2015 - Matemática y Física

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jueves, 3 de diciembre de 2015

Fórmula de la ley de los senos como un producto escalar

En este post vamos a ver como se puede expresar la ley de los senos dada en forma geométrica en términos del producto escalar de vectores.
Antes de inicial la deducción de esta fórmula es importante decir que si usted no está familiarizado con el tema producto escalar de dos vectores sería importante que leyera antes el artículo {Producto escalar de dos vectores}

La ley de los senos dada en modo geométrico se expresa así.

Y A, B, C y θa, θb, θc son los lados y ángulos respectivamente de un tríángulo arbitrario tal como el que se muestra a continuación


Ahora vamos mostrar este mismo triángulo con los lados A, B y C representados como vectores, luego vamos a usar la fórmula del producto escalar para relacionar cada par de vectores con sus magnitudes y respectivos ángulos.

Lo primero que haremos es relacionar cada par de vectores con la fórmula del producto escalar que es igual al producto de las magnitudes de dos par de vectores multiplicados por el coseno del ángulo θ.

Y ahora procedemos a despejar el coseno del ángulos en los diferentes productos escalares de los vectores que conforman el triángulo de más arriba.

Ahora vamos a usar la identidad pitagórica que relaciona el ángulo de un triángulo rectángulo con el seno y el coseno de este mismo ángulo y despejaremos el coseno del ángulo.

Este mismo despeje es análogo a los despejes para los diferentes cosenos de ángulos dado en los diferentes productos escalares.

El siguiente paso es despejar el seno de los ángulos θa, θb y θc respectivamente y luego sustituir este despeje en la ley de los senos dada en forma geométrica.



Por último tomamos los despejes del seno de los diferentes ángulos y lo sustituimos en la ley de los senos dada de manera geométrica y luego simplificamos para obtener la ley de los senos expresada en términos de productos escalares.

Y como se pudo observar de la deducción anterior la ley de los senos expresada en términos de productos escalares se escribe así.

Vea también
Producto escalar
Ley de los senos
Producto vectorial
Ley de los senos expresada como productos vectoriales
Vectores

jueves, 26 de noviembre de 2015

Ley de los senos expresada en término del producto vectorial

En este post vamos a analizar como expresar la ley de los senos en término de productos vectoriales por lo que si usted no está familiarizado con el tema Producto vectorial le invitamos a leer antes este tema [Producto vectorial].
Como la ley de los senos viene expresada geometricamente en términos de las medidas y ángulos de un triángulo es importante resaltar que la ley de los senos expresada matemáticamente usando geometría es.






Donde A, B, C  y  θa, θb, θc son los lados y ángulos respectivamente de un triángulo tal como se muestra a continuación.








Lo primero que haremos es representar la longitud A, B, y C como vectores, luego usaremos la definición de producto vectorial para relacionar cada dos vectores con su magnitudes y respectivos ángulos, el triángulo anterior representando cada longitud como un vector nos queda así.








Primero recordemos que la magnitud del producto vectorial de dos vectores cualquiera que formen un ángulo θ es .





El despeje del sen θ  en la fórmula anterior es






Lo primero que haremos es obtener el producto del vector cuya magnitud es B y el vector cuya magnitud es C relacionado con el ángulo que estos forman θa y luego despejaremos el seno(θa) y lo sustituiremos en la ley de los senos y simplificaremos, todo este proceso lo repetiremos con los pares de vectores A y C , y con los vectores A y B, la dirección de los productos vectoriales la tomaremos como positiva cuando este apunte hacia adentro de la pantalla en caso contrario como negativa para este proceso de direccionamiento nos auxiliaremos de la regla de la mano derecha , todo este proceso se muestra a continuación.



















Y como se puede observar la ley de los senos expresada en términos del producto vectorial de cada par de vectores es .






Como el signo de la magnitud del vector resultante de un producto vectorial se toma siempre positivo aunque el producto vectorial sea negativo, como el producto vectorial del vector A y C es negativo este signo negativo no se coloca ya que la magnitud del producto vectorial de estos dos vectores es positiva.
















Vea también
Ley de los senos
Producto vectorial
Fórmula de la ley de los senos como producto escalar
Vectores

lunes, 16 de noviembre de 2015

Cálculo integral y fórmulas del movimiento rectilíneo

En este post vamos a ver como se puede mediante el cálculo integral obtener las fórmulas que se utilizan para el cálculo y resolución de problemas en el movimiento en línea recta.
Si usted está leyendo este artículo es por que usted tiene una idea de como efectuar una integración .

