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martes, 1 de noviembre de 2016

Identidades trigonométricas pitágoricas

Vamos a hablar de aquellas identidades que guardan una estrecha relación con el teorema de Pitágoras, debemos decir que una identidad trigonométrica es considerada Pitágorica, si para su obtención se utiliza el teorema de Pitágoras, por lo que en este post vamos a ver como se obtienen identidades trigonométricas partiendo del teorema de Pitágoras.
Triángulo-rectángulo
Si \(a\)\(b\)\(c\) son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo \(\Delta ABC\) y \(\theta\) es un ángulo de dicho triángulo, el teorema de Pitágoras establece que.
\({a}^{2} + {b}^{2}={c}^{2}\)
Si dividimos cada término de los miembros del teorema de Pitágoras entre \({c}^{2}\), vamos a tener.
\(\begin{align*}  \frac{{a}^{2}}{{c}^{2}} + \frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}}  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  {\left(\frac{a}{c}\right)}^{2} + {\left(\frac{b}{c}\right)}^{2}={\left(\frac{c}{c}\right)}^{2}  \end{align*}\)
Pero \(\frac{a}{c}\) es igual a \(\sin{\theta}\)\(\frac{b}{c}\) es igual a \(\cos{\theta}\)\(\frac{c}{c}\) es igual a uno, entonces vamos a tener.
\(\begin{align*}  {sin}^{2}\theta + {cos}^{2}\theta=1  \end{align*}\)
Y acabamos de ver que el cuadrado del coseno mas el cuadrado del seno de un ángulo es igual a 1.
Ahora vamos ha dividir cada término de cada miembro de la relación del teorema de Pitágoras entre \({b}^{2}\), vamos a tener.
\(\begin{align*}  {a}^{2} + {b}^{2}={c}^{2}  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{b}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  {\left(\frac{a}{b}\right)}^{2} + {\left(\frac{b}{b}\right)}^{2}={\left(\frac{c}{b}\right)}^{2}  \end{align*}\)
Pero \(\frac{a}{b}\) es igual a \(\tan{\theta}\)\(\frac{b}{b}\) es igual a 1 y \(\frac{c}{b}\) es igual a \(\sec{\theta}\), así que.
\(\begin{align*}  {tan}^{2}\theta + 1={sec}^{2}\theta  \end{align*}\)
Y el cuadrado de la tangente mas uno es igual al cuadrado de la secante.
Y por último vamos a dividir todos los términos del teorema de Pitágoras entre \({a}^{2}\)
\(\begin{align*}  {a}^{2} + {b}^{2}={c}^{2}  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  \frac{{a}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  {\left(\frac{a}{a}\right)}^{2} + {\left(\frac{b}{a}\right)}^{2}={\left(\frac{c}{a}\right)}^{2}  \end{align*}\)
Pero  \(\frac{a}{a}\) es igual a 1, \(\frac{b}{a}\) es igual \(\cot{\theta}\), y \(\frac{c}{a}\) es igual a \(\csc{\theta}\), por lo que.
\(\begin{align*}  1+{cot}^{2}\theta ={csc}^{2}\theta  \end{align*}\)
En resumen la identidades trigonométricas pitágoricas son:
\(\begin{align*}  {sin}^{2}\theta + {cos}^{2}\theta=1  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  {tan}^{2}\theta + 1={sec}^{2}\theta  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  1+{cot}^{2}\theta ={csc}^{2}\theta  \end{align*}\)
Veamos un ejercicio relacionado con este tema
Demostrar el cumplimiento de la identidad trigonométrica
\(1+\sin{2\theta}\equiv {\left(\sin\theta + \cos\theta\right)}^{2}\)
Solución:
Desarrollamos el cuadrado del binomio del segundo miembro de la identidad, luego sustituimos la suma del cuadrado del seno y el coseno por uno como se muestra a continuación.
Identidad-trigonométrica
Pero \(2\sin{\theta}\cos{\theta}\) es igual a \(\sin{2\theta}\), por lo tanto.
Identidad-trigonométrica-1