noviembre 2014 - Matemática y Física

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miércoles, 26 de noviembre de 2014

Distancia de un punto a una recta

1.1-Distancia de un punto a una recta(deducción 1)
1.2-Distancia de un punto a una recta(deducción 2)
1.3-Distancia de un punto a una recta(deducción 3)


Distancia de un punto a una recta
deducción 1
En este post mostraremos como deducir de manera algebraica la distancia de un punto p(x1,y1)  en el plano xy a una recta dada su forma general como Ax+By+C=0 este problema de geometría analítica también puede ser abordado desde los conceptos de vectores . Cuándo hablamos de la distancia de un punto a una recta en el plano nos referimos a la distancia más corta que debe haber entre el punto y la recta . Cómo se puede observar en la gráfica siguiente los segmentos de recta de colores rojo y verde son distancias del punto a la recta pero no representan la distancia más corta que existe entre el punto y la recta . Cómo se puede observar en la gráfica la distancia más corta está representada por el segmento de recta de color azul .

Para hallar la distancia de un punto a una recta lo primero que hacemos es hallar el seno de ángulo θ tanto para el triángulo ABC como para el triángulo ABD , como se puede observar en la gráfica, el seno de θ para ambos triángulos es el mismo, por lo que aprovecharemos esto para relacionar la distancia a un punto con las demás distancias que se muestran en la gráfica correspondiente a la parte (b) .

Entonces a partir de la gráfica anterior obtenemos los senos del ángulo θ para el triángulo ABC y el triángulo ABD .
relación seno para encontrar la distancia d de un punto a una recta
Ahora relacionaremos las dos expresiones para los senos de los dos triángulos y luego despejaremos la variable meta d .

Ahora procederemos a obtener los puntos en los que el segmento AB intersepta la recta, el punto p1(x2,y2) , igual  también encontraremos el punto en dónde el segmento BC intersepta la recta, el punto p2(x3,y3) .

Ya hecho el proceso anterior sustituimos los datos y luegos procedemos a simplicar hasta obtener una expresión simple por medio de la cuál podamos obtener la distancia de un punto p(x1,y1una recta. Advertimos que la parte más tediosa es la de simplificar las expresiones algebraicas .





Como se pudo ver en la deducción, la distancia de un punto a una recta en el plano xy es .



deducción 2
Vamos ahora a trabajar con otra técnica o manera diferente de obtener la distancia de un punto a una recta , la diferencia con la técnica 1 es que esta es mucho más fácil .
Para empezar nuestra deducción nos auxiliaremos de la gráfica siguiente .
Como se puede observar en la gráfica tenemos una línea verde recta que representa la ecuación Ax+By+C=0 , y hemos trazado varios segmentos de rectas para formar el triángulo rectángulo ABC . Para empezar nuestra deducción tomamos la ecuación general para una línea recta Ax+By+C=0 , y despejamos la variable (y) , en dónde la ecuación resultante nos quedará así y=mx+b  , conocida como recta punto pendiente , luego tomamos la definición de pendiente de geometría analítica que establece que la pendiente es igual a la tangente del ángulo que en este caso es θ .

Como se puede observar en la gráfica de arriba, como la tangente de ángulo θ es negativa eso significa que el ángulo está en el segundo o cuarto cuadrante del plano cartesiano xy , por tanto podemos tomar la función trigonométrica seno de esta figura y relacionarla con la función seno de la primera figura correspondiente a la técnica 2 y despejamos la distancia d que representa la distancia de un punto a una recta.

Ahora procedemos a sustituir los valores encontrado en la fórmula
que nos permitirá calcular la distancia (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 .

Entonces de la simplificación anterior tenemos que la distancia (d) de un punto en el plano xy a una recta Ax+By+C=0 es :



deducción 3
En esta deducción vamos a usar el analisis de la pendiente de una recta para determinar la distancia de (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 , también usaremos el análisis que establece que la pendiente de una recta perpendicular a otra recta es igual al reciproco opuesto de la recta en cuestión, en lo que concierne a nuestro caso es la recta Ax+By+C=0 , luego de hallar la pendiente de la recta perpendicular a Ax+By+C=0 , procedemos ha encontrar la ecuación de esta recta perpendicular a Ax+By+C=0 utilizando la expresión que se conoce como punto pendiente de una recta . Para empezar nuestra deducción nos guiaremos de la siguiente gráfica .

Primero procedemos a encontrar la ecuación de la recta perpendicular a la recta Ax+By+C=0 .


Una vez obtenida la ecuación perpendicular a la recta Ax+By+C=0 ,procedemos a formar un sistema de ecuación en dónde vamos a buscar el punto de intersección (x,y) de la recta Ax+By+C=0  y la recta perpendicular, para esto vamos a usar el método de reducción o suma y resta.



Como se puede observar en la deducción, el punto (x,y) de intersepción de las dos rectas es .

Ahora utilizaremos la fórmula de la distancia entre dos punto en el plano xy para hallar la distancia del segmento de recta AB que es la distancia (d).