Lo primero que debemos decir es que las fórmulas del movimiento rectilíneo vienen dada en su forma diferencial,lo que haremos es equivalente a resolver estas ecuaciones diferenciales y de esta manera obtendremos las fórmulas que son utilizadas en el movimiento en línea recta con aceleración constante.

En nuestro primer análisis vamos a obtener una relación matemática que nos permita obtener la relación que existe entre la velocidad final, inicial, la aceleración y el tiempo partiendo de la definición de aceleración que no es más que el ritmo o tasa a que cambia la velocidad en el tiempo expresado en forma matemática se ve así.

Lo primero que haremos es despejar la variable diferencial dv, para esto multiplicaremos por dt a ambos lados de la igualdad tal como se muestra a continuación.

Por ultimo vamos a integral ambos miembros de la igualdad, el diferencial dt lo integraremos desde t = 0 donde la velocidad la tomaremos como v0 hasta un tiempo final t en donde tomaremos la velocidad para este instante como v es decir integraremos en los dos intervalos [0,t] y [v0,v].


Y como se puede observar ya hemos obtenidos una de las fórmulas utilizadas en el cálculo de la velocidad para un cuerpo que en un tiempo t=0 se mueve con una velocidad v0 y una aceleración constante durante un tiempo t.


Para una mayor comprensión de este artículo vea el tema [Despeje de una variable de una fórmula].

Ahora hallaremos una relación de movimiento rectilíneo que permite hallar la velocidad final e inicial de una partícula u objecto en función de la aceleración y la posición de la partícula o un objecto determinado, para esta ecuación diferencial utilizaremos la reglas de la cadena para derivada como se muestra a continuación.


Lo que hicimos fue derivar la velocidad respecto a la posición x y la posición x la derivamos respecto al tiempo t 

Ya obtenida la expresión diferencial apropiada procedemos a despejar el diferencial v·dv, multiplicando por el diferencial dx a ambos lados tal como se muestra a continuación.

Ya obtenida una ecuación diferencial apropiada procedemos a integral ambos lados de la ecuación diferencial, integraremos el diferencial dx desde x = 0 hasta x y el diferencial dv desde v0 hasta v, todo el proceso de integración y simplificación se muestra a continuación.


Y después de haber integrado y simplificado hemos obtenido otra de las fórmulas utilizadas en el movimiento rectilíneo, si un cuerpo se mueve desde una posición x = 0 con una velocidad v0 hasta una posición final x con una velocidad v, entonces la posición, velocidad y aceleración están relacionados por la fórmula u ecuación.


Ahora vamos a encontrar la posición de una partícula en función de la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo.
Como ya se ha establecido la velocidad es igual al ritmo de cambio de la posición respecto del tiempo, y la aceleración es igual a la segunda derivada de la posición.
Por lo que tomaremos para esta deducción la ecuación diferencial que establece que la velocidad es igual al cambio de posición respecto al tiempo.

Lo primero que haremos es despejar el diferencial dx, para esto multiplicaremos por dt ambos lados de la ecuación diferencial.

Ahora para continuar con esta solución vamos a sustituir la velocidad por la expresión que ya hemos deducido para la velocidad en función del tiempo luego aplicaremos integrales definidas para el intervalo del tiempo t desde t = 0 hasta t, y para la posición tomaremos el intervalo de x = x0 hasta x, una vez hecho esto integraremos y simplificaremos hasta obtener la expresión buscada todo esto se muestra a continuación.



Y como se puede observar la posición de una partícula que empieza a moverse en un instante t = 0 desde una posición x0 con una velocidad v0 y aceleración constante en un instante posterior t es.


Y por ultimo vamos ha encontrar la posición de una partícula en función del tiempo y sus velocidades inicial y final, para esto tomaremos la misma expresión diferencial anterior y obtendremos la velocidad media en función de las velocidades inicial y final, y igualaremos esta expresión con la velocidad media en función de la posición.
Para este propósito tomaremos los intervalos de integración para t desde t = 0 hasta t y utilizaremos la expresión que nos permite obtener la velocidad media.



Y como se puede ver una partícula que se encuentra en x0 en un tiempo t = 0 y velocidad v0, se traslada a una posición x donde tiene una velocidad v, la posición bajo estas variables está dada por la expresión matemática.


