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miércoles, 7 de enero de 2015

Movimiento en dos o tres dimensiones

1.1-Vectores de posición y velocidad en el espacio 
1.2-Vector aceleración en el espacio
1.3-Velocidad en tres dimensiones(Problema)
1.4-Aceleración en tres dimensiones(Problema)

En este blog ya hemos analizado el movimiento longitudinal o en una línea recta en este post analizaremos muchos de los conceptos y definiciones que tienen que ver con el movimiento en dos o tres dimensiones que en el mundo real es una constante , ya que todas las personas , objectos y partícula se mueven en una , dos y tres dimensiones .En este tutorial vamos a estar dando una pincelada de cómo se comporta el movimiento en el mundo que nos rodea , ejemplo el movimiento de una pelota cuándo es golpeada por un bate ¿Cómo saber la posición , velocidad de esta en un instante determinado de su trayectoria ?, el movimiento de los planetas alrededor del sol, algunos de estos planetas siguen aproximadamente una trayectoria circular ¿Qué leyes matemáticas rige este movimiento? , 
las partículas despedida en una erupción de un volcan ¿Cómo saber la velocidad inicial a la que se disparó una partícula despedida por el volcán si sabemos a la distancia que se encuentra esta partícula respecto al volcán? .
Para poder contestar estas preguntas se hace necesario recurrir al análisis del movimiento en 2 y 3 dimensiones .Para este proceso vamos a utilizar las cantidades vectoriales de desplazamiento , velocidad y aceleración , estas cantidades ahora deberán tener dos y tres componentes , y actuarán sobre los ejes x,y,z .

Vectores de posición y velocidad
Para analizar el movimiento de una partícula en el espacio , primero hay que analizar o describir su posición . Analicemos una partícula que está en el O en un instante determinado como muestra la figura (fig. 1). El vector posición 
de la partícula es un 



vector que va desde el origen del sistema de coordenadas a el punto P cómo se muestra en la fig.1.Este vector que se puede observar en la figura 1 representado en términos de vectores unitarios nos queda así :

Cuándo una partícula se mueve en el espacio , la trayectoria que sigue es de manera general una curva como se puede apreciar en la figura 2 (fig.2) .Durante un intervalo de tiempo Δt , la partícula se 
mueve de P1 dónde su vector posición es 

 , a P1, a P2




dónde su vector posición es

Ahora bien el cambio de posición durante este desplazamiento  es 

Definimos la velocidad media en este intervalo de tiempo como el cociente del desplazamiento y el intervalo de tiempo .


 (Vector velocidad media)







Aunque es una expresión aplicada a el movimiento en dos o tres dimensiones la componente x de esta expresión es igual a la analizada en el movimiento rectilíneo uniforme
 (x2-x1)/(t2-t1)=Δx/Δt esta expresión es la misma que se utiliza en el movimiento en una dimensión .
Definimos la velocidad instantánea igual que en el tema movimiento rectilíneo uniforme cómo el límite de la velocidad en dónde el intervalo de tiempo se aproxima a cero , de manera que la velocidad instantánea es la tasa instantánea de cambio de posición con respecto al tiempo . En este caso tanto la posición cómo la velocidad instantánea son vectores .
(Vector velocidad instantánea)







La magnitud del vector velocidad instantánea en cualquier instante es la rapidez v de la partícula en ese instante . Y la dirección de la velocidad instantánea en un instante determinado es la dirección en que se mueve la partícula en ese instante .
De manera que en la medida que Δt→0 , P1 y P2  cómo se puede observar en la figura 2 se acercan cada vez más . En este límite el vector posición se hace tangente a la trayectoria de la partícula . 
La dirección del vector posición es también la dirección de la velocidad instantánea .
Todo esto indica que : en todo punto de la trayectoria , el vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria tal cómo se muestra en la figura 3 . 
La velocidad instantánea expresada vectorialmente en términos de sus componentes x , y , z , y vectores unitarios se expresa así :

Cómo se puede observar las componentes del vector velocidad instantánea en el espacio son :

Para hallar la magnitud de la velocidad instantánea utilizamos el teorema de pitágoras aplicado a tres dimensiones tal cómo se muestra a continuación .
Cómo se puede obsevar en la figura 4 , cuándo la velocidad en el eje z es igual a cero entonces la ecuacíon utilizada para hallar la magnitud de la velocidad se reduce a la siguiente expresión

y la dirección para el vector velocidad instantánea en estas condiciones queda expresada [cómo lo analizamos en el tema vectores] de la siguente manera :

Ejemplo 1
Una persona sale de un punto de recolección en una carro de recolección de mercancías , si el punto de recolección representa el origen de coordenadas y área de superficie del supermercado está en el plano xy . El carro de recolección que vamos a representar como punto tiene coordenadas x e y que cambian con tiempo según

a) hallar las coordenadas del carro y su distancia respecto al módulo en t=2s b) Hallar los vectores de desplazamiento y velocidad media del carro entre t=0s y t=2s  c) hallar una expresión general para el vector velocidad instantánea del carro y determinar ese vector en t=2s .Exprese la velocidad instantánea en forma de componentes y en términos de magnitud y dirección .
Solución:
a) Primero hallamos las coordenadas del carro sustituyendo t=2s en las expresiones para las posiciones x e y .

Entonces la distancia del carro al origen en t=2s es :

b) Para hallar el desplazamiento y la velocidad media , expresamos el vector desplazamiento en términos de t .

