Vectores - Matemática y Física

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lunes, 13 de octubre de 2014

Vectores


1.1-Vectores
1.2-Metodo del polígono
1.3-Metodo del paralelogramo
1.4-Resta de vectores
1.5-Componentes de vectores
1.6-Uso de componentes para sumar vectores
1.7-Producto escalar de dos vectores
1.2-Producto vectorial


Vectores
El tema de los vectores es un tema común tanto en matemáticas y físicas,por tanto lo abordaremos desde ambas perspectivas.Ahora abordaremos los vectores desde el punto de vista de la física.
Muchas cantidades en el mundo de la física,como temperatura,tiempo,densidad,masa y carga eléctrica,se pueden describir completamente con un número y una unidad,sin embargo muchas cantidades importantes están relacionadas con una dirección y no pueden describirse simplemente con un número.
Estas cantidades hacen un papel fundamental en muchas áreas fundamentales de la física ,como el movimiento y sus causas así como también los fenómenos de magnetismo y electricidad.
Un ejemplo sencillo es el movimiento de un avión para describirlo plenamente no sólo debemos decir cuán rápido vuela también debemos decir hacia dónde vuela.
Entonces la rapidez del avión asociada con su dirección es lo que se conoce como velocidad.La fuerza es otro ejemplo que en la física no es más que un tirón o empuje de un cuerpo.Para describir completamente la fuerza no sólo debemos indicar su intensidad también debemos indicar la dirección hacia dónde empuja o tira.
Cantidad escalar:
Es cuando una cantidad se describe con solo un número.ejemplos de escalares son la masa,el tiempo,la temperatura entre otros.A los escalares se le pueden aplicar las operaciones ordinarias,ejemplo
7 x 3s = 21s,o 25kg + 5kg = 30kg.
  Cantidad vectorial:
Es cuando una cantidad tiene una magnitud y una dirección.
A los vectores no se le puede aplicar las operaciones ordinarias que se le aplican a los escalares, esto significa que no es lo mismo sumar dos cantidades escalares que sumar dos cantidades vectoriales.
Un ejemplo de un vector es el desplazamiento que es el cambio en la posición de un punto.
En la figura  presentamos el cambio de posición del punto P1
al punto P2 con una línea que va de P1 a P2,con una punta de flecha en P2 para indicar la dirección.Entonces el desplazamiento es una cantidad vectorial porque no tan solo debemos saber cuánto se mueve una partícula, sino también hacia dónde.
Un ejemplo es correr 4km a sur no nos lleva al mismo lugar que correr 4km al oeste,ambos desplazamientos tienen la misma magnitud 4km ,sin embargo diferente dirección.
Simbólicamente los vectores se representan con una letra y una flecha encima de esta. Ejemplo: \(\vec{A}\)
Al trazar un vector siempre se hace con una línea con punta de flecha.En dónde la longitud de la línea representa la magnitud , y la dirección de la línea es la del vector.

 En la figura  la partícula sigue el camino curvo no obstante a eso su desplazamiento sigue siendo: \(\vec{A}\)
Como se puede observar el desplazamiento no se relaciona con la distancia total recorrida.Si la partícula continuara hasta P3 y retornara a P2 su desplazamiento sería cero y no la distancia recorrida de ida y de vuelta.
Vectores paralelos:
Son aquellos que tienen la misma dirección sin importar su ubicación en el espacio.
Ejemplo:

Vectores antiparalelos:
Son aquellos que tienen direcciones opuestas sin impotar que tengan la misma magnitud.
Ejemplo:

Vectores iguales:
Son aquellos que tienen la misma dirección y la misma magnitud sin importar su ubicación en el espacio.
Ejemplo:


Magnitud de un vector:
Con frecuencia representamos la magnitud de una cantidad vectorial con la misma letra más delgada y sin la flecha encima.
Ejemplo:

Nunca una cantidad escalar es igual a una cantidad vectorial porque son cantidades de distintos tipos.