Vea también

Movimiento en línea recta
Reglas básicas de integración y derivación
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

lunes, 9 de noviembre de 2015

Producto vectorial

En este artículo vamos a analizar como obtener el producto vectorial de dos vectores en el plano y en el espacio, aunque debemos decir que siempre el producto vectorial da como resultado un vector ubicado en el espacio excepto solo en el producto vectorial de dos vectores paralelos y antiparalelos , en cuyos casos el vector resultante tendrá una magnitud de cero quedando prácticamente ubicado en el mismo plano que los vectores paralelos y antiparalelos.

Como una manera técnica de obtener la fórmula del producto vectorial se utilizan determinantes 3x3, siendo la primera fila de la matriz de datos de esta determinante los vectores unitarios î,J,k.
En las dos filas restantes se colocan los dos vectores para los cuales queremos saber el producto vectorial.
Si r y q son dos vectores cualquiera 
en donde r = r1i + r2j + r3k   y   q =  q1i + q2j + q3k 
entonces el producto vectorial vienes dado por :
r × q =[r2q3 - r3q2]i - [r1q3 - r3q1]j + [r1q2 - r2q1]k

Esta misma fórmula se puede obtener utilizando determinantes para esto creamos una matriz de datos 3x3, donde la primera fila va a estar compuesta de los vectores unitarios i,j,k, la segunda fila por el vector r y la tercera fila por el vector q, luego procedemos a hallar el determinante teniendo presente que la componente del vector unitario j siempre se toma como negativo.

Ejemplos de como calcular el producto vectorial de dos vectores usando determinantes.
Ejemplo 1
Calcular a)  r×q   b)   r×r   c)   q×r  , si r = i + 3j - 2k y
q = 3i - 2j + k

Solución:

En la solución de los tres productos vectoriales se pudo observar que el producto de dos vectores paralelos r×r es igual a cero y que 
r×q = - q×r , estas son propiedades que forman parte de lo que es un producto vectorial de dos o más vectores.

La siguiente tabla presenta las propiedades algebraicas de un producto vectorial dados los vectores r,q y s y la constante k.


Propiedades algebraicas de un producto vectorial
r × r =  0
r × 0 = 0 × r
r × q = - q × r
r × [q × s] = [r × q] + [r × s]
k[r × q] = [kr] × q = r × [kq]
r · [q × s] = [r × q] · s

También el producto vectorial tiene propiedades geométricas tal como las que se presentan en la siguiente tabla.
Propiedades geométricas de un producto vectorial
r × q  es perpendicular a r y q
r × q = 0  si y solo si r y q son paralelos
||r × q|| = ||r|| ||q|| sen(θ)
||r × q|| es el área de un paralelogramos en donde r y q son adyacentes

Aplicaciones del producto vectorial 
El producto vectorial es aplicable en geometría ya que el área de un paralelogramo es igual a la magnitud del producto vectorial de los vectores que conforman dos de sus lados no paralelos

domingo, 4 de octubre de 2015

Como se usa y para que sirve el evento onmouseover en javascript

Este post lo dedicamos a las personas que trabajan con el diseño y programación usando el lenguaje de programación javascript, en este post hablaremos de como se usa el evento de javascript onmouseover en una página dinámica.

La oración "on mouse over" = onmouseover , si interpretamos esta oración que está escrita en inglés , esta oración se podría interpretar como "Poner el mouse encima", en otras palabras el evento onmouseover se produce o ejecuta cuando ponemos el mouse encima de un elemento de una página web o algún programa, este elemento de esta página web puede ser un párrafo, un botón, un div, ect.

Ahora bien el código de lo que sucederá en una etiqueta de un html se puede escribir dentro del mismo elemento en el que queremos que ocurra el evento onmouseover ejemplo si tenemos una etiqueta correspondiente a un botón llamado 'Probadme' de color negro y queremos que este botón cambie a un color azul cuando coloquemos el mouse encima de este botón, el código es similar a este.

<input onmouseover="if(this.style.backgroundColor == 'black'){this.style.backgroundColor = 'blue'}else{this.style.backgroundColor = 'black'}" style="background-color: black;Color:white;font-weight:bold;font-size:large;" type="button" value="Probadme" />

El código para el evento onmouseover lo que hace es cambiar el color a azul (blue) si el botón está negro (black) cuando ponemos el mouse encima del botón "Probadme", pero si el botón cambia a azul (blue) y volvemos y colocamos el mouse encima del botón "Probadme" el botón vuelve a cambia al color negro,  
Pase el mouse encima "Probadme", y oserve como cambia de color.



