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jueves, 13 de octubre de 2016

Área de un triángulo y la ley de Herón

En este post vamos a trabajar para deducir la famosa fórmula para el área de un triángulo conocida como la ley de Herón, para este propósito nos auxiliaremos del artículo [Altura de un triángulo dada las tres medidas de sus lados], en donde se establece que la altura de un triángulo dada las tres medidas de sus lados \(a\)\(b\)\(c\) es.
Altura de un triángulo
Así que si tenemos un triángulo como el siguiente.
Triángulo ABC
El área de este triángulo está dada por la fórmula
\(\begin{align*} A=\frac{b\cdot h}{2} \end{align*}\)
Pero si \(h\) es igual a 
\(\begin{align*} h=\left(\frac{1}{2c}\right)\cdot \sqrt{4{b}^{2}{c}^{2}-{\left({a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}\right)}^{2}} \end{align*}\)
Y la base del triángulo es \(c\), entonces el área vendrá dada así.
ecuación
Pero queremos entrar el 4 dentro de la raíz cuadrada de la fórmula del área pero para esto debemos elevar 4 al cuadrado que va a ser igual a 16, esto es así ya que \(\sqrt{16}=4\).
ecuación
El área de un triángulo dado las tres medidas de los lados de un triángulo \(a\)\(b\)\(c\) es.
Área de un triángulo dada las medidas de sus lados
Ah pero esta todavía no es la fórmula de Herón para el área de un triángulo, para llegar hasta la fórmula de Herón vamos a desarrollar el trinomio dentro de la raíz que está elevado al cuadrado es decir.
\(\begin{align*} {\left({a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}\right)}^{2} \end{align*}\)
Por tanto el área ahora será igual a.
ecuación
Y el polinomio de cuarto grado después de ser factorizado se transforma en.
ecuación
Por lo que después de factorizar el área es ahora.
Área de un triángulo dada las medidas de sus lados
Ahora vamos a involucrar el perímetro de modo que el área esté también dada en base al perímetro del triángulo, y como los lados del triángulo miden \(a\)\(b\)\(c\), el perímetro es entonces.
\(P=a+b+c\)
Así que ahora reescribiremos cada factor del numerador en función del perímetro \(P\), es decir.
ecuación
Así que reescribiendo nuevamente la fórmula para el área de un triángulo vamos a tener que.
ecuación
Por lo que el área de un triángulo dado los lados \(a\)\(b\)\(c\) y el perímetro \(P\) es.
Área de un triángulo dado el perímetro y las medidas de sus lados
Pero esta aún no es la fórmula de Herón para el área de un triángulo, para que esto sea así debemos hacerle un afinamiento más a la fórmula anterior y es quitar el 16 del denominador del radical, para esto factorizaremos 16 en \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \) y distribuiremos cada \(2\) en cada factor del numerador.
ecuación
Por último vamos a sustituir \(\frac{P}{2}\) por \(s\), por lo que \(s\) es igual a.
\(\begin{align*} s=\frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2} \end{align*}\)
Por tanto el área va a ser.
ecuación
Y finalmente la elegante fórmula de Herón para el área de un triángulo es.
Ley de Herón
Donde \(a\), \(b\) y \(c\) son las medidas de los tres lados de un triángulo y \(s\) es la mitad del perímetro \(P\).
\(\begin{align*} s=\frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2} \end{align*}\)
Veamos algunos ejemplos de aplicación de la fórmula para el cálculo del área de un triángulo con la fórmula de Herón.
1- Si los lados de un triángulo miden 5cm, 7cm y 5.656cm como se muestra en la gráfica. Calcular el área usando la ley de Herón.
Triángulo
Solución:
Lo primero que hacemos es calcular el perímetro \(P\).
\(P=5cm+5.656cm+7cm=17.656\)
Ahora calculamos \(s\) que es la mitad del perímetro \(P\).
\(\begin{align*}  s=\frac{P}{2}=\frac{17.56cm}{2}=8.828cm  \end{align*}\)
Y ya sabiendo que \(s\) es igual a 8.828cm, ahora calculamos el área con la fórmula de Herón.
ecuación
Y el área de este triángulo es de \(A=13.998{cm}^{2}\)
2-Usando la ley de Herón hallar el área de un equilátero como el que se muestra en la figura cuyo lado mide \(a\) unidades.
Triángulo equilátero
Solución:
Primero buscamos el perímetro \(P\) del equilátero.
\(P=a+a+a=3a\)
Ahora calculamos \(s\).
\(\begin{align*}  s=\frac{P}{2}=\frac{3a}{2}  \end{align*}\)
Y conociendo el valor de \(s\) entonces calculamos el área.
Área de un equiláteto
Nota:A la hora de sustituir la medidas de los lados \(a\)\(b\)\(c\), el orden en que se coloquen en la fórmula de Herón no influye en el resultado.
Vea también
Altura de un triángulo dada las tres medidas de sus lados
Perímetro y área de un polígono regular