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lunes, 19 de junio de 2017

Área de un círculo y definición informal de límites

En este post vamos a ver como obtener el área de un círculo usando el método de modelado exhaustivo usando la definición informal de límite.
Cuando un polígono regular inscrito en una circunferencia aumenta su número de lados también aumenta su área, y podemos decir que el límite del área de un polígono regular inscrito en una circunferencia cuando su número de lados (n) tiende a infinito, es igual al área del círculo en el que está inscrito.
Pero también sabemos que cuando un polígono regular circunscrito en una circunferencia incrementa su número de lados disminuye su área, acercándose a el área del círculo que circunscribe cuando su número de lados se aproxima a infinito.
Tal como muestra la siguiente imagen de polígonos regulares inscritos y circunscritos, los polígonos en la medida que aumentan su número de lados, en esta misma medida sus respectivas áreas se acercan a el área del círculo considerado.
Polígono-inscrito-y-circunscrito-a-una-circunferencia
Así que lo que haremos ahora es encontrar dos fórmulas para el área de un polígono inscrito y circunscrito en función del número de lados (n) que contengan.
Para encontrar esta relación matemática para un polígono regular inscrito en una circunferencia nos auxiliaremos de la siguiente gráfica.
Polígono-inscrito-a-una-circunferencia
Utilizando la función trigonométrica seno, vamos a obtener la longitud \(x\), que es la mitad de la base del triángulo isósceles \(\Delta OAB\) y luego por medio del teorema de pitágoras hallaremos una relación para la altura \(y\), todo esto se muestra a continuación.
 Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-regular-inscrito
Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-regular-inscrito
Por lo que el área del triángulo \(\Delta OAB\) es.
Área-de-un-subtriángulo-inscrito-en-una-circunferencia
Y el área polígono completo es igual al número de lados \(n\) que tiene el polígono multiplicado por el área de uno de los subtriángulos, es decir si el polígono tiene \(n=5\), entonces este polígono está compuesto de 5 subtriángulo, si \(n=6\) el polígono se compone de 6 subtriángulos, si \(n=7\) de 7 subtriángulos y así sucesivamente.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia
Pero resulta que \(\beta=\frac{360^{\circ}}{n}\), así que el área de un polígono en función de su número de lados \(n\) la podemos reescribir así.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lados
Así que el área de un polígono inscrito en una circunferencia en función de su número de lados \(n\) es.
Área-total-de-un-polígono-inscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lados

Ahora encontraremos una función que nos permita calcular el área de un polígono circunscrito de (n) lados a una circunferencia, para empezar nuestro análisis que es semejante al de un polígono inscrito nos guiaremos del siguiente gráfico.
Polígonos-circunscritos-en-una-circunferencia
Usaremos la función trigonométrica tangente, para averiguar la longitud x que es la mitad de la longitud de la base del triángulo \(\Delta OAB\) y la altura sabemos que es \(r\), como se observa a continuación.
Altura-y-base-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-circunscrito
Por lo tanto el área del triángulo \(\Delta OAB\) es .
Área-de-un-subtriángulo-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia
Entonces el área total de un polígono circunscrito a una circunferencia con radio \(r\), es igual al área del triángulo \(\Delta OAB\) multiplicado por el número de lados \(n\) que contenga el polígono considerado.
Área-total-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia
Así que el área de un polígono circunscrito en una circunferencia de radio \(r\), en función de su número de lados \(n\) es.
Área-total-de-un-polígono-circunscrito-en-una-circunferencia-en-función-de-su-número-de-lado

Área de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia cuando \(n\) se aproxima a infinito
Haremos uso de la definición informal de límites para averiguar el límite del área de un polígono regular inscrito y circunscrito cuando \(n\rightarrow \infty\), para hacer estas pruebas vamos a tomar un \(n\) bastante grande como \(n=1000\) que nos de una buena visión del área de un polígono inscrito y circunscrito bajo estas condiciones, así primero vamos a trabajar con la fórmula para el área de un polígono regular inscrito cuando \(n\rightarrow 1000\).
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites
Ahora hacemos la misma prueba con \(n\rightarrow 1000000\).
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
área de un polígono regular inscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
Haremos estas mismas pruebas usando la fórmula del área de un polígono regular circunscrito, así que primero vamos a tomar \(n\rightarrow 1000\).
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000
Ahora hacemos la pruebas de exhaución anteriores cuando \(n\rightarrow 1000000\)
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
área de un polígono regular circunscrito usando la definición informal de límites usando n=1000000
En conclusión podemos observar que mientras más grande es el valor al que se aproxima \(n\), con más presición nos aproximamos a la constante pi (\(\pi\)), aunque el área de los polígonos circunscritos tienden mas lentamente, entonces es evidente que cuando \(n\) se aproxima a un valor suficientemente grande osea cuando \(n\rightarrow \infty\), el área de un polígono regular inscrito y circunscrito es igual a un número constante multiplicado por el radio \(r\) elevado al cuadrado, que es el área de un círculo.
Este número constante valga la redundancia es igual al famoso número \(\pi\), lo que se expresa matemáticamente así.
área de un círculo

Teorema del emparedado o encajado
Con este teorema podemos demostrar fácilmente el área de un círculo como la que obtuvimos de manera exhaustiva con la definición informal de límites.
Este teorema establece que si tenemos tres funciones \(h\left( x\right),f\left( x\right),g\left( x\right)\) y se cumple que 
desigualdad del teorema del emparedado
para todo x exepto posiblemente en \(c\) y
teorema del emparedado
Entonces el \(\lim _{n \to c}f\left(x\right)\) existe y es igual a \(L\).

