Matemática y Física

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martes, 5 de diciembre de 2017

Área de un polígono regular e irregular usando la técnica de papel cuadriculado

En este post presentaremos la técnica de área cuadriculada, cuando hablamos de área cuadriculadas nos referimos  a la determinación del área de un polígono regular o irregular dibujada en un papel cuadriculado.
Primero en base a los cálculos de área de la diferentes figuras mostradas en la siguiente gráfica, deduciremos de manera experimentar un modelo matemático que nos permita calcular el área de cualquier polígono dibujado sobre un papel cuadriculado independientemente de que este sea regular e irregular. 
cuadrado dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Empezaremos calculando el área de una única cuadricula que es igual a \(1{u}^{2}\), pudiendo ser esta unidad \(u\), un centímetro, un metro u otra unidad medida.
Y las área de las figuras 1, 2 y 3 se calcula como se muestra a continuación.
Área de de los tres cuadrados dibujados en papel cuadriculado

Ahora formaremos otra forma geométrica en el papel cuadriculado para corroborar que con cualquier forma dibujada en un papel cuadriculado se cumple el mismo proceso de cálculo en base a los puntos externos e internos de una figura geométrica.
Paralelogramo dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Para el área de la figura 1 tomamos los puntos perimetrales externos igual a 4 y lo puntos internos a la línea perimetral la tomamos como igual a cero, teniendo presente que para que un punto sea contado externamente la línea perimetral externa debe cruzar por este y además dos línea perpendiculares de la cuadricula deben interceptarse en ese punto punto, mientras que para un punto ser interno debe simplemente la intercepción de dos líneas perpendiculares deben interceptarse internamente.  
área del pralelorgramo uno dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Para la figura 2 observamos que los puntos externos son 8, mientras los internos son igual a uno, y el área entonces es
área del pralelorgramo dos dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

Y para la figura 3 vemos que los puntos externos son 12 mientras los internos son 4, y área es como se muestra a continuación.
área del pralelorgramo tres dibujado en papel cuadriculado de un centímetro

De todos los ejemplos anteriores, en los que hemos calculados el área de figuras geométricas en papel cuadriculado se cumple lo siguiente:
“El área de cualquier polígono regular e irregular dibujado en una cuadricula es igual a la mitad de los puntos perimetrales del polígono \(E\), sumado al total de los puntos interiores \(I\) de la cuadrícula menos uno.”
Fórmula que permite calcular el área de un polígono regular e irregular en función de ls puntos externos e internos de la cuadricula sobre la que se dibuja el polígono

Ya teniendo una relación matemática que nos permite calcular el área de cualquier polígono cuadriculado, vamos a resolver un último ejercicio.
Hallar el área de las siguientes figuras sabiendo que cada cuadrícula cuadrada mide de lado un centímetro.
Polígono irregular de diez lados dibujado sobre papel cuadriculado de un centímetro

Solución:
En esta figura podemos notar que la cantidad de puntos externos perimetrales del polígono es 16 mientras que los puntos internos son 25, así que el área de este polígono es como se calcula a continuación.
Proceso de cálculo del área del polígono de diez lados

Y como en nuestro caso tomamos una cuadricula de lado de un centímetro, entonces el área de superficie es de \(32{cm}^{2}\).