En el instante t=0s el vector posición es :

Por la parte (a) conocemos el vector posición :

Por consiguiente , el desplazamiento entre t=0s y t=2s es :

En el transcurso de este intervalo el carro se movió 0.24m en la dirección -x y 1.24m en la dirección +y . Entonces la velocidad media en el intervalo de t=0 a t=2s es el cociente del desplazamiento y el tiempo transcurrido .

Por tanto las componentes de la velocidad media son :

C) Usando las ecuaciones que representan la velocidad instantánea en los ejes x e y obtenemos una expresión general para cada componente .

De esta manera podemos escribir una expresión vectorial para el vector velocidad instantánea .

En t=2s , las componentes de la velocidad instantánea son :

La magnitud de la velocidad instantánea en t=2s es :

La dirección con respecto al eje +x viene dado por el ángulo θ .


Un programa de cálculo informático o una calculadora daría cómo resultado -82.05º , pero se puede ver en la figura 5 hay que observar un dibujo de un vector para determinar que ángulo representa la dirección correcta . Y la respuesta correcta para θ sería 180º-82.05=97.9º .

Vector aceleración
Tal cómo en el movimiento en una dimensión , la aceleración es el cambio de velocidad de la partícula . En este post la aceleración no sólo representa o describe  la magnitud también describe la dirección de la partícula en el mundo tridimensional .
(vector aceleración media)





La aceleración es una cantidad vectorial en la misma dirección que 
 tal como se muestra en la figura 6




Cómo se puede observar en la figura 6 la aceleración es un vector que tiene la misma dirección que el vector que representa el cambio de velocidad Δv (fig.6b) .La componente x de el vector aceleración media es 
(V2x-V1x)/(t2-t1)=Δv/Δt , esta ecuación se corresponde con la aceleración media en un movimiento rectilíneo sobre el eje x.Tal cómo se analizó en el movimiento en línea recta la aceleración instantánea se define en un punto de la trayectoria de una partícula u objecto cómo el límite en el que un punto P2 se acerca a un punto P1 y Δt y Δv se acercan o aproximan a cero .
La aceleración instantánea se define también como la tasa de cambio instantánea de velocidad respecto del tiempo .
  
(vector aceleración instantánea)





Como se ha podido observar en este post el vector velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula pero en la parte c de 
figura 6 se puede ver que el vector aceleración instantánea de una partícula u objecto en movimiento siempre se dirige o apunta hacia el lado cóncavo de una curva  o hacia el interior de cualquier curva descrita por una partícula .
Otra observación es que si una partícula se mueve através de una trayectoria curva su aceleración siempre es diferente de cero aunque la velocidad de esta sea constante .
Esto vá en contra del significado que se dá cotidianamente a la aceleración , ya que cotidianamente se cree que si hay aceleración debería haber un aumento de la velocidad .
Las componentes del vector aceleración instantánea en el espacio son :

El vector aceleración instantánea se representa vectorialmente en términos de vectores unitarios .

Cómo se puede ver la componente x del vector aceleración coincide con la ecuación para la aceleración instantánea en el movimiento rectilíneo con respecto a el eje x .
Cómo la velocidad es la derivada de cada coordenada y la aceleración es la derivadad de la velocidad las componentes del vector aceleración instantánea se pueden expresar así :

Entonces el vector aceleración instantánea en el espacio queda expresado así :

Ejemplo2
Observemos una vez más el ejercicio 1 del carro de recolección que se mueve en el supermercado .
Las componentes de la velocidad instantánea en función del tiempo son :

dónde el vector de velocidad es :

a) Hallar las componentes de la aceleracióm media en el intervalo de t=0s a t=2s . b) Determine la aceleración instantánea en t=2s .
Solución :
a) Primero sustituyamos t=0s y t=2s en las expresiones para la velocidad instantánea en el eje x e y .

Y al final del intervalo t=2s 

Por tanto las componentes de la aceleración media en el intervalo son :

b) Utilizando las ecuaciones que dan como resultado la aceleración instantánea tenemos que :

Entonces el vector aceleración instantánea queda expresado así :

En el instante t=2s , las componentes de la aceleración instantánea son :

El vector aceleración en este instante es :

La magnitud de aceleración en este instante es :

La dirección del vector aceleración respecto al eje x positivo viene dado por el ángulo α , dónde 


Matemáticamente se sabe que si la tangente de un ángulo +∞ el ángulo es de 90º , si la tangente es -∞ el ángulo es -90º o 270º , para saber la dirección real del vector aceleración tomamos cómo referencia una gráfica y el concepto de que el vector aceleración en una curva siempre apunta a el interior de dicha curva por tanto concluimos que el ángulo o dirección del vector aceleración instantánea en t=2s es 90º  tal como se muestra en figura 6.

Nota: este tema es una continuación del tema movimiento en línea recta

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2 comentarios:

  1. Anónimo7/1/15 11:37

    Mi nombre es solange , me gusta el tema "Movimiento en dos tres dimensiones" pero me gustaría saber si en este blog hay algún articulo que hable del "Movimiento en una dimensión o movimiento rectilíneo uniforme" .
    Gracias de antemano.

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    1. Bueno mira solange debajo de "Agregar un comentario" hay un enlace que dice "Página principal" si tu hace click allí irá a la página principal de este blog allí aparecerá una tabla que contiene un índice de los temas que se tratan en este blog allí encontrarás el tema "Movimiento rectilíneo uniforme" , tambien a lo largo de este blog hay algunos enlace a este tema . Espero que haya servido esta repuesta .

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