Una forma más limpia de escribir el código anterior es asignando una clase al código del botón "Probadme", esta clase (class) la llamaremos "boton", y aplicaremos el estilo a este botón desde fuera con la etiqueta style (estilo).

El código se vería ahora así.

<style>
.boton{
background-color: black; 
color: white;
 font-size: large;
 font-weight: bold;
}

</style>
<input class = "boton" onmouseover="if(this.style.backgroundColor == 'black'){this.style.backgroundColor = 'blue'}else{this.style.backgroundColor = 'black'}"  type="button" value="Probadme" />



Otra forma de ejecutar el evento onmouseover es creando una función que contenga todas las indicaciones que queremos que se ejecuten cuando pasemos el mouse encima del botón "Probadme", lo que sucederá es que cuando pasemos el mouse encima del botón, el evento onmouseover llamará una función con todas las indicaciones que queremos que se ejecuten, para ver un ejemplo la función la llamaremos "Cambiando_Color()" y la colocaremos en las etiquetas script (guión) de nuesstro html y identificaremos nuestro código del botón "Probadme" con el id "cambio" , para luego poder referirnos a esta etiqueta con esta identificación.

<script type = "text/javascript">
function Cambiando_Color(){

//Esta funcion cambia el color de negro a azul cuando
//colocamos el mouse encima de boton "Probadme"
// la variable toma representa el boton con id=cambio

var toma = document.getElementById("cambio");

if(toma.style.backgroundColor == 'black'){
toma.style.backgroundColor = 'blue' ;
}else{toma.style.backgroundColor = 'black' ;
};


}
</script>
<style>
.boton{
color: white;
font-size: large;
font-weight: bold;
}

</style>
<input class = "boton" id="cambio" onmouseover="Cambiando_Color();" style="background-color: black;"  type="button" value="Probadme" />

En este código la etiqueta input nos queda mucho más limpia ya que el estilo a excepción del "background-color", lo aplicamos desde fuera de la etiqueta input y el evento onmouseover llama una función escrita externamente "Cambiando_Color()".

También el código anterior puede ser escrito llamando el evento onmouseover y la función "Cambiando_Color()" desde afuera de la etiqueta input de esta manera la etiqueta input nos queda todavía mucho más limpia.

<script type = "text/javascript">

// la variable toma representa el boton con id=cambio


var toma = document.getElementById("cambio");

// asignamos el evento onmouseover a la etiqueta con // id=cambio 

toma.onmouseover = Cambiando_Color ;

function Cambiando_Color(){

//Esta funcion cambia el color de negro a azul cuando
//colocamos el mouse encima de boton "Probadme"


if(toma.style.backgroundColor == 'black'){
toma.style.backgroundColor = 'blue' ;
}else{toma.style.backgroundColor = 'black' ;
};


}
</script>
<style>
.boton{
color: white;
font-size: large;
font-weight: bold;
}

</style>
<input class = "boton" id="cambio" style="background-color: black;"  type="button" value="Probadme" />


Como se puede ver en el código anterior el evento onmouseover y la llamada a la función "Cambiando_Color()" son hecho desde afuera de la etiqueta input del botón "Probadme", todos los códigos anteriores son equivalentes ya que hacen la misma función, cambiar el color de negro a azul y de azul a negro cada vez que se produce el evento onmouseover




Vea también
Ejemplos de tipos de códigos para crear una función en visual basic
Fundamentos básicos para crear y diseñar una página web

domingo, 27 de septiembre de 2015

Determinación del área de un triángulo,un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas

En este post vamos a observar como se aplican las integrales definidas a la obtención de las áreas geométricas bien conocidas como son el área de un rectángulo, un triángulo y un trapecio utilizando integrales definidas.

Área de un rectángulo usando integrales definidas

Primero nos enfocaremos en la obtención del área de un rectángulo, formamos un rectángulo en los eje de coordenadas xy, tomando el área delimitada por dos valores de x que tomaremos como x1=0 y x2=b y estos dos valores de x interceptarán la gráfica de la función constante y=h, el resultado de esto es que se nos forma un rectángulo cuya base es b y cuya altura es h, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Nota: Si usted está leyendo este artículo es por que usted tiene alguna noción sobre las integrales si no es así haga clic en [Reglas básicas de integración y derivación].

