Movimiento en línea recta - Matemática y Física

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lunes, 27 de octubre de 2014

Movimiento en línea recta







Movimiento en el mundo real
Este tema lo vivimos en nuestro diario vivir por ejemplo la velocidad a la que viaja un avión ,la velocidad de un carro y en cuánto tiempo recorre una distancia determinada,el movimiento circular eliptico de la luna alrededor de la tierra ,el movimiento de los planeta ,el movimiento de un objeto dejado caer desde una altura determinada, son unos cuántos ejemplos de lo que es el movimiento.por que en este tutorial estaremos abordando una clase especial de movimiento como lo es el movimiento rectilíneo o movimiento en línea recta.

Mecánica:

Es la parte de la física que estudia la relaciones que existen entre la fuerza,materia y movimiento.
Cinemática:

Es la parte de la macánica que estudia y describe el movimiento .
Dinámica:

Es la parte de la física que estudia las relaciones que existen entre el movimiento y sus causas.
Para medir y describir el movimiento de una partícula utilizamos las cantidades velocidad y aceleración,aunque debemos decir que la velocidad y aceleración en física son vectores lo cual quiere decir que tienen magnitud y dirección.
Un caso importante del movimiento rectilíneo es cuando la aceleración es constante.
Desplazamiento:


El desplazamiento es el cambio de posición de una partícula.Matemáticamente esto se expresa así:

Ejemplo:
¿Cual es el desplazamiento de un objeto que se desplaza desde una posición de x1 = 5m a una posición de x2 = 25m ?

Solución:

Supongamos que un chofer de autos maneja su auto por una carretera recta.Para analizar este movimiento ,debemos utilizar un sistema de coordenadas para analizar la posición del auto.Entonces tomamos el eje x a lo largo de la trayectoria recta del auto,con el origen O en la línea de salida.Una forma decribir el movimiento es representarlo como una partícula y decir que el cambio de posición del carro o de la partícula ocurrió en un intervalo de tiempo determinado.Suponiendo que el auto parte del reposo y su frente esta en el punto P1, a 5m del origen ,y 3s más tarde está en P2, a 100m del origen .El desplazamiento es un vector que apunta de P1 a P2 .Entones la componenete x del desplazamiento del auto es el cambio del valor de x (100m-5m)=95m ,que hubo en un intervalo de tiempo de (3s-0s)=3s ,tal como se muestra en la siguientes figura.

Velocidad media:

Entonces tomando en consideración el movimiento del auto , la velocidad media se define como una cantidad vectorial cuya magnitud es igual al cambio de posición dividido entre el intervalo de tiempo de manera que si el cambio de posición es 95m y el intervalo de tiempo es de 3s ,entonces la velocidad media es (95m/3s)=31.67m/s .Matemáticamente la velocidad media se expresa así:

Ejemplo: 
¿Cuál es la velocidad media de una partícula que se desplaza de una posición x1 = 3m  en un tiempo t1 = 0s, a una posición de x2 = 13m en un tiempo de t2 = 2s?
Solución:
Calculamos el desplazamiento que es (13m-3m)=10m,luego calculamos el lapso de tiempo en que se hizo este desplazamiento que es  t2-t1 = 2s-0s = 2s, por tanto la velocidad media es :

La figura siguiente muestra el proceso geométrico de la velocidad media, la gráfica es una representación de la posición en función del tiempo, es decir una gráfica x-t.La curva de la figura no representa la trayectoria de una partícula u objeto ;ya que la trayectoria es una línea recta como se puede ver en la figura donde aparece un carro en movimiento .Entonces la gráfica es una manera de representar cómo cambia la posición de la partícula u objecto con el tiempo ,los puntos representados por P1 y P2 corresponden a la trayectotia que sigue la partícula u objecto.La línea P1P2 es la hipotenusa del triángulo que se forma en la siguiente figura en donde los catetos de este triángulo son:

De esta manera la velocidad es entonces:

Como se puede ver la velocidad media es igual a la pendiente de  la línea P1P2

Velocidad instantánea:

