febrero 2015 - Matemática y Física

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lunes, 23 de febrero de 2015

Todo sobre fracciones

En este post vamos a estar hablando de todos los detalles y definiciones de lo que es una fracción y  como se puede representar gráficamente .
Como se estableció en el tema el conjuntos de los números reales las fracciones forman parte del conjunto de los número racionales .



Definición de fracción :
Una fracción se define como una división indicada de dos números que pueden ser decimales , enteros e irracionales . El número que está en la posición de arriba de una fracción se conoce como el numerador.
El número que esta en la posición de la parte de abajo de una fracción se conoce como el denominador.

Las fracciones se clasifican según ciertas particularidades especificas en : fracciones decimales , fracciones propias , fracciones iguales a la unidad , fracciones impropias entre otras .

Fracciones decimales :
Las fracciones decimales se definen como fracciones cuyos denominadores son múltiplos de 10 .


Fracciones propias :
Las fracciones propias son aquellas que tienen el numerador menor que el denominador .


Fracciones iguales a la unidad :
Son aquellas fracciones que tienen el numerador y el denominador iguales .


Fracciones mayores que la unidad :
Son aquellas fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador .


Fracciones impropias :
Las fracciones impropias son aquellas en la que el numerador es mayor que el denominador .


Fracciones mixtas :
Las fracciones mixtas son aquellas que cuentan con una parte entera más una parte fraccionaria .


¿Cómo convertir una fracción mixta o un número mixto a una fracción impropia?
Los números mixtos son representaciones de fracciones impropias por lo tanto podemos convertir un número mixto a una fracción impropia , para esto sumamos la parte entera del número mixto a la parte fraccionaria y el resultado de esta operación es una fracción impropia .


¿Cómo convertir una fracción impropia  a una fracción mixta?
Para convertir una fracción impropia a una fracción mixta efectuamos una división entre el numerador y el denominador , de esta división tomamos la parte entera que formará parte de la parte entera del número mixto , luego añadimos una fracción en donde el numerador será el residuo de la división y el denominador será el número que representa el divisor .


Suma de dos fracciones que tienen el mismo denominador
Para sumar dos fracciones que tienen el mismo denominador , sumamos los numeradores de ambas fracciones y pasamos el denominador sin ningún cambio .


Resta de dos fracciones que tienen el mismo denominador
Para restar dos fracciones que tienen el mismo denominador , restamos los numeradores de ambas fracciones y pasamos el denominador sin ningún cambio .


Suma de dos fracciones que tienen diferentes denominadores
Para sumar dos fracciones con diferentes denominadores , multiplicamos de manera cruzada el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción luego sumamos este producto a el producto del denominador de la primera fracción y  el numerador de la segunda fracción , todo esto dividido entre el producto de los denominadores de ambas fracciones .


Resta de dos fracciones que tienen diferentes denominadores
Para restar dos fracciones con diferentes denominadores , multiplicamos de manera cruzada el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción luego restamos este producto a el producto del denominador de la primera fracción y  el numerador de la segunda fracción , todo esto dividido entre el producto de los denominadores de ambas fracciones .


Producto de dos fracciones 
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las dos fracciones dadas y cuyo denominador es el producto de los denominadores de las fracciones.
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Cociente de dos fracciones
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por el reciproco de la segunda fracción . Es importante simplificar las fracciones siempre que sea posible antes de efectuar la división .



Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes si el resultado de amplificar y simplificar da un mismo resultado o una misma fracción . Para amplificar una fracción multiplicamos por un número especifico , para simplificar una fracción dividimos entre un número especifico .


Comparación de fracciones
Regla1 :
Si dos fracciones tienen el mismo denominador la mayor es la que tiene el mayor numerador .
Ejemplo :

Regla2 :
Si tenemos dos o más fracciones con el mismo numerador la mayor es la que tiene menor denominador .
Ejemplo :


¿Cómo comparar dos fracciones que no tienen el mismo numerador ni el mismo denominador?
Para comparar dos fracciones cualesquiera se puede hacer gráficamente o empleando las siguientes reglas .
1- Buscamos que ambas fracciones tengan el mismo denominador , para esto buscamos fracciones equivalentes para ambas fracciones hasta llegar a un común denominador en ambas fracciones .

2-Luego usamos la regla de comparación cuándo los denominadores de ambas fracciones son iguales que como establece la regla es mayor la fracción que tiene el mayor denominador .
Ejemplo :
¿Cuál de la siguientes fracciones es la mayor?

Para solucionar la suma , resta , producto , división , conversión de fracción mixta a fracción impropia y conversión de fracción impropia a fracción mixta online pique aquí
Vea también
Examen evaluativo de fracciones

miércoles, 11 de febrero de 2015

Movimiento de proyectiles

Un proyectil es un cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada influenciada de manera total por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire .
Ejemplos de proyectiles son un paquete lanzado de un edificio , una bola de baseball bateada , una bola lanzada por un pitcher , una bala disparada por una escopeta entre otros ejemplos . 