Para resolver el problema de hallar el área entre el eje x y la gráfica y=h que corresponde al rectángulo rojo, tomaremos una integral de la función y=h definida en el intervalo a≤xb y luego procederemos a simplificar nuestra integral definida, todo este proceso se muestra a continuación.

Y como se puede ver en la simplificación anterior el área de un rectángulo cualquiera es igual bxh.

Área de un triángulo usando integrales definidas

Ahora vamos a delimitar los puntos x1=0 y x2=a en la gráfica de la función y=(b/a)x, estos valores de x, la gráfica de la función 
y=(b/a)x  y  y=0 limitan la gráfica de un triángulo cuya base va a ser b=a-0=a y cuya altura va a ser h=b-0=b, este triángulo se puede observar en la siguiente figura.

De manera que el área bajo la gráfica de la función y=(b/a)x,
0≤x≤a y y=0 la podemos hallar integrando la función y=(b/a)x en los límites 0≤x≤a, todo el proceso de representación de esta integral y su simplificación se muestra a continuación.

Y como muestra el proceso de simplificación de esta integral definida, el área de un triángulo cuya base es b  y cuya altura es h

Nota: Para un mejor entendimiento de este artículo le invito a ver el artículo [Ecuación de la recta].

Área de un trapecio usando integrales definidas

Ahora vamos a observar como se puede deducir utilizando integrales definidas el área de un trapecio, este trapecio está formado en materia de puntos por los puntos (0,0) , (a,0) , (a,b) , (0,c), y en materia de funciones este trapecio está conformado por las rectas x=0 , x=a , y =0 , y=[(b-c)/a]x+c,todo esto se puede observar en la siguiente gráfica.

Nuestra integral definida que nos permitirá obtener el área del trapecio que se nos forma tal como se muestra en la figura la definiremos en el intervalo 0≤x≤a, también tomaremos b1=c , b2=b y h=a, estos valores los sustituiremos al final de la simplificación de nuestra integral definida, todo el proceso de simplificación de esta integral definida se muestra a continuación.

Como se pudo ver en la simplificación anterior el área de un trapecio viene dada por:

Nota: Para un mejor entendimiento de este artículo le invito a leer el artículo [Reglas básicas de derivación e integración].

Vea también

lunes, 21 de septiembre de 2015

Multiplicación de decimales

En este post vamos a estar visualizando de manera analítica como multiplicar dos decimales al mismo tiempo que estaremos hablando de manera teórica como multiplicar dos números decimales.

Producto de números decimales

Para multiplicar dos decimales lo primero que hacemos es trasladar el punto decimal a la derecha del último valor entero que conforma nuestro decimal en los dos factores con  el objetivo de que los dos factores a multiplicar sean números enteros.

Luego hacemos nuestra multiplicación y una vez obtenido el valor final de este producto, pasamos a ubicar el punto decimal en el resultado de la multiplicación. Para ubicar el punto decimal en el resultado de la multiplicación sumamos la cantidades de lugares que tuvimos que trasladar el punto decimal en los factores originales de la multiplicación.

Ya sumamos la cantidad de lugares que trasladamos el punto decimal en ambos factores de la multiplicación, entonces a partir del último valor entero ubicado a la derecha que hemos obtenido en la multiplicación empezamos a trasladar el punto decimal a la izquierda tantos lugares como nos de el resultado de la suma de los lugares hacia la derecha que hay después del punto decimal en ambos factores.

Ejemplo 1
Realizar 10.2 x 2.7
Solución:
Trasladamos el punto decimal 10.2 un lugar a la derecha quedándonos como 102. y trasladamos el punto en 2.7 un lugar a la derecha quedándonos como 27. , luego multiplicamos 102. y 27. de manera normal, al resultado le pasamos a ubicar el punto decimal para esto sumamos la cantidad de lugares que corrimos el punto a la derecha en ambos factores y la cantidad que nos de esta suma es exactamente la cantidad de lugares que trasladaremos el punto decimal a la izquierda del último número ubicado a la derecha, todo este proceso se ilustra a continuación

Y como se puede observar el resultado de multiplicar 10.2 y 2.7 es 27.54

Ejemplo 2
Realizar 0.07 x 7.7
Solución:
Al igual que en el ejemplo anterior trasladamos el punto decimal a la derecha en ambos factores y luego sumamos estas cantidades de lugares de ambos factores, los decimales 0.07 y 7.7 después de trasladar el punto decimal a la derecha nos quedan como 7. y 77. , ahora procedemos a multiplicar 7. y 77. de manera normal y al resultado de esta multiplicación procedemos a colocarle el punto decimal tantos lugares a la izquierda como nos de la suma de los lugares que hemos trasladado a la derecha en los números decimales originales 0.07 y 7.7 , todo este proceso se muestra a continuación. 