Como se pudo ver la velocidad media de una partícula en un lapso de tiempo no nos da información sobre que rapidez y en qué dirección se estaba moviendo la partícula en un instante determinado de un intervalo de tiempo .Por tanto para describir el movimiento más detalladamente necesitamos definir la velocidad en cualquier instante o punto especifico de una trayectoria determinada.Esta velocidad es la velocidad instantánea.
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media en dónde el intervalo de tiempo tiende a cero,y es igual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo.matemáticamente esto se expresa así:

En dónde siempre tomamos Δt como positivo ,entonces si Δx es positivo la velocidad instantánea es positiva , si Δx es negatitivo la velocidad instantánea es negativa.
La velocidad instantánea al igual que la velocidad media también es un vector , la ecuación anterior define la componente x de la velocidad instantánea y puede ser positiva o negativa.En lo que concierne al movimiento rectilíneo las demás componenetes (y) y (z) son cero, entonces la velocidad instantánea definiendo el eje x cómo el eje de acción es:

Rapidez:

Es la magnitud del vector velocidad .
Como se puede observar la diferencia que existe entre la velocidad y la rapidez es que la rapidez es una cantidad escalar mientras la velocidad es una cantidad vectorial
Ejemplo:
Si una partícula se mueve según la función de desplazamiento

¿Cuál es la velocidad instantánea en t=0s ,t=1s,t=2s ?
Solución:
Tomamos la  primera derivada que corresponde a la velocidad instantánea  de la función desplazamiento de la partícula.

Ahora evaluamos la función de velocidad instantánea resultante
en t=0s , t=1s , t=2s .

Cómo se puede ver la velocidad instantánea en los diferentes instantes es 0m/s , 6m/s , 24m/s .
Aceleración media

La aceleración se define cómo el ritmo al que cambia la velocidad de una partícula u objecto con el tiempo.De manera que cómo la velocidad es la tasa de cambio de la posición en el tiempo.La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad en el tiempo.
Si observamos una partícula que se mueve en el eje x.Suponiendo que ,en el tiempo t1 ,la partícula está en el punto P1 y tiene una componente x de la velocidad instantánea y en un instante más tarde t2 está en P2 y tiene otra componente x de la velocidad instantánea , este cambio de velocidad instantánea se expresa así:

Este cambio de velocidad se dá en un intervalo de tiempo que se expresa así:

De manera que la aceleración media en el eje x se expresa matemáticamente así:

Ejemplo:
¿Cuál es la aceleración media de una partícula que se mueve a lo largo del eje x, que en t1=2s tiene una velocidad instantánea de  2m/s y en  t2=4s tiene una velocidad instantánea de 12m/s?
Solución:
Sacamos los datos del problema luego los sustituimos en la formula de aceleración media.

Ahora sustituimos cada dato en la ecuación de la aceleración media.

Aceleración instantánea:

La aceleración instantánea se define siguiendo el camino que  se siguió para definir la velocidad instantánea.

Como se puede ver en la figura anterior para definir la aceleración en el punto P1 ,acercamos el punto P2 cada vez más al punto P1 de modo que la aceleración media se puede medir en intervalos de tiempo cada vez menores.
La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media en dónde el intervalo de tiempo tiende a cero.En el mundo del cálculo la aceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la velocidad con el tiempo.Matemáticamente esto se expresa así:

Ejemplo:
Un auto experimenta una velocidad dada por la siguiente función

¿Cuál es la aceleración instantánea en t1=1s , t2=2s , t3=3s ?
Solución:
Obetenemos la primera derivada de la función velocidad .

Una vez obtenida la derivada de la velocidad instantánea que es igual a la aceleración instantánea , evaluamos la misma en los tiempos dados de esta manera obtenemos la aceleración instantánea.

