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lunes, 16 de marzo de 2015

Movimiento circular

En el movimiento circular la aceleración tiene la particularidad de estar dirigida perpendicularmente a la trayectoria de la particula u objecto que tiene movimiento circular .

Movimiento circular uniforme  
Este se determina cuándo una partícula u objecto se mueve de manera circular con una rapidez constante . En la naturaleza hay múltiples ejemplos del movimiento circular uniforme como son : un behículo que se mueve en una curva que tiene un radio constante y una rapidez constante , un satélite que se mueve a una misma altura y con una rapidez constante respecto a la tierra , la aguja segundera de un reloj que se mueve con rapidez constante y siguiendo una trayectoria circular uniforme entre otros ejemplos .
En el movimiento circular uniforme no existe componente paralela a la trayectoria de una partícula en movimiento circular ya que si así fuera la magnitud de la rapidez de esta partícula cambiaría en el tiempo y la dirección no estuviera dirigida hacia el centro del círculo .
Por tanto en el movimiento circular se experimenta una aceleracíón centrípeta , esta aceleracíón es totalmente perpendicular a la velocidad de la partícula .
La componente de la aceleración perpendicular(normal) a la trayectoria que causa el cambio en la dirección tiene una relación matemática simple con la rapidez de la partícula y el radio del círculo .
Brevemente vamos a deducir esta relación .
La primera observación que haremos es que en el movimiento circular uniforme la aceleración siempre es perpendicular a la velocidad , cuando cambia la dirección de la velocidad  cambia la dirección de la aceleración . Entonces el vector aceleración en
cada punto se dirige hacia el centro . La figura 1 muestra una partícula que se mueve con rapidez constante en una trayecoria circular de radio R que está centrada en S . 
La partícula se traslada de P1 a P2 en un tiempo Δt .
EL cambio de velocidad de se muestra en la figura 2 .
Los ángulos Δθ que se muestran en la figuras 1 y 2 son iguales porque  es perpendicular a la línea SP1 y es perpendicular a SP2 , y los triángulos SP1P2 (fig 1) y Sp1p2 (fig 2) son semejantes por tanto cocientes de los lados correspondientes son iguales , por lo que 

La magnitud de amed de la aceleración media en un intervalo Δt es

La magnitud de a la aceleración instantanea en el punto P1 es el límite de esta expresión conforme P2 se acerca a P1 ;

Como se puede ver en la expresión anterior el límite Δs/Δt es la rapidez v1 en P1 . También , P1 puede ser un punto cualquiera de la trayectoria , así que para obtener una expresión general omitiremos el subíndice , entones v representa la rapidez en cualquier punto , por tanto tenemos que :

Debemos decir que la aceleración en el movimiento circular uniforme está dirigido hacia el centro o la parte concava de la trayectoria circular .
Como la magnitud de la velocidad es constante la aceleración siempre es perpendicular a la rapidez instántanea .
La relación que existe entre la velocidad v y el radio R se puede expresar en palabras así :
La magnitud de la aceleración instantánea a es igual a el cuadrado de la velocidad v dividido entre el radio R del círculo , la dirección de esta es perpendicular ay dirigida hacia el centro sobre su radio . 
También la aceleración radial también se le llama aceleración centripeta ya que esta siempre está dirigida hacia el centro de la circunferencia tal como se puede observar en la figura 3. 
Ahora presentaremos la aceleración radial en términos del tiempo que tarda una particula en dar una vuelta a un circulo T , a este tiempo también se le conoce como período .
La distancia que recorre una partícula en un tiempo T es 2πR , por tanto la velocidad viene dada por :

Cuándo sustituimos la velocidad en términos del período T , la aceleración radial nos queda así :

Ejemplo 1
Un behículo tiene una aceleración radial de 2m/s2 que le permite circular por una curva sin salirse del camino . Si este behículo se traslada con una rapidez de 20m/s , ¿cuál es el radio mínimo de la curva que puede tener la curva circular? (suponiendo que no existe peralte .)
solución:
como el behículo se mueve por una curva circular y el problema nos dá la aceleración y la magnitud de la velocidad con que se traslada el behículo  , aplicaremos la fórmula matemática que relaciona la aceleración , la magnitud de la velocidad y el  radio R , para esto despejaremos el radio R .
Datos :
arad = 2m/s2     v = 20m/s       R=?

Como se puede observar el resultado es R = 200m
Ejemplo 2
Un carrusel gira con rapidez constante describiendo un círculo de 6.0m de radio , este dá una vuelta completa en un tiempo de 5.0s ¿Qué aceleración experimetaría una pasajero montado en el carrusel?  
solución :
El primer dato que nos dá el problema es que la rapidez es constante , luego nos dice que se describe un círculo y por último nos dan el tiempo que tarda el carrusel en completar una vuelta , para solucionar este problema usaremos la expresión ya desarrollada en este post que relaciona la aceleración centrípeta , el radio y el tiempo o período .
Datos : a = ?  R = 6.0m   T = 5.0s 

El resultado para este problema es una aceleración de 9.5m/s2

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