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viernes, 13 de enero de 2017

Onda estacionaria en un plano xy

Vamos a ver en este artículo como deducir de una manera no tan compleja la ecuación que describe matemáticamente una onda mecánica estacionaria, en este artículo analizaremos una onda estacionaria que está compuestas de dos ondas viajeras, una se conoce como onda viajera incidente, y la otra se conoce como onda viajera reflejada.
Las ecuaciones que describen una onda incidente \({y}_{a}\) y una reflejada \({y}_{b}\) vienen dada por las ecuaciones respectivas.

El siguiente gráfico muestra las ondas incidente (verde) y reflejada (púrpura) en un instante \(t\).
Onda-incidente-y-reflejada
Ahora bien sabemos que estas ondas son parte de algo más grande, como lo es una onda estacionaria, así que lo que haremos es usar estas dos ecuaciones incidente y reflejada para obtener la ecuación de onda estacionaria.
Para esto representaremos tanto la onda incidente como reflejada como fasores en el plano cartesiano, siendo la magnitud de los fasores de las dos ondas igual a A, el fasor de la onda incidente lo giramos un ángulo \(kx-wt\), mientras el ángulo del fasor de la onda reflejada es \(kx+wt\) , la diferencia entre estos dos ángulos es \(\Delta\beta=2wt\), mientra el fasor resultante de sumar vectorialmente los fasores, C, está a un ángulo \(\alpha=kx\) del eje \(x\).
Gráfico-de-los-fasores-de-onda
Para obtener el fasor resultante C usaremos la ley de los cosenos todo el proceso se muestra a continuación.
Obtención del fasor resultante C

Ahora aplicamos el seno de la mitad de un ángulo.
Obtención del fasor resultante C
Ahora observamos en la siguiente gráfica que el seno de ángulo \(\alpha\) es.
Obtención de la ecuación de onda estacionaria
Obtención de la ecuación de onda estacionaria
Y la ecuación de una onda mecánica estacionaria es.

La siguiente gráfica muestra la onda incidente (verde), la onda reflejada (púrpura) y la onda estacionaria (blanca).
Gráfico de la onda incidente, reflejada y estacionaria

Vea también

Ley de los cosenos

Reflexión en una parábola