Y como se puede observar el resultado de multiplicar los números decimales 0.07 y 7.7 es 0.539.

Vea también
División de números decimales
Notación científica

miércoles, 16 de septiembre de 2015

Notación científica y operaciones básicas

En este post vamos a estar hablando de como expresar una cantidad bien pequeña o una cantidad muy grande en notación científica y analizaremos como hacer una suma, resta, multiplicación y división usando notación científica.

La notación científica cobra valor cuando queremos efectuar alguna operación con dos números que son muy pequeños o por el contrario muy grande, y aparte de esto es poco práctico escribir un número que contenga una unidad seguida de 30, 40, 100 ceros, por la cantidad de tiempo que agotaríamos escribiendo, un ejemplo 200000000000000000000000000000 , imagine que esta cantidad la tuviéramos que multiplicar por una cantidad similar tal como 3358000000000000000000000000, esto sería algo bastante tedioso no por la multiplicación sino por la cantidad de números que tendríamos que escribir si esta operación la realizáramos manualmente, en vista de estos inconvenientes la notación científica viene a salvar el día, ya que una cantidad que contiene 29 números si la tuviéramos que escribir tendríamos que escribir esos 29 números, ahora bien usando notación científica esta cantidad se simplificaría en unos cuantos dígitos.
Ejemplo 23000000000000000000000 , esta cantidad expresada en notación científica se reduce a 2.3x1022, y una cantidad como 0.00000000000000000045 se reduce a 4.5x10-19.

Como expresar un número en notación científica

Para expresar un número en notación científica si el número es mayor que la unidad, trasladamos el punto decimal hasta colocarlo después del primer número entero y la cantidad de lugares que recorre el punto hasta este lugar la colocamos como el exponente de la base 10.
Expresar 23000000. en notación científica

Si el número es menor que la unidad trasladamos el punto decimal hacia la derecha hasta colocarlo después del primer número entero y la cantidad de lugares que el punto decimal se traslade a la derecha la colocamos como el exponente pero con un signo negativo.
Ejemplo 
Expresar 0.000000000037 en notación científica.

Suma y resta de números expresados en notación científica

Para suma dos números que están expresados en notación científica debemos asegurarnos que ambos números estén elevado a el mismo exponente y los coeficientes los sumamos o los restamos de manera normal.
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 1
Sumar 2.4x107 y 3.3x107

Solución:
Como el exponente al que está elevada la base 10 en ambos números es 7 simplemente sumamos 2.4 y 3.3, y al resultado le agregamos (x107).

Ejemplo 2
Realizar 3.7x109 - 1.2x109
Solución:
Como el exponente al que está elevada la base 10 en ambos números es 9 simplemente restamos 3.7 y 1.2, y al resultado le agregamos (x109).

Ejemplo 3
Realizar 3.8x1011 + 1.5x1010
Solución:
Para realizar esta suma lo primero que debemos decir es que al igual que en la suma de dos polinomios los términos semejantes se suman con términos semejantes, en el caso de la notación científica los exponentes de los números expresados en notación científica deben estar elevados a los mismos exponentes, en el caso de este ejercicio debemos de expresar uno de los números con exponente 11 con un exponente 10 para que ambos tengan el mismo exponente 10 o uno de los números con exponente 10 expresarlo con un exponente 11 para que ambos tengan el mismo exponente 11, en nuestro caso vamos a expresar el número  3.8x1011 con exponente 10 y luego sumaremos de manera normal.
Para expresar 3.8x1011 con un exponente 10 simplemente trasladamos el punto un lugar a la derecha y le restamos uno al exponente 11-1=10, todo proceso se muestra a continuación.

El resultado es 3.95x1011 depués de haber trasladado el punto un lugar hacia la izquierda en el número 39.5x1010 .
Debemos decir que todo el proceso que se sigue para sumar estos dos números es el mismo que se debe seguir para restar dos números expresados en notación científica cuyos exponentes son diferentes y recordar que cuando el punto se traslada a la derecha el exponente disminuye en la misma cantidad de lugares que el punto decimal se traslada y si el punto se traslada a la izquierda el exponente aumenta en la misma cantidad de lugares que se traslada el punto decimal.

