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viernes, 24 de junio de 2016

Cambio de variable-Técnica de integración

En este post vamos a hablar de como simplificar o resolver integrales aplicando la técnica de integración que usa cambios de variables, y para explicar como se puede integrar una función utilizando el método de integración por cambio de variable vamos a resolver algunos ejemplos aplicando esta técnica.
Simplificar las siguientes integrales usando cambio de variable.

Ejemplo 1
\(\int_{}\frac{{e}^{x}}{1-{e}^{x}}dx\)
Lo primero que haremos es igualar el denominador a \(u\) es decir \(u=1-{e}^{x}\), y derivaremos \(u\) respecto de \(x\) es decir \(\frac{du}{dx}=-{e}^{x}\), luego despejamos \(du\), dándonos \(du=-{e}^{x}dx\), después de hecho esto reescribimos la integral de modo tal que podamos sustituir \(u\) y \(du\), es decir
\(\int_{}\frac{{e}^{x}dx}{1-{e}^{x}}=-\int_{}\frac{-{e}^{x}dx}{1-{e}^{x}}=-\int_{}\frac{du}{u}\)
Y después de hecho todo los cambios de variables anteriores nos avocamos a hacer la integración como se muestra a continuación.

Ejemplo 2
\(\int_{}\frac{x}{2+{x}^{2}}dx\)
Primero igualamos a \(u\) el denominador de la fracción a integrar es decir \(u=2+{x}^{2}\), luego derivamos \(u\) respecto de \(x\) dándonos \(\frac{du}{dx}=2x\), ahora despejamos \(du\) dándonos
\(du=2xdx\), ahora pasamos a acomodar la integrar del ejemplo 2 para hacer los cambios de variables de lugar es decir.
\(\int_{}\frac{xdx}{2+{x}^{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)\int_{}\frac{2xdx}{1+{x}^{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)\int_{}\frac{du}{u}\)
 Ahora procedemos a integrar.


Ejemplo 3
\(\int_{}\sec{}\theta d\theta\)
Para realizar esta integración multiplicamos \(\sec{}\theta\) por \(\frac{\sec{}\theta + \tan{}\theta}{\sec{}\theta + \tan{}\theta}\) ya que observamos que la derivada de \(\sec{}\theta + \tan{}\theta\) respecto de \(\theta\) es igual a \({\sec{}}^{2}\theta +\tan{}\theta\sec{}\theta\) y esto nos soluciona de manera instantánea la integral ya que sabemos que \(\int_{}\frac{du}{u}=ln\left |  u\right |+C\), teniendo esto pendiente pasamos a resolver la integral del ejemplo 3.

Ejemplo 4
\(\int_{}\sqrt{1+{x}^{2}}dx\)
Lo primero que haremos es sustituir \(x\) por \(\tan{}\varphi\) entonces \(x=\tan{ \varphi}\) y entonces se cumplirá la igualdad de identidades pictagóricas \(\sqrt{1+{x}^{2}}=\sqrt{1+{\tan{ }}^{2}\varphi}=\sec{\varphi}\), derivamos \(x\) respecto de \(\varphi\) para obtener \(\frac{dx}{d\varphi}={\sec{}}^{2}\varphi\) y despejando \(dx\) tenemos \(dx={\sec{}}^{2}\varphi d \varphi \), entonces
\(\int_{}\sqrt{1+{x}^{2}}dx=\)
\(\int_{}\left(\sqrt{1+{\tan{}}^{2}\varphi}\right){\sec{}}^{2}\varphi d\varphi \)
\(\int_{}\left(\sqrt{{\sec{}}^{2}\varphi}\right){\sec{}}^{2}\varphi d\varphi\)
\(\int_{}{\sec{}}^{3}\varphi d\varphi\)
Ahora reescribimos la integral.\(\int_{}{\sec{}}^{3}\varphi d\varphi\) como \(\int_{}{\sec{}}^{3}\varphi d\varphi =\int_{}\left(\sec{}\varphi\right)\left({\sec{}}^{2}\varphi\right) d\varphi\) y pasamos a integrar por partes todo el proceso se muestra a continuación.

Y ahora sustituimos nuevamente \(\tan{}\varphi\) por \(x\) , \({\sec{}}^{2}\varphi d\varphi\) por \(dx\) y \(\sec{}\varphi\) por \(\sqrt{1+{x}^{2}}\) y entonces la simplificación de la integral es.

Ejemplo 5
\(\int_{}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx\)
Para resolver esta integral primero sustituimos \(x\) por \(a\sin{}\theta\) es decir \(x=a\sin{}\theta\), y entonces \(\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}\) a \(\sqrt{{a}^{2}-{a\sin{}\theta}^{2}}=a\cos{}\theta\) , ahora derivamos \(dx\) respecto de \(\theta\), \(\frac{dx}{d\theta}=\frac{d\left[a\sin{}\theta\right]}{d\theta}=a\cos{}\theta\), despejando \(dx\) tenemos que \(dx=a\cos{}\theta d\theta\), sabiendo todo esto pasamos a hacer las diferentes sustituciones todo este proceso de integración por cambio de variable se muestra a continuación.

Ahora despejamos \({\cos{}}^{2}\theta\) de la identidad trigonométrica \(\cos{}2\theta=2{\cos{}}^{2}\theta-1\), y podemos continuar el proceso de simplificación.

Volvemos y le aplicamos el cambio de variable a la integral \(\left(\frac{{a}^{2}}{2}\right)\int_{}\cos{}2\theta d\theta\), es decir tomamos \(u=2\theta\) y \(du=2d\theta\) de donde \(d\theta=\frac{du}{2}\) por tanto.

Ahora sustituimos \(\sin{}2\theta\) por \(2\sin{}\theta\cos{}\theta\) para tener.

Y por último sustituimos \(a\sin{}\theta\) por \(x\) y \(a\cos{}\theta\) por \(\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}\) también sustituimos \(\theta\) por \(\arcsin{\left(\frac{x}{a}\right)}\), y la solución de la integral \(\int_{}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx\) es.

Vea también
Técnica de integración por partes
Reglas básicas de derivación e integración
Determinación del área de un triángulo, un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas
Cálculo integral y fórmulas del movimiento rectilíneo
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación