septiembre 2014 - Matemática y Física

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lunes, 29 de septiembre de 2014

Conjunto de los números irracionales

Conjunto de los números irracionales
Definición de un número irracional:
Es aquel número que no puede ser expresado como el cociente de dos números enteros y que expresado en forma decimal no es periodico.
Ejemplos:

Los números irracionales se nombran o designan con el símbolo: Q'
donde Q' = {x/x es un número real y no puede escribirse como decimal periódico}

Veamos algunos ejemplos de suma y resta de números 
irracionales

Historia de los números irracionales
En la civilizaciones antiguas, los Griegos fueron los primeros en tener conocimiento de los números irracionales ,de que este conjunto de números no pertenecía al conjunto de los números racionales,estos números aparecen 
cuando surge la necesidad de representar la relación existente entre los lados de un cubo y su diagonal,tambíen la relación que existe entre los lados de un cuadrado y su diagonal..
De esta manera mucho antes de nuestra era pudieron hacer la demostración de estos números llamados hoy en día números irracionales utilizando geometría.
Los griegos se dieron cuenta de que con los números racionales no podían realizar operaciones como:

Ellos observaron que no podían expresar ciertas cantidades como el cociente de dos números enteros.
A estas cantidades las llamaron inconmensurables.

Las magnitudes inconmensurables aparecieron cuando trataron de medir las diagonales de algunas figuras cuadradas y rectangulares así como la relación que existe entre la circunferencia y su diámetro,etc.Esta medidas de estas longitudes hoy se pueden expresar através de los números 
irracionales.
fueron los pitágoricos los primeros que descubrieron que estos números no se podían expresar como el cociente de dos números enteros.
Por tanto el conjunto de los números irracionales viene a completar el conjunto conocido o llamado conjunto de los números reales

Vea también

Conjunto de los números enteros
Conjunto de los números racionales
Conjunto de los números reales

viernes, 26 de septiembre de 2014

Conjunto de los números racionales

Conjunto de los números racionales:
Los números racionales se definen como aquellos que pueden expresarse como el cociente indicado de dos números enteros donde el denominador es diferente de cero o aquellos que pueden ser expresado como decimales periódicos o exactos.
Este conjunto se nombra con la letra Q.

Ejemplos:

El conjunto de los números racionales está conformado por los números enteros y los números fraccionarios.
La propiedad fundamental o más importante de los números racionales es la propiedad de densidad ,que se expresa así:
entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
Fracciones decimales y números decimales:
Cuando el denominador de una fracción es:

Las fracciones siguientes :


son fracciones decimales.
0.7,0.12 y 0.005 ,son números decimales y se leen así:
0.7 = sietes décimas
0.12= doce centésimas
0.005= cinco milésimas
Unos de los ideologo de la forma en que se escriben los números fraccionarios mediante el punto decimal fue el matemático Juan Neper.
Clasificación de los decimales:
Los decimales se clasifican en:
--Decimales exactos
--Decimales periódicos puros
--Decimales periódicos mixtos
Decimales exactos:
Son aquellos que donde hay dividir el numerador entre el denominador se obtiene como residuo cero.
Ejemplos:

Decimales periódicos puros:
Son aquellos decimales en que se repite una cifra o un grupo de cifras después del punto decimal.
Ejemplos:
0.3333....      0.77777.....   0.242424.....
La condición de periodicidad se simboliza por:∩ o __
Ejemplos:

Decimales periódicos mixtos:
Son aquellos decimales cuyos períodos de repetición no inicia con la cifra inmediatamente después del punto decimal,sino con la segunda,tercera y así sucesivamente.
Ejemplos:
0.35555....
0.21333333....
¿Cómo llevar un decimal exacto a fracción?
a-Multiplicamos el  decimal y lo dividimos por una misma cantidad esta cantidad es la unidad seguida por tantos ceros como lugares haya en el decimal después del punto decimal.
Ejemplos:

¿Cómo llevar un decimal periódico puro a fracción?
1-Representamos la fracción como:

2-Multiplicamos cada mienbro de la igualdad por la unidad seguida de ceros como cifras periódicas tenga el ciclo de repetición.