Suma de vectores:
Imaginemos que una partícula tiene un desplazamiento: \(\vec{A}\), a continuación se tiene un desplazamiento \(\vec{B}\) como se muestra en esta figura

Como se ve en la figura el resultado es el mismo que si la partícula hubiera partido del mismo punto inicial y hiciera un desplazamiento \(\vec{C}\)
Entonces \(\vec{C}\) es el vector sumatoria o resultante de los desplazamientos \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\)
Todo esto se expresa simbólicamente así \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\)
Como se acaba de ver el sumar dos vectores es un proceso geométrico y no un proceso aritmético.
Ahora bien si efectuamos la suma de \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) de forma inversa es decir primero \(\vec{B}\) y después \(\vec{A}\) el resultado es el mismo como se muestra en la siguiente figura

Como se puede observar el orden de los vectores en una suma no altera el resultado.
Por tanto la suma de cumple con la propiedad conmutativa.
El método que se uso para sumar los vectores se conoce como el método del polígono.

Metodo del polígono:
Es el método en dónde el vector resultante completa un polígono.
Ejemplo:
En este ejemplo el vector resultante completa el polígono conocido como el triángulo.

Otro método que se usa es el método del paralelogramo.
Metodo del paralelogramo:
Este método consiste en reunir las colas de los vectores en un punto y trazar lineas paralelas a ambos vectores ,esto crea un punto de intersección de ambas líneas ,entonces se une el punto de reunión de las colas de los vectores con el punto de intersección trazando una línea ,esta línea es el vector resultante.
Siendo \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) dos lados adyacentes.
Ejemplo:
En este se forma un paralelogramo.


Suma de más de dos vectores:
Las suma de más de dos vectores se hace de dos en dos ,esto

significa que se suman dos vectores ,el resultado de esta suma produce un vector resultante que se suma a otro vector y así sucesivamente como se puede ver en la fig 1 se suman \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) dando \(\vec{D}=\vec{A}+\vec{B}\) luego sumamos \(\vec{D}+\vec{C}\) para obtener \(\vec{R}=\vec{D}+\vec{C}\) entonces el vector sumatoria es: \(\vec{R}=\left(\vec{A}+\vec{B}\right)+\vec{C}=\vec{D}+\vec{C}\)




Ejemplo:
Un montañista recorre 2mi al sur y 3mi al este por una parte llana de una montaña.a) ¿A qué distancia y en qué dirección está del punto de partida?
Solución:
Primero combinamos los desplazamiento para encontrar las variables en cuestión a) la distancia respecto a su punto de partida.
Vamos a representar estos desplazamientos en un diagrama.

1- Los vectores de la figuras forman un triángulo rectángulo en la distancia del punto de inicio al punto final es la hipotenusa .Entonces hallamos esta longitud usando el teorema de pitágoras.

2- La dirección la obtenemos con simple trigonometría. Aplicamos la función trigonométrica tangente.

Entonces la distancia es  3.61mi y la dirección es 56.3º al este del sur.




Resta de vectores
A la hora de restar dos vectores lo primero que debemos tener en cuenta es que el signo de menos delante de un vector cambia la dirección de este.
Ejemplo:
Si cambiamos el signo a un vector \(\vec{B}\)
Entonces el resultado es como se muestra en la siguiente figura.

Si tenemos la diferencia de dos vectores el vector sustraendo se le cambia la dirección tal como se muestra en la siguiente figura.
Entonces el vector resta o diferencia queda tal como se muestra en la siguiente figura.


Componentes de vectores:
Este método a diferencia del método del polígono y del paralelogramo no utiliza diagrama ya que la mediciones con diagramas no son tan precisa y los análisis con triángulo rectángulo solo funcionan con vectores perpendiculares.
El método de las componentes de un vector es el método más preciso a la hora de realizar una suma de vectores.
Para analizar las componentes de un vector dibujamos un vector en un sistema de coordenadas rectangulares con su cola en el punto O.
Un vector se puede representar como la suma de un vector paralelo a x y otro paralelo a y.
Sea \(\vec{{A}_{x}}\) la componente paralela al eje x y sea \(\vec{{A}_{y}}\) la componente paralela al eje y ,esto se puede expresar simbólicamente así: \(\vec{A}=\vec{{A}_{x}}+\vec{{A}_{y}}\)
Esta suma se representa en un plano xy como se muestra en la siguiente figura.