Movimiento con aceleración constante

Este es uno de los tipos de movimiento más fácil de analizar.En este caso del movimiento rectilíneo , la velocidad cambia a un ritmo o tasa constante todo el tiempo.Este movimiento rectilíneo con aceleración constante es un caso muy especial , pero que suele darse en la naturaleza , como veremos más adelante un cuerpo que cae libremente tiene aceleración constante si los efectos del aire son aproximadamente nulos . Esto también puede suceder con un cuerpo que se desliza por una pendiente o línea horizontal sin fricción . En el mundo tecnologico un avión que despega de un portaviones se le debe imprimir cierta aceleración para que pueda despegar del portaviones sin caer al mar. Como se puede observar si la aceleración es constante la gráfica a-t representa una línea horizontal.

Para deducir una expresión matemática para la velocidad en el movimiento con aceleración constante , para esto usamos nueva vez la formula para aceleración media.

Ahora procedemos a sustituir cada término de la formula por sus nuevos valores para el caso en que el cuerpo experimenta aceleración constante.

Luego procedemos a sustituir cada valor en la formula de la aceleración media de esta manera tenemos que:

Ahora procedemos a despejar la velocidad final para esto primero multiplicamos ambos miembros de la ecuación anterior por (t) .

Entonces la expresión anterior nos queda así .

Y finalmente despejamos la velocidad final pasando la velocidad inicial al miembro derecho de la ecuación con su signo cambiado.

Como se puede ver la formula deducida representa la velocidad final de un cuerpo que experimenta aceleración constante , la velocidad en el movimiento con aceleración constante se representa graficamente con una línea recta que parte del origen P si la velocidad inicial es cero en caso contrario parte de un punto diferente del origen P .

Ahora deduciremos una expresión que nos permita obtener la posición de un cuerpo utlizando aceleración constante.Para ello tomaremos las formula para la aceleración media.

Sustituimos cada una de las variables por su nuevos valores.

También tomamos el promedio de la velocidad inicial y final que sólo se cumple en el caso de movimiento rectilíneo con aceleración constante.

Ahora sustuimos la velocidad final en la formula anterior para obtener.

Luego igualamos las dos expresiones para la velocidad media.

Ahora multiplicamos por (t) ambos miembros de la igualdad.

Entonces la expresión anterior nos queda así.

Ahrora despejamos la posición final simplemente pasando al miembro derecho de la expresión la variable que representa la posición inicial.

De manera que la formula u expresión anterior representa la posición final de una partícula que experimenta movimiento rectlíneo con aceleración constante.
La posición en el movimiento con aceleración constante se representa graficamente con una parábola que parte del origen P si la posición inicial es cero en caso contrario parte de un punto diferente del origen P .

Para verificar que la velocidad es la derivada de la posición y que ambas expresiones son congruentes les invitamos a obtener la derivada de la posición y así obtener que :

Ahora deduciremos una expresión que relacione la velocidad final la velocidad inicial y la posición en un movimiento rectilíneo , para esto despejaremos el tiempo en la siguiente formula.

Entonces al despejar el tiempo de la expresión anterior obtenemos .

Una vez despejado el tiempo lo sustituimos en la formula para la posición en función del tiempo.

Ya sustituido el tiempo la expresión nos queda así .


Ahora pasamos la posición inicial al miembro izquierdo de la igualdad .

Ahora multiplicamos ambos miembros de la igualdad por .

Luego de hecho esto procedemos a simplificar .

Como se puede ver en la anterior simplificación el resultado es entonces .

La formula anterior relacióna la velocidad final , la velocidad inicial y la posición de un cuerpo en movimiento rectilíneo .

Finalmente deduciremos una expresión que se aplica a el movimiento rectilíneo con aceleración constante , cuando no se conoce la aceleración , para esto igualaremos las dos expresiones para la velocidad media con las que hemos trabajados hasta este momento .

Igualamos las dos expresiones anteriores para obtener que :

Luego despejamos la posición multiplicando ambos lados de la igualdad anterior por (t) .

Una vez hecho esto la expresión anterior nos queda así :

Esta expresión o formula es muy útil ya que nos permite calcular la posición cuándo desconocemos la aceleración .


