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jueves, 5 de enero de 2017

Reflexión en una parábola

En la vida diaria las personas tenemos un conjunto de proyectos, todos dirigidos a un objetivo o meta, en otras palabras los objetivos y metas constituyen nuestro punto focal, ya que todo nuestros sueños y proyectos están enfocado hacia un objetivo especifico como muestra esta imagen. 
Focalización-en-el-lenguaje-cotidiano
Ahora bien que tiene que ver esto con este artículo, pues mucho, por que en matemática, el concepto de foco es similar, por ejemplo el punto focal de una parábola, es el punto hacia donde convergen todas las reflexiones de cualquier recta paralela al eje parabólico que intercepte la parábola, esta rectas paralela al eje parabólico se pueden modelar fácilmente como rayos de luz, que hay chocar con una superficie especular se reflejan hacia el punto focal de la parábola.
Propiedad-reflexiva-de-una-parábola
Como se observa en esta imagen la recta incidente \({l}_{a}\) azul paralela al eje parabólico \(l\) choca con la superficie de la parábola y produce una recta reflejada \({l'}_{a}\) que pasa por el punto focal \(F\left(p,0\right)\), y este mismo comportamiento lo tienen las rectas \({l}_{b}\)\({l}_{c}\)\({l}_{d}\)\({l}_{e}\)\({l}_{f}\), pero la pregunta es ¿Podemos demostrar matemáticamente que cada una de esta rectas se reflejan de manera que sus reflexiones siempre pasan por el punto focal \(F\left(p,0\right)\)?, pues sí, eso es precisamente lo que demostraremos que cada una de las rectas reflejadas entiéndase \({l'}_{a}\)\({l'}_{b}\)\({l'}_{c}\)\({l'}_{d}\)\({l'}_{e}\)\({l'}_{f}\) pasan por el punto focal \(F\left(p,0\right)\) de la parábola \({y}^{2}=4px\).
Lo primero que haremos es obtener una ecuación general para cualquier recta tangente a la parábola, y esta ecuación la podemos obtener derivando implícitamente \({y}^{2}=4px\) y despejando \(\frac{dy}{dx}\) que es la ecuación general de la pendiente de cualquier recta tangente a la parábola.
Ecuación-general-de-la-pendiente-de-una-recta-tangente-a-una-parábola
Ahora despejamos \(y\) de \({y}^{2}=4px\) y sustituimos en \(\frac{dy}{dx}\).

Entonces la pendiente de cualquier recta tangente a la parábola por encima del eje parabólico y el ángulo que forma con una recta incidente es.
Ecuación-general- de-la-pendiente-de-una-recta-tangente-a-una-parábola
Ya sabemos que \(\beta\) es el ángulo formado por cualquier recta tangente a la parábola y la recta incidente \({l}_{i}\) como muestra la siguiente imagen.
Recta-incidente-y-reflejada-en-una-parábola
Y como muestra esta imagen la recta normal \(n\) forma un ángulo \({90}^{\circ}-\beta\) con la recta incidente \({l}_{i}\) y como \({l}_{r}\) es la recta reflejada de \({l}_{i}\)\({l}_{r}\) también forma el ángulo \({90}^{\circ}-\beta\) con la recta normal o perpendicular a la recta tangente \({l}_{t}\) osea \(n\), también observamos en la imagen que los ángulos \(\beta\)\(\alpha\) son complementario por lo que \(\beta+\alpha={90}^{\circ}\), así que \(\alpha={90}^{\circ}-\beta\) , y sabemos que los tres ángulos que conforman el triángulo \(\Delta FAC\) son suplementarios por lo que suman 180º así que lo que haremos ahora es encontrar el valor de \(\theta\).
Ángulo-que-forma-una-recta-reflejada-en-una-parábola
Lo que nos proponemos con todo esto es encontrar la pendiente de la recta reflejada \({m}_{r}\), así que ahora tomaremos la tangente de ambos lados de la igualdad \(\theta=2\beta\), ya que sabemos que \(m\) es igual a \(\tan{\beta}\), para esto usaremos la identidad trigonométrica de la tangente del duplo de un ángulo.
Pendiente-de-una-recta-reflejada
Y como se acaba de demostrar la pendiente \({m}_{r}\) de cualquier recta reflejada es.
Pendiente-de-una-recta-reflejada
Así que vamos ha encontrar ahora \({m}_{r}\)\(y\) en \(x=a\) donde \(a\) es cualquier valor numérico mayor que cero.
Pendiente-de-recta-reflejada-cuando-x=a
Y bueno teniendo la pendiente \({m}_{r}\) y el punto de intersección de la parábola y la recta de reflexión \({l}_{r}\); A, vamos a encontrar la ecuación que representa esta recta, todo se muestra a continuación.
Ecuación-de-una-recta-reflejada-en-una-parábola
Y la ecuación que representa a cualquier recta reflejada que pasa por un punto \(A\left(a,2\sqrt{pa}\right)\) es.
Ecuación-de-una-recta-reflejada-en-una-parábola
Ahora bien lo que demostraremos es que cualquier recta que se refleje de otra recta paralela al eje parabólico de la parábola \({y}^{2}=4px\) debe pasar por el punto focal \(F\left(p,0\right)\), así que para demostrar esto igualaremos \(y\) a cero en la ecuación de la \({l}_{r}\), lo que nos debería dar como resultado \(x=p\), lo que demostraría que efectivamente cualquier recta reflejada pasa por el punto focal F.
Demostración-de-que-la-recta-reflejada-en-una-parábola-pasa-por-(p,0)
Efectivamente las rectas que inciden en la parábola y luego se reflejan, estas últimas pasan por el punto focal de la parábola.
De esta propiedad tan especial de la parábola se desprende la creación de lo dispositivos usados para iluminar en la oscuridad conocido como "FOCOS", también esta propiedad da respuesta al por que de la superficies de los radiotelescopio y muchos telescopios de amplio espectro usan los conceptos de la reflexión de una parábola, ya que una superficie parabólica maximiza la cantidad de luz recogida en el espacio, brindando a los radiotelescoio y telescopio una gran capacidad de oír ondas sonoras y ver ondas electromagnética de luz.
Imagen-de-un-foco
Foco-Crédito de la imagen articulo-mercadolibre.cl
Radiotelescopio
Radio telescopio- crédito de la imagen infobservador.com
Telescopio
Telescopio parabólico- crédito de imagen tuexperto.com
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viernes, 30 de diciembre de 2016