Como se puede observar de la simplificación de la expresión anterior nos queda el resultado esperado para la distancia (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 es .

deduccion de la distancia de un punto

definición de un vector

El tema de los vectores es un tema común tanto en matemáticas y físicas,por tanto lo abordaremos desde ambas perspectivas.Ahora abordaremos los vectores desde el punto de vista de la física.
Muchas cantidades en el mundo de la física,como temperatura,tiempo,densidad,masa y carga eléctrica,se pueden describir completamente con un número y una unidad,sin embargo muchas cantidades importantes están relacionadas con una dirección y no pueden describirse simplemente con un número.
Estas cantidades hacen un papel fundamental en muchas áreas fundamentales de la física ,como el movimiento y sus causas así como también los fenómenos de magnetismo y electricidad.
Un ejemplo sencillo es el movimiento de un avión para describirlo plenamente no sólo debemos decir cuán rápido vuela también debemos decir hacia dónde vuela.
Entonces la rapidez del avión asociada con su dirección es lo que se conoce como velocidad.La fuerza es otro ejemplo que en la física no es más que un tirón o empuje de un cuerpo.Para describir completamente la fuerza no sólo debemos indicar su intensidad también debemos indicar la dirección hacia dónde empuja o tira.

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definición de un escalar

Es cuando una cantidad se describe con solo un número.ejemplos de escalares son la masa,el tiempo,la temperatura entre otros.A los escalares se le pueden aplicar las operaciones ordinarias,ejemplo
7 x 3s = 21s,o 25kg + 5kg = 30kg.

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definición de una cantidad vectorial

Es cuando una cantidad tiene una magnitud y una dirección.
A los vectores no se le puede aplicar las operaciones ordinarias que se le aplican a los escalares, esto significa que no es lo mismo sumar dos cantidades escalares que sumar dos cantidades vectoriales.
Un ejemplo de un vector es el desplazamiento que es el cambio en la posición de un punto.
En la figura  presentamos el cambio de posición del punto P1
al punto P2 con una línea que va de P1 a P2,con una punta de flecha en P2 para indicar la dirección.Entonces el desplazamiento es una cantidad vectorial porque no tan solo debemos saber cuánto se mueve una particula,sino también hacia dónde.
Un ejemplo es correr 4km a sur no nos lleva al mismo lugar que correr 4km al oeste,ambos desplazamientos tienen la misma magnitud 4km ,sin embargo diferente dirección.
Simbolicamente los vectores se representan con una letra y una flecha encima de esta. Ejemplo:





Al trazar un vector siempre se hace con una línea con punta de flecha.En dónde la longitud de la línea representa la magnitud , y la dirección de la línea es la del vector.

 En la figura  la partícula sigue el camino curvo no obstante a eso su desplazamiento sigue siendo:

Como se puede observar el desplazamiento no se relaciona con la distancia total recorrida.Si la particula continuara hasta P3 y retornara a P2 su desplazamiento sería cero y no la distancia recorrida de ida y de vuelta.

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definición de vectores paralelos

Son aquellos que tienen la misma dirección sin importar su ubicación en el espacio.
Ejemplo:











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definición de vectores antiparalelos

Son aquellos que tienen direcciones opuestas sin impotar que tengan la misma magnitud.
Ejemplo:










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definición de vectores iguales

Son aquellos que tienen la misma dirección y la misma magnitud sin importar su ubicación en el espacio.
Ejemplo:














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magnitud de un vector

Con frecuencia representamos la magnitud de una cantidad vectorial con la misma letra más delgada y sin la flecha encima.
Ejemplo:





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suma de vectores

Imaginemos que una partícula tiene un desplazamiento





,a continuación se tiene un desplazamineto




como se muestra en esta figura

Como se ve en la figura el resultado es el mismo que si la partícula hubiera partido del mismo punto inicial y hiciera un desplazamiento

Entonces 



es el vector sumatoria o reusltante,de los desplazamientos




Todo esto se expresa simbólicamente así



Como se acaba de ver el sumar dos vectores es un proceso geométrico y no un proceso aritmético.
Ahora bien si efectuamos la suma de

de forma inversa es decir primero

y después 

el resultado es el mismo como se muestra en la siguiente figura

Como se puede observar el orden de los vectores en una suma no altera el resultado.
Por tanto la suma de cumple con la propiedad conmutativa.
El metodo que se uso para sumar los vectores se conoce como el metodo del polígono.

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metodo del polígono

Es el metodo en dónde el vector resultante completa un polígono.
Ejemplo:
En este ejemplo el vector resultante completa el polígono conocido como el triángulo.




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metodo del paralelogramo

Este metodo consiste en reunir las colas de los vectores en un punto y trazar lineas paralelas a ambos vectores ,esto crea un punto de intersepción de ambas líneas ,entonces se une el punto de reunión de las colas de los vectores con el punto de intersepción trazando una línea ,esta línea es el vector resultante.
Siendo 

y

dos lados adyacentes.
Ejemplo:
En este se forma un paralelogramo.







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