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lunes, 3 de octubre de 2016

Producto y suma de las raíces de una ecuación cuadrática

Bueno en este artículo vamos a ver las relaciones que existen entre las raíces de una ecuación de segundo grado del tipo \(a{x}^{2}+bx+c=0\), cuando multiplicamos o sumamos las dos raíces.
Como ya mucho sabemos las dos raíces de una ecuación cuadrática expresadas de una manera unísona se ven así.

Pero las raíces por separado son:

Así que lo primero que haremos es sumar las raíces \({x}_{1}\) y \({x}_{2}\) es decir \({x}_{1}+{x}_{2}\).

Y como se puede observar después de la simplificación anterior \({x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}\), por lo que si \(a=1\) entonces \({x}_{1}+{x}_{2}=-b\).
Y ahora vamos a trabajar con el producto de las dos raíces de una ecuación cuadrática, es decir vamos a multiplicar \({x}_{1}\cdot {x}_{2}\).

Antes de continuar con el proceso de simplificación, podemos observar que la última expresión es el producto indicado de la suma por la diferencia de dos cantidades, que es igual a la diferencia de los cuadrados de las dos cantidades, por tanto.

Y se puede concluir de la simplificación anterior que el producto \({x}_{1}\) y \({x}_{2}\) de una ecuación de segundo grado es \({x}_{1}\cdot {x}_{2}=\frac{c}{a}\) y si \(a=1\) entonces \({x}_{1}\cdot {x}_{2}=c\).

Aplicación de la relación de suma y producto de las dos raíces de una ecuación cuadrática, a la solución de una ecuación de segundo grado del tipo \(a{x}^{2}+bx+c=0\) donde \(a= 1\).
Esta es una de la aplicaciones de este tema, el que podamos buscar dos números arbitrarios que representen las raíces de dicha ecuación donde la suma sea igual a \(-b\) y su producto igual a \(c\) donde \(a=1\).
Por tanto si tenemos una ecuación \(a{x}^{2}+bx+c=0\) donde \(a=1\), y encontramos dos números cuyo producto es \(c\) y la suma de esos dos números es \(-b\) entonces dichos números son ráices de \(a{x}^{2}+bx+c=0\) donde \(a=1\).
Veamos algunos ejercicios aplicando esta relaciones.
Hallar la raíces de las siguientes ecuaciones.
\(1)\:{x}^{2}+5x+6=0\)
Solución:
Buscamos dos números cuyo producto sea igual a \(c=6\) y cuya suma sea \(-b=-5\).
Y esos dos números que cumplen fielmente esta condición son los números \(-2\) y \(-3\).
\(\left(-2\right)\left(-3\right)=6=c\)
\(-2+\left(-3\right)=-5=-b\)
Por tanto las dos raíces de \({x}^{2}+5x+6=0\) son \({x}_{1}=-2\) y \({x}_{2}=-3\)
\(2)\:{x}^{2}+x-30=0\)
Solución:
Observamos que los números \(-6\) y \(5\) cumplen con las condiciones.
\(\left(-6\right)\left(5\right)=-30=c\)
\(-6+5=-1=-b\)
Y las raíces soluciones de \({x}^{2}+x-30=0\) son \({x}_{1}=-6\) y \({x}_{2}=5\)
\(3)\:{x}^{2}+8x+15=0\)
Solución:
Vemos que \(-3\) y \(-5\) cumplen con las condiciones ya que,
\(\left(-3\right)\left(-5\right)=15=c\)
\(-3+\left(-5\right)=-8=-b\)
Por lo que \({x}_{1}=-3\) y \({x}_{1}=-5\) son las raíces soluciones de \({x}^{2}+8x+15=0\).
Vea también
Solución de una ecuación cuadrática