 1, los rayos de los ángulos \(x\) e \(y\) pasan o describen los mismos arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\).
Fórmulas-de-los-ángulos-internos-y-externo-a-una-circunferencia
Así que sustituiremos \(m\angle x\) por 20º y \(m\angle y\) por 60º, y formaremos un sistema de ecuaciones en donde las variables metas seran los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\) y resolvemos nuestro sistema de ecuación por el método de reducción.
Resolución-de-problema-1
Ahora sustituimos el valor de \(m\widehat{CD}\) en la expresión \(m\widehat{CD}+m\widehat{AB}={120}^{\circ}\) para obtener \(m\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) miden 40º y 80º respectivamente.
b) Al igual que la solución a la parte a) vamos a encontrar una relación matemática para el arco \(\widehat{DC}\) en función de las medidas de los ángulos \(x\)\(y\), vamos a sumar las fórmulas que se usan para calcular los ángulos \(x\)\(y\), ya que esto nos permite eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\) en función de las medidas de \(x\)\(y\), a la medida del ángulo \(y\) le restaremos la medida del ángulo \(x\), para de esta manera eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{DC}\).
Resolución-de-problema-1
Y las medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) en función de la medidas de los ángulos \(x\)\(y\) son.
Resolución-de-problema-1
2) Demostrar que si los rayos de cualquier ángulo inscrito en una circunferencia pasan por el diámetro de esta, entonces estos ángulos miden 90º.
Solución:
Para hacer esta demostración vamos a dibujar tres ángulos 1, 2 y 3 que pasen por la cuerda diametral AB como muestra la figura 2.
figura-2
Y como podemos observar en la figura 2, la medida del arco \(\widehat{AB}\) es igual a la medida del ángulo llano central, y como todos sabemos este ángulo es la mitad de un ángulo con un giro de 360º es decir mide 180º. Con este dato y sabiendo que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a mitad del arco que suscribe, se cumple que las medidas de los ángulos 1, 2 y 3 son.
Solucion-de-problema-2
Y queda demostrado que cualquier ángulo inscrito cuyos rayos pasen por la cuerda del diámetro mide 90 grados.

Vea también

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia

Problema resuelto 2