Parábola y circunferencia en combinación

En este post estaremos viendo como combinar los conceptos foco de una parábola, lado recto de una parábola , vértice de un parábola y ecuación canónica de una parábola con vértice en el origen y la ecuación general de la circunferencia, así como también la ecuación canónica de una circunferencia con centro \(C\left(h,k\right)\) en la resolución de un problema de geometría elemental.
Primero recordemos que la ecuación canónica para una parábola con vértice en el origen \(V\left(0,0\right)\), foco \(F\left(p,0\right)\) y cuyo eje coincide con el eje x es.

Gráfica-de-una-parábola
Como muestra la figura el lado recto de una parábola es el segmento de recta que comunica los puntos extremos A, B y el foco F, así que si la coordenada \(x\) del foco F es \(p\) que es la coordenada \(x\) de los puntos A y B, entonces las coordenadas \(y\) de los puntos extremos del lado recto AB son.
Puntos-extremos-del-lado-recto-de-una-parábola
Es importante dejar esto claro para que podamos usar estos conceptos en la resolución del siguiente problema.
Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola \({y}^{2}-8x=0\) y recrear el gráfico de la parábola y la circunferencia.
Solución:
Para encontrar la ecuación de una circunferencia debemos conocer como mínimo tres puntos por donde pase esta circunferencia, y para resolver este problema los tres puntos van a ser, el vértice de la parábola \(V\left(0,0\right)\) y los dos puntos extremos que deben ser igual a \(A\left(p,2p\right)\)\(B\left(p,-2p\right)\).
Sabemos que la ecuación de la parábola coincide con la forma canónica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas \(\left(0,0\right)\), y cuyo eje parabólico coincide con el eje \(x\).
Forma-canónica-de-una-parábola
Ahora igualamos el coeficiente 8 a \(4p\) para encontrar la coordenada \(x\) del foco \(p\).
Foco-de-parábola
Ya conociendo el punto focal \(F\left(p,0\right)\) podemos calcular los puntos extremos del lado recto de la parábola, que son.
Puntos-extremos-de-lado-recto-de-la-parábola
Bueno conocemos el vértice de la parábola y los dos puntos extremos del lado recto de la parábola que son \(V\left(0,0\right)\)\(A\left(2,4\right)\)\(B\left(2,-4\right)\), y ya estamos listos para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por estos tres puntos.

Ecuación-de-la-circunferencia
Y la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos de esta parábola es.
Ecuación-general-de-la-circunferencia
Pero para graficar esta ecuación es mucho más fácil expresarla en su forma canónico u ordinaria, así que ahora vamos a obtener la forma canónica de esta ecuación.
Ecuación-canónica-de-la-circunferencia
Podemos observar de la ecuación canónica que el radio es 5 y la coordenada del centro de la circunferencia es \(C\left(5,0\right)\), ahora si podemos mostrar la gráfica de la parábola y de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola.
Gráfico-de-la-parábola-y-la-circunferencia
Gráfico-de-la-parábola-y-la-circunferencia
Y curiosamente esta gráfica tiene cierta similitud con el ocular de un ojo humano !curioso, bien curioso¡.
parábola,-circunferencia-y-similitud-al-ocular-de-un-ojo