Trayectoria : es el camino que sigue un proyectil .
A la hora de indagar este tipo de movimiento tan cotidiano nos auxiliaremos de un modelo idealista que representa el proyectil como una partícula con aceleración constante en magnitud y dirección . En este modelo debemos obviar los efectos de la curvatura de la tierra y su rotación , ademas ignoraremos los efectos del aire . Aunque debemos decir que la curvatura de la tierra debe tomarse en consideración cuándo se trata de objectos que tienen un largo alcance , así como también los efectos de la resistencia del aire son una parte muy importante en lo que al vuelo de un paracaida se refiere .
Aunque hablamos de un movimiento idealizado este nos dá una gran mirada al comportamiento de un objecto que tiene un movimiento de proyectil .
Por la particularidad de que la aceleración de la gravedad es exclusivamente vertical , por tanto el movimiento de un proyectil está limitado a un plano vertical que está determinado por la dirección de velocidad inicial tal como se puede observar en la gráfica de la figura  izquierda esto demuestra que la gravedad no afecta el movimiento lateral que pueda tener una partícula en el momento en que inicia su movimiento de caída libre .Por tanto como se puede observar este movimiento es bidimensional , en dónde podemos llamar el plano en que se ejecuta el movimiento como  plano xy , en dónde el eje x es horizontal y el eje y es vertical .

Una de la ventaja de tratar el movimiento de un proyectil es que podemos tratar las componentes x e y del movimiento  de manera separada , como la aceleración de la gravedad es exclusimente vertical esta no afecta el movimiento horizontal de una partícula en movimiento , por tanto la aceleración de esta partícula en el eje x es nula o igual a cero , de manera que la componente de la aceleración es constante e igual a [-g] , aunque el signo negativo de la aceleración puede cambiar dependiendo de la coordenadas que escojamos .
Entonces de lo ante expuesto el movimiento de un proyectil es una combinación del movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante  .
Como se puede ver en la gráfica izquierda dos proyectiles que tienen diferentes movimientos respecto a el eje x , y igual movimiento respecto a el eje y , uno de los proyectiles parte del reposo y el otro está proyectado horizontalmente , una particularidad de este movimiento es que ambos proyectiles caen distancias iguales en tiempos iguales . 
El movimiento de proyectil está representado por dos movimientos que se suprponen el movimiento horizontal y el movimiento vertical  por la aceleraciones respecto a el eje x y el eje y son :


 movimiento de proyectil sin resistencia de aire


Como las aceleraciones tanto en el eje x como en el eje y son constante utilizaremos las relaciones matemáticas para analizar el movimiento de un proyectil en dos dimensiones que utilizamos en el tema [movimiento en línea recta] haciendole algunos ligeros cambios a las fómula del movimiento representado en el eje x y a las fórmulas utilizadas en el eje y .
Por tanto tenemos que las relaciones matemáticas para el movimiento del proyectil en el eje x :

Para el movimiento en el eje y las relaciones matemáticas son :

Como la velocidad inicial en el movimiento del proyectil es un vector tenemos que la velocidad se representa en término de las componentes x e y .

Si el proyectil parte del punto X0=Y0=0 el movimiento de proyectil haciendo las sustituciones correspondientes  es.

Estas relaciones matemáticas describen la posición y velocidad del proyectil tal como se muestra en la siguiente figura .

Como se puede ver en la gráfica se puede obtener multiples informaciones , como es la distancia de el proyectil al origen de coordenadas y esta distancia representa la magnitud del vector posición r . Tal como analizamos en el tema (Vectores) la magnitud del vector posición se representa así .

También la magnitud de la velocidad o la rapidez es .

Entonces la dirección de la velocidad en términos del ángulo θ que forma con el eje x positivo es .

Como se pudo observar en la figura de más arriba la velocidad es tangente a cualquier punto de la trayectoria del movimiento de un proyectil .
Con ayuda de expresiones o fórmulas matemáticas expuestas en este post más arriba se puede deducir una expresión que describa la trayectoria del proyectil en términos de x e y eliminando el parámetro de del tiempo t . Tomando como punto de partida de la trayectoria del proyectil  x0=y0=0 , tenemos que el tiempo es 
t=x/(vcos θ) y entonces tenemos que :

Ejemplo :
Un bola es lanzada horizontalmente desde el borde de la azotea de un edificio que tiene una altura 15m con una rapidez inicial de 10m/s . ¿Cuál es la posición , distancia del borde y velocidad de la pelota después de 0.7seg ?
Solución:
¿Dónde está la pelota en t = 0.7seg ?

Como se puede ver la componente y de la posición es negativa lo que puede interpretarse como que la bola está debajo de su punto inicial .
¿A qué distancia está del borde del edificio la pelota ?

¿Qué velocidad tiene la bola en t = 0.7seg ?
primero determinamos las componentes x e y de la velocidad .

La bola tiene la misma velocidad horizontal en el eje x , que cuando la bola parte de t = 0seg , pero la bola ha adquirido una velocidad vertical en la dirección del eje y negativo . Usando vectores unitarios la velocidad en t = 0.7 seg es :

Podemos expresar la velocidad en términos de magnitud y dirección como :

Entonces el ángulo del vector velocidad es :

El signo negativo del ángulo nos indica que la velocidad está dirigida 34.45º debajo de la horizontal

Nota : Vuestra opinión y sugerencias las tomamos muy seriamente , si este post te ha servido dejanos tus comentarios y sugerencias .