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viernes, 15 de septiembre de 2017

Gauss-jordan y solución de un sistema de ecuación

Continuando con algo de álgebra de matrices, vamos en esta ocasión hablar de cómo resolver un sistema de ecuaciones usando el método gauss-jordan, antes de trabajar este método usando matrices, vamos a ver los pasos que contempla este método usando álgebra natural, por ejemplo vamos a considerar todos los pasos en la solución del siguiente sistema.
Sistema de ecuación en dos variables
Solución:
Escogemos nuestra columna de trabajo donde se encuentra la variable \(x\), dividimos la ecuación (1) entre el coeficiente 2 de la ecuación (1) que tomaremos como nuestro coeficiente pivote.
solución del sistema usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos  (1) por -4 y luego sumamos el miembro derecho de (1) a la ecuación (2) con el propósito de que la variable \(x\) en (2) tenga coeficiente cero.
solución del sistema utilizando gauss-jordan
Reescribiendo el sistema de ecuación original tenemos ahora:
Sistema de ecuación después de aplicar varios del método gauss-jorda
Como la columna que contiene las variable \(x\) , está normalizada al hecho de que el coeficiente en la ecuación (1) es uno y cero en la ecuación (2), eliminamos esta columna de futuras consideraciones, por lo que ahora tomamos la columna con variable \(y\) como nuestra columna de trabajo y tomaremos como nuestro coeficiente pivote -8, así que dividiremos cada término de la ecuación (2) entre -8.
solución usando gauss-jordan
Ahora multiplicamos toda la ecuación (2)  por el negativo del coeficiente de (y) en la ecuación (1) es decir -1.5.
solución usando gauss-jordan
Ahora sumamos (2) a la ecuación (1) para de esta manera obtener los demás ceros de la columna de la variable \(y\).
solución usando gauss-jordan
Ahora el sistema se nos reduce a:

Y como se observa los coeficientes de las variables quedan contenido dentro de una matriz unidad que es irreducible.
matriz unidad de segundo orden
Por tanto \(x=1\) y \(y=3\).
Todos estos pasos anteriores son los que se dan con el método gauss-jordan, pasos que en la mayoría de los casos tienen una notación matricial.
A nivel matricial, para resolver el sistema anterior
sistema de ecuación en dos variables
Expresamos todos los coeficiente de las diferentes variables \(x\) e \(y\) y los coeficientes independientes \(11\) y \(-2\) como una matriz de dos filas y 3 columnas \(2x3\).
sistema de ecuación expresado en forma de una matriz
Tomamos la columna (1) como nuestra columna de trabajo, y tomamos 2 como nuestro coeficiente pivote, dividimos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote entre 2, dándonos.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora multiplicamos toda la fila donde se encuentra el coeficiente pivote por el negativo del primer coeficiente de la segunda fila osea \(-4\) y luego el resultado se lo sumamos a la segunda fila.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos (1) a (2).
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Como ya se completó la configuración que establece que en cada columna debe haber un coeficiente igual a uno y los demás deben ser cero con el objeto de obtener una matriz unidad en las \(m-1\) columnas es decir en \(3-1=2\) columnas, ahora tomaremos como nuestra columna de trabajo la segunda columna y nuestro punto pivote será -8, así que dividiremos todos los coeficientes de la segunda fila entre -8.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Ahora buscaremos reducir a cero los demás elementos de la columna dos, para esto multiplicaremos la segunda fila por el negativo del coeficiente que está en la segunda fila dentro de la columna de trabajo, nos referimos a 1.5, pero lo tomamos negativos osea -1.5.
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Sumamos cada elemento de (2) a cada elemento de la fila uno, dándonos:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Y como la matriz formada por las dos primeras columnas es irreductible ya que es una matriz unidad, sabemos que hemos llegado a la máxima simplificación, por tanto:
Aplicando los pasos de gauss-jordan a la solución de un sistema de ecuación en forma matricial
Así que \(x=1\) y \(y=3\) son las soluciones del sistema de ecuación.
Como este artículo se ha extendido un poco, vamos en un próximo artículo a ver la solución de un sistema de ecuación en tres variables usando gauss-jordan.

Vea también

Aplicación de una matriz inversa a la solución de un sistema de ecuaciones

Matriz inversa