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martes, 18 de abril de 2017

Ángulo externo a una circunferencia y problemas resueltos

En esta post vamos a continuar hablando de la aplicación del tema [Ángulo central, inscrito, interior y externo a una circunferencia], a la solución de problemas relacionados con este tema.
Este problema que analizaremos a continuación, a mi parecer es un ejemplo de lo que es el dibujo geométrico hecho con esplendidez, ya que el mismo dibujo nos inspira a llegar a su solución analítica.

1- El ángulo 1 es externo a un número infinito de circunferencias, ya que los rayos de este interceptan cada circunferencia exactamente en los mismos cuatros puntos, formando dos arcos que son iguales en cada circunferencia, si en cada circunferencia se forma un rombo y la distancia del vértice interior a una circunferencia del rombo a el centro de dicha circunferencia es directamente proporcional al radio de dicha circunferencia, ¿Hallar la medida enésima de los arcos menores y mayores de todas las circunferencias que siguen el mismo patrón de la siguiente figura?
Ángulo-externo-a-un-número-infinito-de-circunferencias
Solución:
El problema nos dice que la distancia de un punto interior del círculo que coincide con el vértice de un rombo \(d\) es directamente proporcional al radio \({r}_{n}\), así que se cumple que \(d=k{r}_{n}\) , siendo \(k\) la constante de proporcionalidad.
Lo primero que haremos es lanzar una línea auxiliar que vaya del vértice interior del rombo a el punto de intercesión de dos circunferencias consecutivas y uno de los rayos del ángulo 1, también colocamos el radio del circulo desde el centro hasta este punto de intercesión, el objetivo es hallar la distancia \(h\) mediante el teorema de pitágoras, y luego encontrar el ángulo \(\theta\) que representa la mitad de la medida del arco mayor del enésimo círculo en el patrón, así que la medida del arco mayor de cualquier círculo en el patrón debe ser igual al doble de este ángulo, todo estos cálculos se muestran a continuación.
Obtención-del-arco-CD
Obtención-del-arco-CD
Obtención-del-arco-CD
Así que la medida de un arco \(\widehat{CD}\) en una enésima circunferencia del patrón presentado en el problema es.
Medida-del-arco-CD
En donde \(k\) está dentro del intervalo \(0< k \leq 1\), así que la medida del arco \(\widehat{CD}\) está en el intervalo \(180< k \leq 0\).
Para encontrar la medida del arco \(\widehat{AB}\), la encontraremos usando la fórmula que nos permite obtener el ángulo externo a una circunferencia, de donde despejaremos este arco como se muestra continuación.
Obtención-del-arco-AB
Y la medida del arco \(\widehat{AB}\) en una enésima circunferencia del patrón descrito en el problema es igual a:
Medida-del-arco-AB
Y bueno, sería interesante resolver un ejercicio con datos numéricos que nos permita observar como se aplican las fórmulas deducidas en este artículo.

2- Si un ángulo externo a un número infinito de circunferencias como muestra la figura 1 mide 47.96º, y sabemos que la constante de proporcionalidad entre la distancia \(d\) que va desde el vértice interior de un rombo dentro de una enésima circunferencia al centro de esta es 0.291. ¿Cuánto miden los arcos mayores y menores que forman los rayos del ángulo externo al interceptar cada circunferencia?.
Ángulo-externo-a-un-número-infinito-de-circunferencias
Solución:
Para solucionar este ejercicio lo primero que hacemos es organizar los datos que nos ofrecen, el ejercicio dice que la constante de proporcionalidad es 0.291, así que \(k=0.291\) y la medida del ángulo externo a todas las circunferencia en el patrón es igual 47.96º, con estos dos datos podemos determinar la medida del arco \(\widehat{AB}\) que representa todos los arcos menores de cada circunferencia y \(\widehat{CD}\) que representa todos los arcos mayores.

Solución-de-ejercicio-2
Y la medidas de los arcos menores y mayores son 50.24º y 146.16º respectivamente.

