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miércoles, 18 de abril de 2018

De geometría plana a óptica geométrica

Después de unos cuantos días, la distrofia muscular degenerativa que padezco, me da un nuevo break, así que aprovecho esta nueva oportunidad para escribir este artículo, así que sin más preámbulos empecemos...
En días pasados traíamos a este blog, el tema [punto de intercepción de una recta tangente a dos circunferencias y la recta que pasa por el centro de ambas circunferencias], en este artículo encontramos el punto de intercepción de una recta tangente a dos círculos con radios r1y r2, pero como allí se demostró en realidad al dos puntos que cumplen fielmente con estas condiciones.
puntos de intersepción de dos rectas tangentes a dos círculos y la recta que pasa por el centro de estos

Si tomamos r1=a, r2=b y r=k entonces;
puntos de intersepción de dos rectas tangentes a dos círculos y la recta que pasa por el centro de estos

La recta que pasa por c1 interseca el círculo con radio a en;
coordenada x donde la recta tangente a dos círculos interseca el circulo con radio a


Mientras la recta que pasa por c2 interseca el círculo con radio a en;
coordenada x donde la recta tangente a dos círculos interseca el circulo con radio a

Si a>b y k≠0, las rectas que pasan por c1 y por c2 intersecan el círculo con radio a en;
punto x donde dos rectas tangentes a dos círculos intersecan el círculo con radio a

Donde c2 representa el punto de intercepción exterior de la recta tangente a los dos círculos y la recta que pasa por sus centros, mientras c1 representa el punto de intercepción interior de la recta tangente a ambos círculos y la recta que pasa por sus centros.
Lo increíble de la distancia c1 y c2 es que cumplen una relación bien elegante que en óptica geométrica es la ley que existe para un rayo de luz que pasa por un punto R situado a una distancia c2 y se refleja en un espejo esférico cóncavo creando una imagen a una distancia c1.
Debemos decir que esta relación cumple con los criterios de tangencia en parte, siempre y cuando k≥a-b, siendo a>b.
demostración de que los puntos c1 y c2 cumplen con ecuación que se usa para relacionar la distancia de imagen y la de un objecto de un rayo de luz reflejado en un espejo concavo esférico con radio de curvatura k

demostración de que los puntos c1 y c2 cumplen con ecuación que se usa para relacionar la distancia de imagen y la de un objecto de un rayo de luz reflejado en un espejo concavo esférico con radio de curvatura k

Donde la relación (1) cobra un sentido de cumplimiento físico, es cuando a y b son extremadamente pequeños con relación a k, es decir cuando el ángulo respecto a la horizontal al que el rayo de luz que pasa por R se acerca a cero, por lo tanto la ecuación (1) representa la relación existente entre un objeto situado a una distancia c2 y una imagen reflejada de un espejo cóncavo esférico a una distancia c1, siendo f la distancia focal.
ecuación de imagen de un objeto y distancia de este respecto a un espejo esférico concavo con distancia focal f

Esto es así ya que como muestra la siguiente imagen en la medida en que los círculos de radios a y b son más pequeños en esa misma medida el rayo o la línea que pasa por R a una distancia c2 y toca de manera tangente estos círculos, se refleja en el círculo con radio k, siendo este rayo reflejado aproximadamente tangente al círculo con radio a e intercepta el eje central de los círculos a una distancia c1, que es a la distancia a la que ubicamos la recta vertical l1 en la siguiente gráfica.
imagen que ilustra como se comporta un rayo de luz incidente y reflejado en un espejo esférico concavo con radio k

Nota: El círculo de color púrpura (morado) tiene radio k, los círculos de color azul centrado en O tienen radio  a1,a2,a3,····,an, mientras los círculos de color rojo tienen radios b1,b2,b3,····,bn
Debemos hacer un aclarando, y es que cuando decimos tangente exterior nos referimos a que la recta es tangente a los círculos A y B, y cuya intercepción entre esta recta tangente y la recta que pasa por el centro de los círculos queda ubicada afuera de ambas circunferencias, mientras que cuando hablamos de tangente interior nos referimos a que el punto de intercepción de esta recta y la recta que pasa por el centro de ambos círculos se encuentra ubicado entre las circunferencias de los círculos.
De manera que si se disminuyen los radios de los círculos azules como rojos lo suficiente, es en este punto donde ya podemos decir que tanto el rayo de luz incidente, como el reflejado en un espejo cóncavo esférico son tangentes exterior e interiormente a los círculos con radios a y b como muestra la siguiente imagen, y la imagen de un objeto en R se refleja a una distancia c1 del vértice O del espejo cóncavo K.
Esta imagen demuestra visualmente el cumplimiento de la ecuación que relaciona c1, c2 y k
Rayo de luz de color rojo pasa por el punto R a una distancia c2, y interseca el círculo B y A de manera tangente a ambos círculos siempre que el ángulo al que incide el rayo rojo sea cercano a cero,  dando como resultado que el rayo se refleje en el espejo esférico concavo K y luego interseque el eje de los círculos A y B a una distancia c1 del vértice del espejo K siendo el rayo reflejado aproximadamente tangente al círculo A, y lo mismo sucede con el rayo de luz púrpura.