3- Restamos a ambos lados de la igualdad la expresión inicial.

Y la fracción buscada es:

¿Cómo llevar un decimal periódico mixto a fracción?
1-Representamos la fracción como:

2-Como existe una cifra que no es periódica ,procedemos a multiplicar por diez ambos lados de la igualdad.

3- Ahora multiplicamos ambos miembros de la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte periódica, esta ocasión 100.

4-Restamos la expresión número dos a ambos lados de la igualdad.


Y la fracción buscada es:

Fracción generatriz:
Es el número fraccionario que da origen a una expresión decimal.
Ejemplos:
La fracción que genera 0.5 es:

La fracción que genera 0.7777.....,  es:

Historia de los números racionales
En la antiguedad los babilónicos usaban fracciones en donde el denominador  era una potencia de 60, sin embargo los egipcios utilizaron,sobre todo,las fracciones con numerador igual a 1.
En la escritura antigua,la fracción fueron expresada con un óvalo,que significaba parte o partido.,y abajo, o al lado,ponían el denominador , el numerador nunca se ponía por ser siempre uno.
Los romanos y los griegos utilizaron también las fracciones unitarias, cuyo uso se mantuvo hasta la epoca medieval.En el siglo XIII,Leonardo de Pisa,conocido como Fibonacci, famoso,entre otras cosas por la serie de Fibonacci,introdujo en Europa la barra horizontal para separar el numerador y el denominador en las fracciones.
A inicios del siglo XV,el árabe Al Kashi fue el que universalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.
A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrollo y extendió las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales,décimas,centésimas,milésimas,etc.
A inicios del siglo XVII,los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy.separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal.Los números decimales se impusieron,en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal,en el siglo XVIII, de manera concreta en el 1792.
Vea también
Conjunto de los números enteros
Conjunto de los números irracionales
Conjunto de los números reales

miércoles, 24 de septiembre de 2014

Conjunto de los números enteros

Conjunto de los números enteros:
El conjunto de los números enteros aparece o surge por la necesidad de extender o ampliar el conjunto de los números naturales.El hombre siente la necesidad de expresar deudas,faltas,etc.
Además de calcular restas,en las que el minuendo es menor que el sustraendo.
Ejemplos:
10-20=-10            y                  5-11=-6
El conjunto de los números enteros se nombra o se designa con la letra Z y se expresa así:

Z={...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5....}

En donde podemos hacer las siguientes afirmaciones:
Z+ = Enteros positivos
Z-  = Enteros negativos

Por tanto tenemos que :

Propiedades del conjunto de los números entero:
a-El conjunto de los números enteros es infinito.
b-El conjunto de los numeros enteros es ordenable.
c-A todo número entero le sigue y antecede otronúmero entero.
d-Entre dos números enteros consecutivos no existe otro número entero.
e-No existe un primer número entero.
Historia de los números enteros:
El ser humano en el principio de la evolución siempre usó recursos para hacer más fácil su relación con su medio ambiente,para contar usaba piedras ,hacía marca en la arena y suelo o nudo en la sogas.
En la era primitiva el hombre siempre buscaba soluciones a sus preguntas .Esta inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del ser humano primitivo ya evolucionado.Una vez el hombre aumenta su capacidad de darle repuesta a las cosas,realiza el concepto cantidad.
El hombre antiguo sólo era capaz de diferencial entre una cosa o muchas.Así que ,durante el proceso de hominización,a medida que desarrolla su capacidad de sentido asbtracto,aprende a contar.
El razonamiento matemático surgió por la necesidad de enumerar las reses,contabilizar objectos y tener control del paso del tiempo.En ninguna de estas tareas era precisado el cero.
El conjunto de los números naturales no son suficiente cuando se desea fijar una referencia.Como por ejemplo la temperatura ambiente o los tratos comerciales .Una deuda no se puede representar con un número natural ya que estos mayormente representaban ganancia e incremento y de cierta manera la deuda representa un estado de perdida o desbalance.
Había que inventar una referencia y una manera de contar a ambos lados de esta y esta referecncia es el número cero,los naturales positivos y los negativos.El número cero apareció en mesopotamia aproximadamente en el siglo III a.C,aunque su primer uso fue el digito sin contenido ,un posicionador,para distinguir unas cantidades de otras ,(ejemplo 2 de 20).Los números enteros se cuentan con respecto a la referencia menos tres,menos dos ,menos uno, cero ,uno,dos ,tres.
Vea también
Conjunto de los números racionales
Conjunto de los números irracionales
Conjunto de los números reales