Ecuaciones del movimiento con aceleración constante.
Como se ha podido observar las ecuaciones que nos permiten resolver cualquier problema de cinemática que se relacione con el movimiento rectilíneo de una partícula con aceleración constante son las siguientes :

Ejemplo.
Una patícula se encuentra a una distancia de 6m de un punto de referencia  en t=0s, la aceleración de la partícula es constante e igual 3m/s2 ,y se mueve a una velocidad de 14m/s al este . a) Calcular la posición y velocidad de la partícula en t=3s . b) ¿Dónde está la partícula cuando su velocidad es 30m/s ?. c) ¿En qué instante la velocidad de la partícula es de 30m/s ?.
Solución:
Como el problema nos establece que la aceleración es constante usaremos las fórmulas para aceleración constante que nos permitan resolver este problema.
Primero extraemos los datos y las variables metas para la parte (a) del problema.

Ahora para obtener la posición de la partícula en t=3s usaremos la fórmula .

Ahora hallaremos la velocidad final en t=3s usando la fórmula que relaciona la velocidad final con el tiempo , velocidad inicial y aceleración .

Para contestar la parte (b) y (c) del problema utilizamos los siguientes datos .

Ahora buscamos una fórmula que nos relacione la posición con los datos anteriores , luego despejamos la posición y sustituimos los datos anteriores .

Sustituyendo los datos obtenemos que :

Para contestar la parte (c) del problema utilizamos los siguientes datos .

Ahora buscamos una fórmula que relacione todo estos datos y luego despejamos el tiempo en que la velocidad es 30m/s .

Una vez hecho esto sustituimos los datos que se nos dan .


Resolución de problemas de cinemática.
Para resolver cualquier problema de cinemática que incluya los campos que presentamos más abajo ,sólo intoduzca los números correpondiente a cada campo y presione el botón que está al final de todo los campos para obtener la solución en la casilla que tiene el caracter "?".
Para comprobar los resultados de la parte (a) del problema que corresponde a encontrar la posición final de la particula , les invitamos a sustituir los datos correpondientes a la parte (a) y luego presionar el botón rojo dónde dice "Solución" para obtener la posición final .
Posición inicial
Velocidad inicial
Aceleración
Tiempo
Posición final


Para comprobar los resultados de la parte (a) del problema que corresponde a encontrar la velocidad final de la particula , les invitamos a sustituir los datos correpondientes a la parte (a) y luego ha hacer click en el botón negro dónde dice "Solución" para obtener la velocidad final .
Velocidad inicial
Aceleración
Tiempo
Velocidad final



Para comprobar los resultados anteriores para la parte (b) que corresponde a encontrar la posición final cuándo la partícula ha alcanzado una velocidad final de 30m/s , les invitamos a sustituir los datos para esta parte (b) del problema luego hacer click en el botón verde para obtener la posición.

Posición inicial
Velocidad inicial
Velocidad final
Aceleración 
 Posición final


Para comprobar los resultados de la parte (c) del problema que corresponde a encontrar el tiempo en que la partícula alcanza una velocidad 30m/s , les invitamos a sustituir los datos correpondientes a la parte (c) y luego presionar el botón azul dónde dice "Solución" para obtener la posición final .


Velocidad inicial
Velocidad final
Aceleración 
Tiempo


Nota: El tiempo debe estar en segundo, la velocidad en m/s , la posición en metros y la aceleración en m/s2 .Si su velocidad esta en mi/h o km/h debe convertirlas a m/s ,para hacer esta conversión haga click en este enlace "Conversión de una unidad a otra"



