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miércoles, 22 de noviembre de 2017

Coordenadas esféricas

En este post vamos a ver las coordenadas esféricas y la manera de transformar coordenadas esféricas a rectangulares y viceversa, así como también la forma de relacionar coordenadas esféricas con coordenadas cilíndricas.
Para empezar, un punto en coordenadas esféricas, tiene tres coordenadas de las cuales una representa la distancia del centro geométrico de una esfera al punto extremo del vector \(\vec{H}\), mientras que las otras dos coordenadas son ángulos, partiendo de la figura siguiente podemos decir que las características principales de una terna esférica es.
punto en coordenadas esféricas

Así que observando la figura (1), nombraremos la proyección del vector \(\vec{H}\) en el \(\vec{r}\)  y la componente de \(\vec{H}\) ortogonal al vector \(\vec{r}\), por lo que se cumple que.
proyección del vector H en el vector r

Si decimos que:
Magnitud de H es igual a omega

Entonces la terna \(\left(\omega,\theta,\alpha\right)\), expresada en coordenadas cilíndricas \(\left(r,\theta,z\right)\), es.
Relación entre coordenadas cilíndricas y esféricas

Si observamos la gráfica (1), podemos observar que se cumple que.
proceso de transformar las coordenadas esféricas a rectangulares

Pero \(r\) es igual a \(\omega\sin{\alpha}\), por tanto la expresión anterior se transforma en la relación de las coordenadas esféricas en coordenadas rectangulares.
Coordenadas esféricas expresadas en coordenadas rectangulares

\(\omega\) es una distancia positiva, \(\theta\) es el ángulo normal usado en coordenadas cilíndrica con \(r\geq 0\), mientras \(\alpha\) va desde el eje positivo de \(z\) hasta el vector \(\vec{H}\) como muestra la figura (1), este ángulo está definido en el intervalo \(0\leq\alpha\leq\pi\).
Dicho todo lo anterior procederemos ahora a resolver algunos ejercicios,  de convertir coordenadas esféricas a rectangulares y viceversa.
1--Convertir el punto \(\left(4,\pi/3,\pi/4\right)\) a coordenadas rectangulares y cilíndricas.
Solución:
Para resolver este ejercicio usaremos las relaciones desarrolladas anteriormente, que nos permiten convertir coordenadas esféricas a rectangulares.
Ejercicio donde se transforman coordenadas esféricas a rectangulares

Para obtener este punto, pero ahora en coordenadas cilíndricas, utilizaremos la relaciones desarrolladas anteriormente con este propósito.
Transformación de coordenadas esféricas a cilíndricas

2—Transformar el punto \(\left(4,2,3\right)\) de coordenadas rectangulares a esféricas.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras sabemos que:
distancia del centro de coordenadas en el espacio a un punto (x,y,z)

Sabemos por las coordenadas cilíndricas que \(\theta\) es igual a:
fórmula para obtener el ángulo teta

Y también sabemos por la deducción de coordenadas esféricas a rectangulares que:
Fórmula para obtener el ángulo alfa

Con todo esto podemos entonces transformar el punto \(\left(4,2,3\right)\) a coordenadas esféricas.
punto en coordenadas esféricas equivalente a su igual en coordenadas esféricas

3—Transformar la ecuación de una esfera de coordenadas rectangulares a esféricas.
Ecuación de una esfera con radio a

Solución:
Para dar solución a este ejercicio vamos a usar la relación existente entre coordenadas rectangulares y esféricas que hemos venido utilizando, por ejemplo la distancia \(\omega\) es igual por el teorema de Pitágoras a.
definición de la distancia omega

Y si dos cantidades son iguales a una tercera entonces estas dos cantidades son iguales.
la distancia omega es igual a la longitud del radio a

Por tanto la ecuación de una esfera en coordenadas esféricas es.
Ecuación de una esfera en coordenadas esféricas

Vea también

Coordenadas cilíndricas.