En la siguiente gráfica de un polígono inscrito y circunscrito a una circunferencia se puede observar claramente que el área del polígono regular inscrito \({A}_{total-I}\) es menor que el área del polígono circunscrito \({A}_{total-C}\), y esto se cumple para cualquier valor \(n\) de lados de los polígonos.
Gráfica de una circunferencia y un polígno inscrito y circunscrito con n lados
Esta gráfica se traduce simbólicamente como.
desigualdad para usar el teorema del emparedado
De donde se tiene que para todo \(n\) mayor o igual a 3 que:
Demostración de la desigualdad para usar el teorema del emparedado para el área de un círculo
Gráficamente esta relación del área del polígono inscrito y circunscrito y el área de un círculo para \(n\geq3\) se ve así.
Gráfica que muestra el área tanto de un polígono regular inscrito como circunscrito en función de su número n de lados y el área del círculo que inscriben y circunscriben
Y como más arriba se demostró que :
demostración del área de un círculo usando la definición informal de límites
Lo que por el teorema del emparedado o encajado concluimos entonces que el área de un círculo \({A}_{círculo}\) es:
Área de un círculo
Vea también

Definición informal de límites

Perímetro y área de un polígono regular

lunes, 3 de abril de 2017

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia y problemas resueltos

Vamos en este post a ver como se aplican los conceptos, ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia a la resolución de ejercicios y problemas, así que para una mayor comprensión de los ejemplos les recomiendo ver el artículo [Ángulo central, inscrito, interior y exterior a una circunferencia].
Y sin más preámbulos comencemos...
1) Si los ángulo \(x\)\(y\) siguen las direcciones que se muestran figura 1.
a) Si \(x\) mide 20º y el ángulo \(y\) mide 60º ¿Cuántos grados miden los arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\)?
b) Encontrar una fórmula para los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), en función de los ángulos \(x\)\(y\).
figura 1
Solución:
Como \(x\) es un ángulo externo a la circunferencia de la figura 1, vamos a utilizar la fórmula que nos permite calcular la medida de este ángulo en función de la medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como \(y\) es un ángulo interior a la circunferencia vamos a usar la relación matemática que nos permite calcular su medida en función de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\), como se puede observar en la figura 1, los rayos de los ángulos \(x\) e \(y\) pasan o describen los mismos arcos \(\widehat{AB}\) y \(\widehat{CD}\).
Fórmulas-de-los-ángulos-internos-y-externo-a-una-circunferencia
Así que sustituiremos \(m\angle x\) por 20º y \(m\angle y\) por 60º, y formaremos un sistema de ecuaciones en donde las variables metas seran los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{CD}\) y resolvemos nuestro sistema de ecuación por el método de reducción.
Resolución-de-problema-1
Ahora sustituimos el valor de \(m\widehat{CD}\) en la expresión \(m\widehat{CD}+m\widehat{AB}={120}^{\circ}\) para obtener \(m\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) miden 40º y 80º respectivamente.
b) Al igual que la solución a la parte a) vamos a encontrar una relación matemática para el arco \(\widehat{DC}\) en función de las medidas de los ángulos \(x\)\(y\), vamos a sumar las fórmulas que se usan para calcular los ángulos \(x\)\(y\), ya que esto nos permite eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{AB}\).
Resolución-de-problema-1
Y para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\) en función de las medidas de \(x\)\(y\), a la medida del ángulo \(y\) le restaremos la medida del ángulo \(x\), para de esta manera eliminar el término que incluye el arco \(\widehat{DC}\).
Resolución-de-problema-1
Y las medidas de los arcos \(\widehat{AB}\)\(\widehat{DC}\) en función de la medidas de los ángulos \(x\)\(y\) son.
Resolución-de-problema-1
2) Demostrar que si los rayos de cualquier ángulo inscrito en una circunferencia pasan por el diámetro de esta, entonces estos ángulos miden 90º.
Solución:
Para hacer esta demostración vamos a dibujar tres ángulos 1, 2 y 3 que pasen por la cuerda diametral AB como muestra la figura 2.
figura-2
Y como podemos observar en la figura 2, la medida del arco \(\widehat{AB}\) es igual a la medida del ángulo llano central, y como todos sabemos este ángulo es la mitad de un ángulo con un giro de 360º es decir mide 180º. Con este dato y sabiendo que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a mitad del arco que suscribe, se cumple que las medidas de los ángulos 1, 2 y 3 son.
Solucion-de-problema-2
Y queda demostrado que cualquier ángulo inscrito cuyos rayos pasen por la cuerda del diámetro mide 90 grados.

Vea también

Ángulo central, inscrito, interno y externo a una circunferencia

Problema resuelto 2