Multiplicación de números expresado en notación científica

Para multiplicar dos números en notación científica simplemente multiplicamos los coeficientes que forman los números, luego copiamos la base y sumamos los exponentes.
Si ax10b es un número en notación científica y cx10d es otro número expresado en notación científica entonces el producto de estos dos números es

(a x 10b) · (c x 10d) = a·c x 10b+d

Ejemplo 1
Realizar (2x1013)(3x108)
Solución:
Lo primero que hacemos es multiplicar los coeficientes de los dos números expresados en notación científica osea 2 y 3, luego copiamos la misma base 10 y sumamos los exponentes 13 y 8.

(2 x 1013) · (3 x 108) = (2)(3) x 1013+8 = 6 x 1021

Y el resultado de multiplicar 2x1013 y 3x108 es entonces 6x1021 .

Ejemplo 2
Multiplicar (1.2x1012) · (1.5x10-3)
Solución:
Multiplicamos primero los coeficiente, luego copiamos la base y sumamos los exponentes 12 y -3.

(1.2 x 1012) · (1.5 x 10-3) = (1.2)(1.5) x 1012+(-3) 

(1.2)(1.5) x 1012+(-3) = 1.8 x 109


(1.2 x 1012) · (1.5 x 10-3) = 1.8 x 109


Y el resultado es 1.8 x 109 .

División de números expresados en notación científica

Para dividir dos números expresados en notación científica, dividimos los coeficientes de los números expresados en notación científica, luego copiamos la base y al exponente del número en notación científica que representa el numerador le restamos el  exponente del número en notación científica que representa el denominador.
Si ax10b es un número que representa el numerador en una división y cx10d es el número que representa el denominador entonces (ax10b) ÷ (cx10d) es :

Ejemplo 1
Realizar (5x1020÷ (2x1011)
Solución:
Dividimos los dos coeficientes correspondientes a los dos números expresados en notación científica, luego copiamos la base 10 y al exponente del numerador le restamos el exponente del denominador todo el proceso se muestra a continuación.

Y el resultado dividir 5x1020 y 2x1011 es 2.5x109

Ejemplo 2
Realizar (6x10-30÷ (3x1012)
Solución:
Pasamos a dividir los coeficientes 6 y 3, luego copiamos la base y restamos los exponentes -30 y 12, esto se muestra a continuación.

Y al efectuar la resta como 30 es negativo y restando 12 en vez de una resta realizamos una suma de números negativos es decir 
-30 - 12 = -42.

Ejemplo 3
Resolver (1.4x108÷ (1.2x10-4)
Solución:
Primero dividimos 1.4 y 1.2 , luego copiamos la base 10 y restamos los exponentes 8 y -4.

Como se puede ver el resultado de restar los exponentes 8 y -4 es 
8 - (-4) = 8 + 4 = 12, esto es así porque la reglas de los signos establece que multiplicar dos números negativos es un número positivo por lo que -(-4) es equivalente a -1·(-4) por lo que el resultado es 4.

Potencia de un número expresado en notación científica
Para elevar un número expresado en notación científica el coeficiente lo elevamos a la potencia indicada y el exponente del número expresado en notación científica lo multiplicamos por el exponente al que está elevado dicho número expresado en notación científica.

Ejemplo 1
Elevar (4x103)2
Solución:
Elevamos el coeficiente 4 a la potencia 2 es decir 42, y el exponente 3 lo multiplicamos por la potencia 2, 3x2=6.

Y el resultado es 16x106
Raíz de un número expresado en notación científica
Para obtener la raíz de un número expresado en notación científica, le extraemos la raíz al coeficiente y el exponente lo dividimos entre el índice n de la raíz.

Ejemplo 1
Obtener la raíz del número

Solución
Le extraemos la raíz cúbica 3, a 27 que es 3, y el exponente 12 lo dividimos entre el indice 3 de la raíz , y esto nos da 4.

Y el resultado es 3x104
Ejemplo 2

Solución
Cuando el índice de la raíz no se marca asumimos que el índice radical es 2, así que primero obtenemos la raíz cuadrada de 25 que es 5, luego dividimos el exponente 10 entre el índice 2, y esto nos da 5.

Y el resultado es 5x105