lunes, 22 de septiembre de 2014

Conjunto de los números naturales

Conjunto de los números naturales:
El conjunto de los números naturales es el primer conjunto y se originó o surgió de una manera empírica con la necesidad de saber la cuantificación de las cosas u objectos.
El conjunto de los números naturalesnos permite contar y ordenar.
Los numesros naturales se representan con la letra N.
N={1,2,3,4,5,....}
Los números naturales cumplen con dos funciones , la función ordinal y la función cardinal.
Función ordinal:
Es cuando usamos los números naturales para ordenal.
Función cardinal:
Es cuando utilizamos los números para contar.
Propiedades del conjunto de los números naturales:
1- El conjunto de los números naturales es ordenable.
2- El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento y no tiene un ultimo elemento ,esto quiere decir que es un conjunto infinito.
3- Entre dos números naturales consecutivos no existe otro número natural.
4- Todo número natural n tiene un número anterior,menos uno ,esto significa que el primer número natural es uno.
ejemplo:
1,primer número natural
1+1=2,segundo número natural 
2+1=3,tercer número natural
5- A todo número natural sigue otro número natural .
La expresión que representa el suiguiente número natural es n+1,donde є N  ,siendo n todo número que pertenezca al conjunto de los números naturales.
Historia:
Mucho antes que aparecieran los números para representaciones de cantidades númericas,el hombre utilizó metodos alternativos para contar y para este proposito utilizaba objectos como son:piedras,troza de madera,nudo en una cuerda entre otras.
Muchas veces utizaban los dedos.
Mas tarde comienzan a surgir los simbolos gráficos como una señal para contar,un ejemplo es las marcas sobre una vara.Sin embargo fue en Mesopotamia alrededor del año4,000 (a.c) cuando surgen los primeros indicios de los números que consistian en grabados de señales en forma de cuñas encima de pequeño tableros de arcilla
usando para este proposito un palito aguzado.
De ahí surge el nombre de escritura cuneiforme.
Este sistema de numeración fue adoptado más adelante.aunque con simbolos gráficos diferentes,en Grecia y en Roma Antigua.
En la antigua Grecia se utilzaban unicamente letras de su alfabeto,sin embargo en la antigua Roma además de las letras ,se usaron algunos simbolos.
La persona que puso los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida,fue Richard Dedekind en el siglo XIX.
Esto después precisado por Peano dentro de una lógica de segundo orden,resultando así los famosos cincos postulados que lleven su nombre.
Frege fue superior a ambos ,demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de metodos más fuertes.Pero fue Zemelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales,de su teoría de conjunto y fundamentalmente mediante el uso del axioma de infinitud que,con una modificación de este hecha por Adoff Fraenkel,permitió construir el conjunto de números naturales como ordinales según lo establecido por Von Neumann

jueves, 18 de septiembre de 2014

Cocientes Notables

Cocientes Notables:
En el mundo de las matemáticas son cocientes que utilizamos mucho en las diferentes operaciones matemáticas por eso reciben el nombre de "Cociente notables"
Dentro de los diferentes cociente notable tenemos : la diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas por la suma de estas cantidades,la diferecncia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la diferiencia de estas cantidades, la suma de los cubos de dos cantidades divididas entre la suma de estas cantidades y la diferencia del cubo de dos cantidades divididas entre la diferiencia de estas cantidades.
Diferencia de los Cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de estas cantidades:
Esto es igual a la diferencia de las dos cantidades en cuestión.

Ejemplos:

Cuando este cociente es hecho entre (m-n) ,entonces la división es igual a la suma de las dos cantidades.