Si sabemos la magnitud y la dirección del vector ,entonces podemos calcular la magnitud del vector respecto al eje x y la magnitud respecto al eje y en dónde la dirección del vector respecto al eje x es \(\emptyset\).

Ejemplo:
Encontrar las componentes  x e y de el vector \(\vec{C}\)
Donde la magnitud del vector es C = 4 m  y el ángulo es Ø=30º .
Solución:
Primero representamos el vector en cuestión con sus diferentes componentes en una gráfica como se muestra en la siguiente figura. 

Luego procedemos a encontrar la componente x e y de manera analítica como se muestra a continuación.

Entonces la componente x del vector es 3.46 y la componente (y)
del vector es 2m .

Uso de componentes para sumar vectores
Un vector se describe completamente en base a su magnitud y dirección o sus componentes x o y.Ya observamos como obtener las componentes de un vector si conocemos la magnitud y dirección.
Este proceso se puede invertir y hallar la magnitud y dirección si conocemos las componentes de un vector ,aplicando el teorema de pitágoras a el vector de la siguiente figura.

Podemos observar que la magnitud del vector es:
\(C=\sqrt{{{C}_{x}}^{2}+{{C}_{y}}^{2}}\)
Cuando obtenemos la raíz siempre tomamos la raíz positiva.La ecuación anterior de la magnitud del vector en cuestión es válida siempre y cuando los ejes x e y sean perpendiculares.

Ahora bien la dirección del vector viene dada por las siguientes expresiones.

en donde Ø representa la dirección del vector.
Ahora bien dado dos vectores y su resultante tenemos que:
\(\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}\)
De manera que la componente x del vector resultante es igual a 
la sumatoria de las componentes x de los diferentes vectores y 
la componente y del vector resultante debe ser igual a la sumatoria
de las componentes y de los diferentes vectores esto se expresa así:
\({R}_{x}={A}_{x}+{B}_{x}\:\:\:\:{R}_{y}={A}_{y}+{B}_{y}\)
La figura mostrada a continuación muestra el proceso geométrico 
utilizado para demostrar la suma de las componentes y sus diferentes vectores.


Como se puede observar en la figura la componente resultante x es igual a la   a la suma de las componentes x de los dos vectores mostrados en la figura y la componente resultante (y) es igual a la suma de las componentes (y) de los vectores mostrados en la figura.



Ejemplo:
Hallar la fuerza resultante de dos fuerzas que actúan sobre una caja como se muestra en la figura

Solución:
Para esto lo primero que hacemos es representar la suma vectorial en un sistema de coordenada rectangular como se muestra en la siguiente figura.

Luego descomponemos el vector \(\vec{A}\) y el vector \(\vec{B}\) en sus componentes x e y como se muestra a continuación.

Ahora procedemos a sumar las componentes x e y de cada vector.

Entonces después de obtenidas las componentes x e y del vector resultante procedemos a encontrar la magnitud y dirección del vector resultante.

Como se puede observar el vector de fuerza resultante tiene una magnitud de 7.74N y una dirección de 18.8º con respecto al eje x positivo
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Nota : Vuestra opinión y sugerencias las tomamos muy seriamente , si este post te ha servido déjanos tus comentarios y sugerencias .

Vea también
Producto escalar de dos vectores
Producto vectorial

2 comentarios:

  1. Hola Leopoldo el motivo de mi comentario es para ver si usted o una de las personas que visitan este blog me puede dar respuesta a esta pregunta .
    Si el vector resultante de sumar dos vectores de igual magnitud es a) 2A b) √2A c) 0
    ¿Qué ángulo forman los dos vectores cuya magnitud es A en cada caso? .Gracia de antemano

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    Respuestas
    1. Bueno la respuesta a la parte a) es 0º , la respuesta a la parte b) es 90º y la respuesta a la parte c) 180º , espero que esta respuesta te sirva , bueno y estamos a tus ordenes

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