Matemática y Física

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miércoles, 14 de febrero de 2018

Ecuación de una elipse

En este post estaremos viendo la forma de obtener la ecuación de una elipse, y para esto usaremos la definición del lugar geométrico de una elipse que básicamente reza así:
“Es el lugar geométrico de un punto  que se mueve de tal forma que su distancia a dos puntos focalizados en un mismo eje es siempre constante”
Para empezar nuestro análisis tomaremos estos dos puntos focales como \(A\left(-c,0\right)\) y \(B\left(c,0\right)\), estos dos puntos están a una misma distancia del origen de coordenadas \(O\left(0,0\right)\) es decir \(d=c\), y además tomamos un punto arbitrario \(P\left(x,y\right)\).
Imagen de una elipse
Entonces la suma de las distancias PA y PB, es siempre constante, y se ha demostrado que esta constante es igual a \(2a\) donde \(a\) es la distancia del origen O, a uno de los vértices más largos de la trayectoria del punto P, y definiendo \(b\) como la distancia más corta de un punto de la trayectoria al origen O, así que tomando todos estos datos en consideración podemos empezar a trabajar para obtener la ecuación de una elipse con estas características.
Definición geométrica de una elipse
Antes de continuar nuestro desarrollo de estos cálculos, vamos a establecer la relación existente entre la distancia \(c\), \(a\) y \(b\), si aplicamos el criterio para obtener máximos y mínimos de una curva, podemos demostrar que la ecuación (1) tiene dos puntos críticos,  un máximo y un mínimo, y que además estos dos puntos son la distancia más corta al origen O, por tanto esta distancia la podemos tomar como \(b\), sabemos por el criterio de los máximos y mínimos de una curva, que la expresión (1) tiene un máximo y un mínimo en \(x=0\), así que calcularemos el valor de \(y\) para \(x=0\).
Relación entre la distancia focal y los vértices de una elipse
Bueno ya sabiendo la relación existente entre \(a\),\(b\) y \(c\), podemos ahora simplificar la expresión (1), para esto primero pasaremos una de las expresiones radicales al miembro derecho y luego elevaremos ambos miembros de la igualdad al cuadrado para obtener.
Simplificación para obtener la ecuación de una elipse
Ahora elevamos ambos lados de la expresión (3) al cuadrado para eliminar la última expresión radical.
Simplificación de los radicales
Como \(b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}\), entonces \({b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}\), entonces la expresión (4) la podemos reescribir como a continuación.
compactando aún mas las expresiones
Dividiendo todos los términos de la expresión (5) entre \({a}^{2}{b}^{2}\), nos queda así.
cálculo final para obtener la ecuación de una elipse
Y la ecuación de una elipse con su centro en el punto (0,0) viene dada por:
Ecuación de una elipse con su centro en el origen (0,0)

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