La suma de los cubos de dos cantidades divididas entre la suma de estas cantidades:
Esta es igual a la primera cantidad al cuadrado menos la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.


La diferencia del cubo de cantidades divididas entre la diferiencia de estas cantidades:
Esta es igual al cuadrado de la primera cantidad más la multiplicación de la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos:

martes, 16 de septiembre de 2014

Productos Notables

Productos Notables:
En el mundo de las matemáticas son productos que utilizamos mucho en las diferentes operaciones matemáticas por eso reciben el nombre de "Producto notables"
Dentro de los diferentes producto notable tenemos : el cuadrado de la suma de dos cantidades,el cuadrado de la diferencia de dos cantidades, el cubo de la suma de dos cantidades,el cubo de la diferencia de dos cantidades,la suma por la diferiencia de dos cantidades, la diferencia de los cubos de dos cantidades y la suma de los cubos de dos cantidades.
El cuadrado de la suma de dos cantidades:
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

El cuadrado de la diferiencia de dos cantidades:
Es igual al cuadrado de la primera cantidad menos dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos:

El cubo de la suma de dos cantidades:
Es igual al cubo de primera cantidad más tres veces la primera cantidad al cuadrado por la segunda cantidad más tres veces la primera cantidad por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.

Ejemplos:

Es igual al cubo de la primera cantidad menos tres veces la primera cantidad al cuadrado por la segunda cantidad menos tres veces la primera cantidad por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda cantidad.

Ejemplos:

Es igual a la diferiencia de los cuadrados de las dos cantidades.

Ejemplos:

La suma de los cubos de dos cantidades:
Es igual a la suma de las dos cantidades multiplicada por el cuadrado de la primera cantidad menos la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos:

La diferiencia de los cubos de dos cantidades:
Es igual a la diferencia de las dos cantidades multiplicada por el cuadrado de la primera cantidad más la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos:

Aumentar el tamaño de las letras o fuentes de internet

¿Cómo aumentar las letras o fuentes de internet?
Muchas veces queremos ver alguna información u objecto en la pantalla que por ser muy pequeño no lo podemos visualizar,para el proposito de poder ver un objecto o una información muy pequéña en internet lo que debemos hacer es aumentar el tamaño de la fuentes o letra , aumentando el "Zoom" en la pantalla.
El aumento del tamaño de las fuentes o letras puede variar dependiendo del navegador que se use aunque básicamente es el mismo procedimiento.
Hay muchos tipos de navegadores de internet entre los cuales podemos citar el Firefox, safari,internet explorer,google chrome entre otros.
Vamos a mostrar como aumentar el tamaño de las fuentes en dos de estos navegadores ,"google chrome" y "Internet explorer", el procedimiento para los demás navegadores es similar.
Aumento de fuente o letras en "google chrome":
Para aumentar el tamaño de las letras o fuente en "chrome" vamos al  menú que es un cuadrado con rayas horizontales que está en la esquina superior derecha ,este aparece encerrado en un ovalo rojo a continuación.
Luego hacemos click donde está el ovalo rojo y se nos abre la siguiente ventana.
Una vez abierta esta ventana vamos a donde dice "Zoom"  y entonces hacemos click en el signo de "más" si queremos aumentar el tamaño de las letras o fuente o hacemos click en el signo "menos" si queremos disminuir el tamaño de la fuente a continuación les presentamos la ficha "Zoom" y sus herramienta encerradas en una elipse roja.
 Aumento de la letras en "Internet Explorer":
Para aumentar el tamaño de la letras o fuente en "Explorer" vamos a la ficha que dice "Páginas" que aparece encerrada en un ovalo rojo a continuación.
Hacemos click en la ficha que dice "Página" encerrada en el ovalo rojo y se nos abre la siguiente ventana de menú.
Una vez abierto este menú vamos a la parte donde se encuentran los porcentajes y aumentamos o disminuimos el tamaño de la letras o fuentes haciendo click en los números encerrados en el triángulo como se muestra en la figura a continuación segun nuestra preferencia .
Y de esta manera aumentamos el tamaño de las letras o fuentes en internet , estos procedimientos son similares para los demás navegadores.