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miércoles, 18 de octubre de 2017

Operaciones básicas con matrices

En este post estaremos analizando las operaciones básicas que se pueden realizar entre dos o más matrices enfocándonos básicamente en la suma, resta y multiplicación de matrices, así que si pérdida de tiempo vamos a entrar en materia.

Suma de dos matrices
Para efectuar una suma entre dos matrices o más estas deben estar dispuestas en el mismo orden, es decir una matriz \(3\:x\:3\) se debe de sumar con otra matriz \(3\:x\:3\), luego tomamos el elemento en la fila y columna 1 y se lo sumamos al elemento que se encuentra en la misma posición  en la otra matriz y esto repetimos hasta el enésimo elemento de cada matriz.
Ejemplos:
suma de dos matrices
Solución al ejercicio \(a\).
Primero sumamos el elemento en la fila y columna 1 de la primera matriz y se lo sumamos al elemento en la misma posición en la segunda , tomamos también el elemento en la fila y columna 2 de la primera matriz y se lo sumamos al elemento en la misma posición en la segunda matriz y así procedemos con el resto de los demás elementos contenidos en la primera y segunda matriz.
suma de dos matrices
Solución al ejercicio \(b\).
Para solucionar este ejercicio procedemos de forma análoga a la solución del ejercicio \(a\).
suma de dos matrices
Solución al ejercicio \(c\).
suma de dos matrices
Solución al ejercicio \(d\).
suma de dos matrices

Resta de dos matrices
Para restar dos matrices primero nos percatamos de que estas estén dispuestas en el mismo orden, luego procedemos de manera similar a la suma de dos matrices la única diferencia es que le restaremos a cada elemento de la primera matriz los elementos de la segunda matriz.
Ejemplos:
resta de dos matrices
Solución al ejercicio \(a\).
Primero al elemento de la primera matriz ubicado en la fila y columna 1 les restamos el elemento en la posición de la primera fila y columna 1 de la segunda matriz, esto lo repetimos hasta el enésimo elemento de cada matriz.
resta de dos matrices
Solución al ejercicio \(b\).
Procedemos de la misma manera que en el ejercicio \(b\).
resta de dos matrices
Solución al ejercicio \(c\).
resta de dos matrices
Solución al ejercicio \(d\).
resta de dos matrices

Multiplicación de dos matrices
Si tenemos dos matrices una \(A\) y otra \(B\), tomamos la fila 1 de la matriz \(A\) y multiplicamos esta fila como un producto escalar por todas las columnas de la matriz \(B\) y de esta manera obtenemos la fila 1 de la matriz producto y el resultado de cada multiplicación de una fila de \(A\) por cada columna de \(B\) corresponderá a una fila de la matriz producto, este mismo procedimiento lo hacemos con cada fila de la matriz \(A\), y debemos decir que la matriz resultado del producto deberá ser del mismo orden de la matriz que contenga el menor número de columnas o en su defecto el menor número de filas.
Ejemplos:
multiplicación de dos matrices
Solución al ejercicio \(a\).
Como la primera matriz es una matriz columna, procedemos a multiplicar como un producto escalar la primera columna de esta matriz que es única por cada una de las columnas de la segunda matriz..
multiplicación de dos matrices
Como se puede ver la matriz resultado del producto tiene exactamente las mismas dimensiones que la primera matriz.
Solución al ejercicio \(b\).
multiplicación de dos matrices
Ahora pasamos a calcular cada valor de cada elemento \({a}_{mn}\).
multiplicación de dos matrices
multiplicación de dos matrices
Y como se puede ver la matriz resultado del producto de las matrices es del mismo orden de la matriz con el menor número de columnas.
Solución al ejercicio \(c\).
Procedemos análogamente a los ejercicios anteriores, y como son dos matrices cuadradas de segundo orden el resultado será una matriz cuadrada de segundo orden osea \(2\:x\:2\).
multiplicación de dos matrices
Pasamos a calcular los diferentes valores de los elementos \({a}_{mn}\).
multiplicación de dos matrices
Solución al ejercicio \(d\).
Básicamente tenemos el producto de matrices filas que se pueden interpretar como dos vectores, así que nos limitaremos a hacer el producto escalar de estos dos vectores.
multiplicación de dos matrices

Vea también

Tipos de matrices y definiciones