Distancia de un punto a una recta - Matemática y Física

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miércoles, 26 de noviembre de 2014

Distancia de un punto a una recta

1.1-Distancia de un punto a una recta(deducción 1)
1.2-Distancia de un punto a una recta(deducción 2)
1.3-Distancia de un punto a una recta(deducción 3)


Distancia de un punto a una recta
deducción 1
En este post mostraremos como deducir de manera algebraica la distancia de un punto p(x1,y1)  en el plano xy a una recta dada su forma general como Ax+By+C=0 este problema de geometría analítica también puede ser abordado desde los conceptos de vectores . Cuándo hablamos de la distancia de un punto a una recta en el plano nos referimos a la distancia más corta que debe haber entre el punto y la recta . Cómo se puede observar en la gráfica siguiente los segmentos de recta de colores rojo y verde son distancias del punto a la recta pero no representan la distancia más corta que existe entre el punto y la recta . Cómo se puede observar en la gráfica la distancia más corta está representada por el segmento de recta de color azul .

Para hallar la distancia de un punto a una recta lo primero que hacemos es hallar el seno de ángulo θ tanto para el triángulo ABC como para el triángulo ABD , como se puede observar en la gráfica, el seno de θ para ambos triángulos es el mismo, por lo que aprovecharemos esto para relacionar la distancia a un punto con las demás distancias que se muestran en la gráfica correspondiente a la parte (b) .

Entonces a partir de la gráfica anterior obtenemos los senos del ángulo θ para el triángulo ABC y el triángulo ABD .
relación seno para encontrar la distancia d de un punto a una recta
Ahora relacionaremos las dos expresiones para los senos de los dos triángulos y luego despejaremos la variable meta d .

Ahora procederemos a obtener los puntos en los que el segmento AB intersepta la recta, el punto p1(x2,y2) , igual  también encontraremos el punto en dónde el segmento BC intersepta la recta, el punto p2(x3,y3) .

Ya hecho el proceso anterior sustituimos los datos y luegos procedemos a simplicar hasta obtener una expresión simple por medio de la cuál podamos obtener la distancia de un punto p(x1,y1una recta. Advertimos que la parte más tediosa es la de simplificar las expresiones algebraicas .





Como se pudo ver en la deducción, la distancia de un punto a una recta en el plano xy es .



deducción 2
Vamos ahora a trabajar con otra técnica o manera diferente de obtener la distancia de un punto a una recta , la diferencia con la técnica 1 es que esta es mucho más fácil .
Para empezar nuestra deducción nos auxiliaremos de la gráfica siguiente .
Como se puede observar en la gráfica tenemos una línea verde recta que representa la ecuación Ax+By+C=0 , y hemos trazado varios segmentos de rectas para formar el triángulo rectángulo ABC . Para empezar nuestra deducción tomamos la ecuación general para una línea recta Ax+By+C=0 , y despejamos la variable (y) , en dónde la ecuación resultante nos quedará así y=mx+b  , conocida como recta punto pendiente , luego tomamos la definición de pendiente de geometría analítica que establece que la pendiente es igual a la tangente del ángulo que en este caso es θ .

Como se puede observar en la gráfica de arriba, como la tangente de ángulo θ es negativa eso significa que el ángulo está en el segundo o cuarto cuadrante del plano cartesiano xy , por tanto podemos tomar la función trigonométrica seno de esta figura y relacionarla con la función seno de la primera figura correspondiente a la técnica 2 y despejamos la distancia d que representa la distancia de un punto a una recta.

Ahora procedemos a sustituir los valores encontrado en la fórmula
que nos permitirá calcular la distancia (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 .

Entonces de la simplificación anterior tenemos que la distancia (d) de un punto en el plano xy a una recta Ax+By+C=0 es :



deducción 3
En esta deducción vamos a usar el analisis de la pendiente de una recta para determinar la distancia de (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 , también usaremos el análisis que establece que la pendiente de una recta perpendicular a otra recta es igual al reciproco opuesto de la recta en cuestión, en lo que concierne a nuestro caso es la recta Ax+By+C=0 , luego de hallar la pendiente de la recta perpendicular a Ax+By+C=0 , procedemos ha encontrar la ecuación de esta recta perpendicular a Ax+By+C=0 utilizando la expresión que se conoce como punto pendiente de una recta . Para empezar nuestra deducción nos guiaremos de la siguiente gráfica .

Primero procedemos a encontrar la ecuación de la recta perpendicular a la recta Ax+By+C=0 .


Una vez obtenida la ecuación perpendicular a la recta Ax+By+C=0 ,procedemos a formar un sistema de ecuación en dónde vamos a buscar el punto de intersección (x,y) de la recta Ax+By+C=0  y la recta perpendicular, para esto vamos a usar el método de reducción o suma y resta.



Como se puede observar en la deducción, el punto (x,y) de intersepción de las dos rectas es .

Ahora utilizaremos la fórmula de la distancia entre dos punto en el plano xy para hallar la distancia del segmento de recta AB que es la distancia (d).


Como se puede observar de la simplificación de la expresión anterior nos queda el resultado esperado para la distancia (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 es .

deduccion de la distancia de un punto

2 comentarios:

  1. Hay algunas erratas menores en las demostraciones (cuidado con los valores absolutos en la primera deducción, por ejemplo). En cualquier caso, muy instructivo, muchísimas gracias por compartir!

    Un saludo,
    Alberto.

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    1. Alberto, muchas gracias por vuestro comentario y por atreverse a señalarme algunos errores, este artículo es uno de mis primeros artículos en este blog así que no me extraña que puedan haber errores menores que para nada desvían los resultados, pero que se pueden prestar a confusión así que desde que tenga un momento libre procederemos a depurar estos errores Saludos Alberto y bienvenido a mi libreta de apuntes virtual...

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