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jueves, 11 de agosto de 2016

Método de los incrementos-Técnica de derivación

El método de los incrementos es interesante, ya que de este método se derivan las técnicas de derivación más simplificadas, así que en este post vamos a vislumbrar como derivar una función dada de forma explícita es decir \(y=f\left(x\right)\), para un buen entendimiento de este artículo se hace necesario conocer la teorías de límites.
Bueno y la derivada de una función \(y\) se define matemáticamente así.

Dicho con palabras la derivada de una función dependiente \(y\) respecto de una variable independiente \(x\), es la tasa de cambio de \(y\) respecto de \(x\) cuando el incremento o diferencial \(\Delta x\) tiende a cero.
Así que sabiendo esto vamos a ver algunos ejemplos de como aplicar la definición de derivada para el cálculo de estas.

Ejemplo 1
Para el ejemplo 1 incrementamos la función \(y\left ( t \right )\) es decir \(y\left ( \Delta t+t \right )\) que va corresponder al valor final y a este valor le restamos el valor inicial que es \(y\left ( t \right )\), luego dividimos ambos miembros de la igualdad entre \( \Delta t \) y aplicamos el límite cuando \(\Delta t\) tiende a cero todo este proceso se muestra continuación.

Ejemplo 2
Antes de proceder a aplicar el método de los incrementos vamos a multiplicar por \(x\) ambos lados de la igualdad de la función \(y=\frac{1}{x}\) para tener \(y\cdot x = 1\), y de esta manera obtener la derivada implícitamente, hecho esto incrementamos las variables \(y\) e \(x\) a la expresión resultante le restamos la expresión no incrementada es decir \(y\cdot x = 1\), luego dividimos ambos miembros de la igualdad entre \(\Delta x\) y aplicamos límites cuando \(\Delta x\) tiende a 0, todo este procedimiento se aplica a continuación.

Y hacemos un paréntesis antes de aplicar límites  para encontrar una expresión ideal para la expresión no fraccionaria \(\Delta y\), para esto tomamos como referencia la expresión incrementada de  \(y\cdot x = 1\) es decir \(\left(\Delta y + y\right)\cdot \left(\Delta x + x\right) = 1\).

Ahora sustituimos este valor de \(\Delta y\) y continuaremos con la simplificación.

Ahora estamos preparados para reemplazar \(y\) por \(\frac{1}{x}\).

Y ya lo único que nos resta es despejar \(\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}\).

Y la derivada de \(y=\frac{1}{x}\) es entonces.

Ejemplo 3
Al igual que en los ejercicios anteriores incrementamos la función original \(f\left(c\right)=m\cdot {c}^{2}\) es decir \(f\left(\Delta c + c\right)=m\cdot {\left(\Delta c +c\right)}^{2}\), y a esta expresión le restamos la expresión inicial \(f\left(c\right)=m\cdot {c}^{2}\), luego dividimos ambos miembros de la igualdad entre \(\Delta c\), simplificamos y luego aplicamos límites a ambos lados de la igualdad como se muestra ahora.

y la derivada de \(f\left(c\right)=m\cdot {c}^{2}\) es
\(f'\left(c\right)=2mc\)
Ejemplo 4
Para encontrar la derivada del ejemplo 4, lo primero que haremos es incrementar las variables \(y\) e \(x\) en \(\Delta x\) y \(\Delta y\) respectivamentes es decir
\(y+\Delta y=\left(x+\Delta x\right)\cdot \sqrt{x+\Delta x}\)
A este resultado les restaremos la función original \(y=x\cdot \sqrt{x}\), todo este proceso se muestra a continuación.

Para continuar aplicamos límites a ambos lados de la igualdad.

\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) es igual a la derivada de \(y\) respecto de \(x\).
Ahora bien la expresión.

no puede ser simplificada tal como está, ya que la división por cero no está definida, así que para aplicar el límite vamos primero a racionalizar el numerador, multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador.

Y ya lo único que nos falta es simplificar que es exactamente lo que haremos.

Y la derivada de \(y=x\cdot \sqrt{x}\) es

Vea también
Reglas básicas de derivación
Despeje de una variable de una fórmula