Vea también

Problema 1

Ángulo central, inscrito, interno y exterior a una circunferencia

martes, 7 de febrero de 2017

Medida de la circunferencia de la tierra según Eratóstenes

Bueno vamos a ver en este post como pudo el matemático griego Eratóstenes medir aproximadamente la longitud de la circunferencia de la tierra.
Decimos aproximadamente ya que en sus cálculos por ejemplo Eratóstenes asume que la tierra es perfectamente esférica, lo que hoy día sabemos que no es así.
Aunque para la época en que Eratótenes hizo estos cálculo, se puede pasar por alto cualquier posible error en las apreciaciones y mediciones del globo terráqueo.
Y dicho esto vamos a analizar los pasos básicos que dio Eratóstenes que le llevaron a la conclusión de que la circunferencia terrestre mide aproximadamente 250,000 estadios.
Longitud de un arco de un círculo
Si conocemos la longitud \(S\) de una circunferencia y conocemos el ángulo \(\beta\) que un arco \(\Delta s\) suscribe como muestra la figura, sabiendo que un giro completo de una circunferencia mide \({360}^{\circ}\), entonces \(\Delta s\) viene dado por la fórmula.
Longitud de un arco de un círculo
Resulta que mediante trabajos de campo Eratóstenes averiguó que la longitud \(\Delta s\) que representa la distancia entre Siena y Alejandría era de 5000 estadios, el se dio cuenta de que en una temporada del año los rayos solares impactaban perpendicularmente la superficie de la cuidad de Siena, así que en esa misma temporada el científico clavó una vara en la ciudad de Alejandría, dándose cuenta de que la vara proyectaba una sombra, Eratóstenes entonces midió con las herramientas de su época el ángulo respecto a la longitud de la vara a la que se proyectaba la sombra, y la pregunta es ¿Por que midió la longitud de este ángulo?
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Medida del ángulo de proyección de la sombra
Resulta que el ángulo \(\theta\) es el mismo ángulo al que se encuentra Siena de Alejandria, según sus suposiciones los rayos solares se transmiten paralelos entre si, pero perpendiculares a la superficie de la cuidad de Siena, así que si se considera la tierra perfectamente esférica, entonces podemos demostrar que el ángulo \(\beta\) que muestra la siguiente figura es igual al ángulo \(\theta\).
Rayos solares incidiendo en la superficie
El rayo A rojo forma un ángulo \(\theta\) con la vara en Alejandria y a su vez observamos que \(\theta\) es un ángulo del triángulo rectángulo \(\Delta AEO\),entonces hallando las relaciones para el ángulo \(z\) demostraremos que \(\theta=\beta\).
Demostración de que theta es igual a beta
Y sabiendo esto procedemos a despejar \(S\) de la relación dada al principio de este artículo que nos permite calcular una pequeña porción de longitud de una circunferencia \(\Delta s\).
Longitud completa de una circunferencia
Y según el artículo de wikipedia [Historia de Eratóstenes], Eratóstenes obtuvo \(\beta={7.2}^{\circ}\) como la separación angular entre Siena y Alejandria, y \(\Delta s=5000\)estadios como la distancia entre ambas, así que con estos datos podemos confirmar la medida que obtuvo Eratóstenes para la circunferencia terrestre que fue de \(S=250000\)estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes
Pero Erastóstenes según cuenta la historia rectificó el ángulo entre Siena y Alejandria en \(\beta={7.14}^{\circ}\), así que con este cambio la nueva longitud de la circunferencia que obtuvo fue de 252000 estadios.
Obtención de la medida de la circunferencia terrestre con los datos de Eratóstenes

miércoles, 18 de enero de 2017

Punto de intersección entre una recta que es tangente a dos circunferencia y una recta que pasa por los centros de las dos circunferencias

En este post traemos a este blog la resolución de un problema, en el trabajarán juntos el cálculo y la teoría de una línea recta en el plano [en especial la pendiente y la ecuación de la recta [y=mx+b].
Así que sin más preámbulos veamos el problema.
Hallar la distancia \(c\) respecto del centro de una circunferencia \({C}_{1}\) a la que una recta tangente a esta y a otra circunferencia \({C}_{2}\)´intercepta la recta que une los centros de estas circunferencias como muestra la imagen.
Rectas tangentes a dos circunferencias que interceptan la recta que une los centros
Para mas simplicidad hemos tomado el centro de \({C}_{1}\) en el punto \(\left(0,0\right)\) y el centro de \({C}_{2}\) en el punto \(\left(r,0\right)\), y supondremos que la recta \(l\) intercepta la recta que une los dos centros de las circunferencias que en este caso especial es el eje x, por lo que si encontramos este punto de intersección el problema queda resuelto, ya que conoceríamos el valor de \(c\) que es la distancia respecto de la circunferencia \({C}_{1}\) a la que la recta tangente tanto a \({C}_{1}\) como a \({C}_{2}\) intercepta el la recta que pasa por los dos centros.
Solución:
Primero plateamos las ecuaciones que representan \({C}_{1}\)\({C}_{2}\) y despejamos \(y\), luego buscamos una ecuación para la pendiente en cualquier punto \(x\) de ambas circunferencias que se reduce simplemente a encontrar las derivadas de \(y\) respecto de \(x\).
Ecuaciones de las circunferencias
Como \(l\) es tangente a \({C}_{1}\) por arriba del eje \(x\) tomamos entonces la ecuación que representa estos puntos como.
Ecuaciín de la circunferencia 1 por arriba del eje x
Como \(l\) es tangente a \({C}_{2}\) por debajo del eje \(x\) tomamos la ecuación que representa estos puntos como.
Ecuaciín de la circunferencia 2 por debajo del eje x
Así que ahora obtenemos las derivadas de \({C}_{1}\)\({C}_{2}\).
Derivadas de ecuaciones de circunferencias
Ahora hallamos las dos formas posibles que puede tener la ecuación de la recta \(l\), dado que tenemos dos ecuaciones generales de pendientes pero un solo punto por donde la recta \(l\) debe pasar \(\left(c,0\right)\).
Ecuación de la recta l
Ahora encontramos el punto en que \(l\) es tangente a \({C}_{1}\).
Punto de tangencia de circunferencia 1

Ahora también encontramos el punto en que \(l\) es tangente a \({C}_{2}\).
Punto de tangencia de circunferencia 2
Punto de tangencia de circunferencia 2
Ahora calculamos la pendiente de la recta \(l\) tomando como referencia el punto \(p\left(c,0\right)\) y el punto tangente a \({C}_{1}\)\({p}_{1}\).
Pendiente de recta l
Ahora encontramos la pendiente para \(l\), tomando como referencia el punto \(p\left(c,0\right)\) y el punto tangente a \({C}_{2}\)\({p}_{2}\).
Pendiente de recta l
Por último como \({m}_{1}\)\({m}_{2}\) representan la misma pendiente de la recta \(l\), igualamos \({m}_{1}={m}_{2}\) para hallar el valor de \(c\) que es lo que nos interesa.
Valor de c
Valor de c
Resolvemos la ecuación cuadrática para hallar \(c\).
Valor de c

Y tomando \(c\) como el valor positivo \({c}_{1}\), tenemos que la distancia respecto a la circunferencia \({C}_{1}\), a la que la recta \(l\) intercepta la recta que pasa por los centros de dos circunferencias con radios \({r}_{1}\)\({r}_{2}\) y cuyos centros están separados una distancia \(r\) es.
Valor de c

Vea también

Ecuación de la recta

Reglas básicas de derivadas

Depeje de una variable

viernes, 30 de diciembre de 2016

Parábola y circunferencia en combinación

En este post estaremos viendo como combinar los conceptos foco de una parábola, lado recto de una parábola , vértice de un parábola y ecuación canónica de una parábola con vértice en el origen y la ecuación general de la circunferencia, así como también la ecuación canónica de una circunferencia con centro \(C\left(h,k\right)\) en la resolución de un problema de geometría elemental.
Primero recordemos que la ecuación canónica para una parábola con vértice en el origen \(V\left(0,0\right)\), foco \(F\left(p,0\right)\) y cuyo eje coincide con el eje x es.

Gráfica-de-una-parábola
Como muestra la figura el lado recto de una parábola es el segmento de recta que comunica los puntos extremos A, B y el foco F, así que si la coordenada \(x\) del foco F es \(p\) que es la coordenada \(x\) de los puntos A y B, entonces las coordenadas \(y\) de los puntos extremos del lado recto AB son.
Puntos-extremos-del-lado-recto-de-una-parábola
Es importante dejar esto claro para que podamos usar estos conceptos en la resolución del siguiente problema.
Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola \({y}^{2}-8x=0\) y recrear el gráfico de la parábola y la circunferencia.
Solución:
Para encontrar la ecuación de una circunferencia debemos conocer como mínimo tres puntos por donde pase esta circunferencia, y para resolver este problema los tres puntos van a ser, el vértice de la parábola \(V\left(0,0\right)\) y los dos puntos extremos que deben ser igual a \(A\left(p,2p\right)\)\(B\left(p,-2p\right)\).
Sabemos que la ecuación de la parábola coincide con la forma canónica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas \(\left(0,0\right)\), y cuyo eje parabólico coincide con el eje \(x\).
Forma-canónica-de-una-parábola
Ahora igualamos el coeficiente 8 a \(4p\) para encontrar la coordenada \(x\) del foco \(p\).
Foco-de-parábola
Ya conociendo el punto focal \(F\left(p,0\right)\) podemos calcular los puntos extremos del lado recto de la parábola, que son.
Puntos-extremos-de-lado-recto-de-la-parábola
Bueno conocemos el vértice de la parábola y los dos puntos extremos del lado recto de la parábola que son \(V\left(0,0\right)\)\(A\left(2,4\right)\)\(B\left(2,-4\right)\), y ya estamos listos para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por estos tres puntos.

Ecuación-de-la-circunferencia
Y la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos de esta parábola es.
Ecuación-general-de-la-circunferencia
Pero para graficar esta ecuación es mucho más fácil expresarla en su forma canónico u ordinaria, así que ahora vamos a obtener la forma canónica de esta ecuación.
Ecuación-canónica-de-la-circunferencia
Podemos observar de la ecuación canónica que el radio es 5 y la coordenada del centro de la circunferencia es \(C\left(5,0\right)\), ahora si podemos mostrar la gráfica de la parábola y de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola.
Gráfico-de-la-parábola-y-la-circunferencia
Gráfico-de-la-parábola-y-la-circunferencia
Y curiosamente esta gráfica tiene cierta similitud con el ocular de un ojo humano !curioso, bien curioso¡.
parábola,-circunferencia-y-similitud-al-ocular-de-un-ojo