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jueves, 26 de enero de 2017

Equilibrio y condiciones de equilibrio

Vamos a hablar en este post sobre lo que es el equilibrio desde el punto de vista de la física.
Lo primero que debemos decir es que un cuerpo se considera en equilibrio si las fuerzas externas que actúan sobre este no causan ni traslación ni rotación.
Esto significa que para que un cuerpo esté en equilibrio deben de cumplirse dos condiciones; la primera es que se cumpla la primera ley de Newton, es decir que todas las componentes de fuerzas que actúen sobre un cuerpo su suma vectorial y cuantitativa sea cero.
Condición de equilibrio 1
La segunda condición es que todos los momentos de torsión o torques en cualquier punto de un cuerpo en equilibrio su suma vectorial y a nivel de magnitudes debe también ser igual a cero, así siempre en física el momento de torsión se representa por la letra griega (Tau \(\tau\)).
Condición de equilibrio 2
El momento de torsión es un vector y este es perpendicular tanto al brazo de palanca como a la fuerza que actúa sobre este brazo de palanca, debemos decir que se considera el brazo de palanca a la distancia a la que se aplica la fuerza respecto de un punto del cuerpo, a este punto respecto del cual se aplica la fuerza en física se le conoce como el punto de torque o pivote.
El momento de torsión también se define como el producto vectorial del vector que representa la distancia a la que se aplica una fuerza y el vector fuerza.
Vector momento de torsión
La siguiente gráfica muestra el punto de torque \(P\) o pivote, el vector brazo de palanca \(\vec{l}\) y la fuerza torcedora \(\vec{F}\).
Dibujo de una grúa
Si una fuerza cuya magnitud es \(F\) actúa perpendicular a un brazo de palanca cuya magnitud es \(l\), entonces el momento de torsión queda definido como el producto de estas magnitudes.

Si hacemos un diagrama de cuerpo libre mas simple de la imagen de arriba y descomponemos la fuerza en dos componentes.
Diagrama de cuerpo libre de la grúa
El momento de torsión es máximo cuando la fuerza actúa perpendicular al brazo de palanca y es mínimo o igual a cero cuando la fuerza actúa paralela al brazo de palanca, es decir el momento de torsión depende del ángulo que forman el vector distancia de apoyo o brazo de palanca y la fuerza, en el diagrama de cuerpo libre anterior se puede observar que el momento de torsión es \({F}_{y}l\), pero \({F}_{y}\) es igual  a \(Fsin{\alpha}\) y la magnitud del momento de torsión entonces queda definida como.
Magnitud del vector momento de torsión
Esto nos dice que si una fuerza actúa paralela a el brazo de palanca de un punto pivote, independientemente de donde se aplique esta fuerza no contribuirá al momento de torsión ya que en este caso \(\alpha=0\) y por tanto \(Flsin{{0}^{\circ}}\) es igual a cero, mientras que si una fuerza actúa perpendicularmente al brazo de palanca del punto pivote su torsión sobre un punto pivote a una distancia \(l\) es \(Fl\) ya que el ángulo para este caso es de \({90}^{\circ}\)\(\sin{{90}^{\circ}}=1\).
Así que si \(\alpha\) es el ángulo entre los vectores \(\vec{l}\)\(\vec{F}\) y si \(l\)\(F\) son las magnitudes del vector fuerza y el vector palanca, entonces el momento de torsión es.
Magnitud del vector momento de torsión
Si dos fuerzas con misma magnitud \(F\) son paralelas y actúan en direcciones opuestas pero perpendiculares respecto a un punto pivote O que está a una distancia \(r\) respecto a un punto O entonces los respectivos momentos de torsión son opuestos, y podemos tomar un momento negativo y otro positivo \(-Fr\)\(Fl\).
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Así que podemos concluir que que el momento de torsión respecto a este punto es igual a cero ya que.
\(\sum\tau=Fr-Fr=0\)
Y el cuerpo estaría en equilibrio rotacional ya que no habría tendencia a girar ni hacia arriba ni hacia abajo.
Ahora bien si las magnitudes de dichas fuerzas fueran de diferentes magnitudes entonces la torsión respecto a O es.
\(\sum\tau={F}_{1}r-{F}_{2}r=\left({F}_{1}-{F}_{2}\right)r\)
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Y si \({F}_{1}>{F}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a moverse o a girar respecto a O hacia arriba, mientras que si \({F}_{1}<{F}_{2}\) el objecto tendrá tendencia a girar respecto a O hacia abajo.
No obstante si la fuerzas son de igual magnitud \(F\) y estas son aplicadas en diferentes puntos \({r}_{1}\)\({r}_{2}\), entonces el momento de torsión será diferente de cero es decir.
Momento de torsión de fuerzas opuestas
Y en este caso si \({r}_{1}>{r}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a girar hacia arriba, mientras que si \({r}_{1}<{r}_{2}\) entonces el objecto tendrá tendencia a girar hacia abajo.

Bueno y dicho esto vamos a ver un pequeño problemita que ilustra bien lo que es un objecto en equilibrio estático.

Halla el punto \(x\) de equilibrio respecto de la masa de 20kg donde se debe colocar el objecto de forma triangular, si las masas de 20kg y 50kg que conforman el sistema están separadas 10m y si consideramos la masa de la tabla morada como insignificante.
Masas en equilibrio estático
Solución:
Tomamos \({m}_{1}=20kg\)\({m}_{2}=50kg\)\(r=10m\), así que las fuerzas que actúan sobre este sistema se deben a la gravedad, entonces consideramos \({w}_{1}\) como el peso de \({m}_{1}\)\({w}_{2}\) el peso de \({m}_{2}\), y podemos observar que la masa \({m}_{1}\) está a una distancia \(x\) del punto de equilibrio, y \({m}_{2}\) entonces está a una distancia \(r-x\) del punto de equilibrio.
Los momentos de torsión que los pesos \({w}_{1}\)\({w}_{2}\) son \({\tau}_{1}={w}_{1}x\) y \({\tau}_{2}={w}_{2}\left(r-x\right)\) respectivamente, y si aparte de esto consideramos positivos los momentos de torsión que tienden a hacer girar el sistema en sentido antihorario, y negativos los que tienden a hacer girar el sistema en el sentido horario, entonces \({\tau}_{1}\) es positivo y \({\tau}_{2}\) es negativo.
Por último hacemos la sumatoria de los dos momentos de torsión y aplicamos la segunda condición de equilibrio para entonces hallar la variable meta \(x\) que representa la distancia respecto a la masa de 20kg donde el sistema está en equilibrio, todos los cálculos se muestran a continuación.
Encontrando el punto de equilibrio del sistema

Y el punto de equilibrio del sistema se encuentra a 7.14m de \({m}_{1}\).
Algo bien curioso es que en el artículo [punto de intersección entre una recta que es tangente a dos circunferencia y una recta que pasa por los centros de las circunferencias], hallamos que el punto de intersección era.
Punto de intersección de una recta tangente a dos circunferencias y una recta que pasa por el centro de ambas
Y resulta que este punto se corresponde con la distancia a la que se encuentra el punto de equilibrio respecto a la masa mayor \({m}_{2}\), si igualamos \({r}_{1}={m}_{1}\) y \({r}_{2}={m}_{2}\), entonces la distancia \(x\) a la que  se encuentra \({m}_{2}\) del punto de equilibrio es.
Distancia del punto de equilibrio respecto de la masa m2
!Curioso, bien curioso¡

Vea también

Centro de masa

Producto vectorial

Primera ley de Newton