El movimiento en caida libre como el título así lo indica es cuando un objeto o cuerpo cae libremente bajo la influencia de la atracción gravitacional de la tierra ,Tal como se muestra en la figura de la izquierda . Este tipo de movimiento vertical ha capturado la atención de filósofos y científicos desde tiempos antiguos .De tal manera que en el siglo IV a.C,Aristósteles afirmaba de manera equivocada que los cuerpos pesados caen más rapido que los cuerpos menos pesados o más ligero , de manera proporcional al peso . Pasados 19 siglos , el científico Galileo afirmó que los cuerpos caen con una misma aceleración constante independientemente del peso del objeto .Se dice que Galileo hacía pruebas en la torre de Pisa de Francia , dejando caer objetos . Desde aquel tiempo se viene estudiando el movimiento de los cuerpos en caída libre con mucha mayor exactitud . Como ya se ha podido demostrar Galileo estaba en lo correcto si se ignora los efectos del aire , todo cuerpo cae con la misma aceleración , sin importat su peso siempre y cuando la distancia de caida de el cuerpo sea muy pequeña en comparación con el radio terrestre . Como se puede ver el movimiento en caida libre se puede analizar de manera idealizada ya que todos los cuerpos en caida libre experimenta cierta resistencia del aire que hace que la aceleración pueda variar en ocasiones y no ser constante .
Si medimos la velocidad de un cuerpo en caida libre en diferente instante , siendo la diferencia de estos instantes o tiempos iguales se demuestra que el cambio de velocidad dividido entre la diferencia de estos instantes o intervalos de tiempo el valor que se obtiene es constante , por tanto la aceleración del cuerpo en caida libre es constante  y se conoce como aceleración de la gravedad , y es representada por la letra "g" , siendo su valor aproximado de :

Como se dijo este es un valor aproximado ya que la aceleración de la gravedad pueda variar ligeramente dependiendo del lugar en que se mide .También la aceleración de la gravedad en otros planetas con diferente tamaños y masas al de la tierra puede variar y ser mayor menor o igual . Ejemplo la aceleración de la gravedad en la superficie de la luna es aproximadamente 1.6m/s2 .



Para analizar un problema de movimiento en caida libre utilizamos las mismas ecuaciones o fórmule que se utilizan para aceleración constante ya que la aceleración de la graveada es constante , pero si queremos indicar que el objeto o cuerpo se mueve hacia abajo debemos tomar la aceleración , la velocidad inicial y posición inicial como negativa .Ahora bien si el movimiento del objeto o partícula es hacia arriba tomamos la aceleración de la gravedad como negativa y la velocidad y posición como positiva . De manera que el signo negaitivo de la aceleración nos indica que esta siempre actúa hacia abajo sin importar la dirección del movimiento del objeto .

Ejemplo.
Un objeto se deja caer desde una edificio , si el objeto parte desde el reposo .¿Cuál será su posición y velocidad después de t=2s , t=3s ?
Solución:
Primero sustituimos las fórmulas para la posicón y velocidad en el eje x por el eje y , entonces la aceleración la sustituimos por la aceleración de la gravedad.

Ahora encontramos la posición y la velocidad en t=2s ,sustituyendo este valor en las expresiones encontradas.

Ahora encontramos la posición y velocidad en t=3s .

Ejemplo:
Un pitcher lanza una bola de baseball directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 10m/s .
a) ¿Qué altura máxima alcanza la bola?
b) ¿En cuánto tiempo alcanza esta altura?
c) ¿Qué velocidad tiene la bola en t = 1.5s ?
Solución:
Para resolver la parte a) del problema buscamos una de la fórmulas de aceleración constante que relacione la velocidad final , la velocidad inicial y la altura .

Luego sustituimos los datos en la fórmula anterior.

Ahora procedemos a despejar la altura .

Para resolver la parte b) del problema una vez más buscamos una fórmula que relacione la velocidad final que es cero cuándo la bola alcanza su máxima altura , la velocida inicial y el tiempo y luego sustituimos los datos correspondientes .

Ahora procedemos a despejar el tiempo .

Ahora vamos a resolver la parte c) del problema sustituyendo los datos que se nos dan en una expresión que relacione la velocidad final , la velocidad inicial y el tiempo .
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Como se puede ver la velocidad en un tiempo igual 1.5s tiene un signo negativo , lo que nos da ha entender que la bola se está moviendo hacia abajo con una magnitud de velocidad igual a 4.7m/s .
Vea tambíén
Cálculo integral y movimiento rectilíneo

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