Distancia de un punto a otro punto en el plano y en el espacio - Matemática y Física

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jueves, 29 de enero de 2015

Distancia de un punto a otro punto en el plano y en el espacio

En este post vamos a mostrar cómo se deduce las famosas fórmula de la distancia de un punto a otro punto en el plano xy y en el espacio tridimensional xyz .

Distancia de un punto a otro punto en el plano xy 
Para determinar la distancia de un a otro punto en el espacio se hace necesario conocer el famoso teorema de pictágoras que establece :
Teorema de pictágoras:
El cuadrado de la distancia del lado mayor de un triángulo rectángulo (Hipotenusa) , es igual a la suma de los cuadrados de los lados menores de un triángulo rectángulo (Catetos) .
matemáticamente este teorema se expresa así :

en dónde (a) es la distancia del lado mayor u hipotenusa , mientras (b) y (c) son los lados menores o catetos

Ahora con ayuda de una gráfica vamos a deducir la distancia de un punto P1 a un punto P2 en un plano xy.

Como se puede observar en la gráfica anterior si lanzamos una liínea horizontal desde el punto P1 paralela a el eje x , y lanzamos una línea vertical desde el punto P2 paralela a el eje y se  forma un triángulo rectángulo que para nuestro interés es muy conveniente ya que acabamos de ver como se relacionan los lados de un triángulo rectángulo utilizando el teorema de pictágoras .
Por tanto auxiliandonos del teorema de pictágoras tenemos que :

Ahora procedemos a despejar la distancia (d) que corresponde a la distancia del punto P1 a el punto P2 , como la distancia está elevada al cuadrado procedemos a aplicar la operación opuesta a la potencia que es la rradicación .

Por tanto cancelamos la potencia con el rradical de la distancia (d) para tener entonces la fórmula general para obtener la distancia de un punto a otro punto en el plano xy .


Distancia de un punto a otro punto en el espacio xyz
Para determinar la distancia de un punto P1 a un punto P2 en el espacio tridimensional al igual que en la dedución de la distancia de un punto a otro punto en el plano xy nos auxiliaremos de una gráfica que nos permita visualizar el problema , pero debemos decir que también para deducir la distancia de un punto a otro punto en el espacio se hace necesario volver a utilizar el famoso teorema de pictágoras . Primero veamos la gráfica a continuación .

Como se puede observar en la gráfica anterior se forma un triángulo rectángulo en donde uno de los cateto de este triángulo es una proyeción sobre el plano xy que corresponde a la hipotenusa en este plano y los incrementos en los ejes x e y son los catetos de esta proyeción , esta proyeción a su vez se transforma en un cateto del triángulo rectángulo en dónde la hipotenusa es la distancia del punto P1 a el punto P2 .

Como se puede observar en la dedución anterior solo nos hace falta despejar la distancia (d) que corresponde a la distancia que existe entre los dos puntos en el espacio  para esto aplicamos la operación opuesta a la potencia que es la rradicación .

Ahora simplemente sustituimos los incrementos Δx , Δy , Δz por sus valores equivalentes para de esta manera obtener una fórmula general para la distancia de un punto a otro punto en el espacio .

Como se puede ver la fórmula para la distancia de un punto P1 a un punto P2 viene dada por :

Esta fómula se puede utilizar para calcular la distancia en el plano xy , simplemente lo que tenemos que hacer en este caso es igualar la componente del incremento en el eje z a cero .

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