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martes, 14 de abril de 2015

Factorización

La factorización es una operación de gran relevancia en la resolución de problemas de matemáticas , fundamentalmente en el álgebra .

Factorización:
Es la operación que permite una vez obtenido el producto o el resultado de una multiplicación , nos permite encontrar los factores de dicho producto .

Factores o divisores :
Son aquellos términos del producto mediante los cuales se pueden obtener la expresión algebraíca correspondiente .
Ejemplo:
Los factores o divisores de estas expresiones :
y2 = y·y

m3 = m·m·m

25 = 5·5

81 = 3·3·3·3 


Números primos:
Un número primo b , si sólo si es divisible entre ±1 y ±b
Ejemplos:
2 y 7 son números primos porque solamente son divisible por ±2 y 
±1 y el 7 por ±7 y ±1
Los números primos tienen una definición especial en el conjunto de los números naturales y se definen como aquellos números que sólo son divisible por la unidad y por ellos mismos .
Ejemplo :
2,3,5,7,11,13,17 
Los griegos , en la antiguedad , crearon los números primos


Números compuestos:
Son todos aquellos números que además de ser divible por la unidad y ellos mismos tambien son divible por otros números .
Todo aquellos números compuestos se pueden descomponer en factores .
Ejemplo :
15 = 3 · 5
150 = 10 ·15 = 2·5·5·3 = 2·3·52
1000 = 10·10·10 = 2·5·2·5·2·5 = 23·53

Factor común en una expresión algebraicas
Un factor común en dos o más términos algebraicas se puede expresar como un factor o un divisor de las expresiones algebraicas consideradas , ejemplo x3 + x2 se puede observar que x2 es un factor común ya que x2( x + 1 ) = x3 + x
x2( x + 1 ) = x3 + x2   

Veamos unos ejemplos de factores comunes a la hora de factorizar una expresión algebraica .

* 4xy2 + 16x2y = 4xy(y) + 4xy(4x) , factor común 4xy, entonces la factorización es 4xy(y + 4x)

* 5m4n5 - 60m3n3x = 5mn2(m3n3) - 5mn2(12m2nx) , factor común 5mn2 , entonces la factorización es 5mn2(m3n2 - 12m2nx)

* 2b(x2 + y + z2) - 3s(x2 + y + z2) = (2b - 3s)(x2 + y + z2) , factor común x2 + y + z2

* (x + 3)(2x + y) + 3z(x + 3) = (x + 3)(2x + y + 3z) , factor común es x+3

En la factorización por agrupación de términos se utiliza el mismo principio del factor común pero antes se procede a simplificar las expresiones algebraicas semejantes .

* 4xb + 5yb + 4xv + 5yv = (4x + 5y)b + v(4x+5y) , factor común es 4x+ 5y , entonces la factotización es (b + v)(4x + 5y)

* 6 - 2x2 -4abx2 - 12ab = 6 - 12ab + 2x2 - 4abx2

6(1 - 2ab) + 2x2(1 - 2ab) factor común 1- 2ab , entonces la factorización es (1- 2ab)(6 + x2)

* 8 - 4y2 + 10aby2 - 20ab = 8 - 20ab -4y2 + 10aby2 
4(2 - 5ab) -2y2(2 - 5ab) factor común es 2 - 5ab , entonces la factorización es (4 - 2y2)(2 - 5ab)

¿Cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto ax2+bx+c?
A la hora de factorizar se hace necesario reconocer cuando una expresión matemática es trinomio cuadrado perfecto , un trinomio es cuadrado perfecto si el primer y el tercer término son positivos y tienen raíces cuadradas exactas , y el segundo término es el doble de las raíces del primer y tercer término .
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto procedemos a obtener las raíces cuadradas del primer y el tercer término , luego separamos estas raices con el signo del segundo término .

Ejemplos :
1-  x2 +10x + 25
(x + 5)(x + 5) = (x + 5)2

2- y2 -8y + 16 
(y - 4)(y - 4) = (y - 4)2

3- 4z2 + 20z + 25
(2z + 5)(2z + 5) = (2z + 5)2


Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c que no es un trinomio cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio que no es cuadrado perfecto existen varias formas .
1- caso :  a = 1
a) se descompone en dos binomios el trinomio que se nos dá , luego tomamos como primer término en cada binomio la raíz cuadrada del primer término x2 .
Ejemplos :   x2 + 7x +10        z2 - z - 6
                  (x      )(x      )        (z       )(z       )

b) En el primer factor depués de x  y de z escribimos el signo del segundo término del trinomio , y en el segundo factor depués de x y z tomamos el signo resultante de multiplicar el signo del segundo término y el tercer término del trinomio .

*  (x  +  )(x  +   )             *  (z  -   )(z   +   )

c)  Cuando los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales , se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto de estos números sea el valor absoluto del tercer término del trinomio . Estos números representan los dos términos faltantes de los binomios .

* (x   +   2)(x   +   5)

d) Cuando los dos factores binomios en el medio tienen signos diferentes , se buscan arbitrariamente dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio . El número mayor de estos números es el segundo término del primer binomio y el número menor  es logicamente el segundo término del segundo binomio .

* (z   -    3)(z    +    2)
|3  -  2|  =  |1| = 1     y     |(3) x (2)| = |6| = 6

2- segundo caso : a ≠ 1

Primer proceso

Para este caso de factorización requerimos un mayor proceso que en el caso anterior 
6x2-4x-2
Primero multiplicamos todo los términos del trinomio por el coeficiente del primer término 6 .
6(6x2 -4x-2) = (6x)2 -4(6x) -12 
Ahora procedemos de la misma manera que en el caso donde a = 1
buscamos dos números que multiplicado resulte el valor absoluto de tercer término y cuya diferiencia resulte en el valor absoluto del segundo término del trinomio dado antes de multiplicar por 6 , estos dos números son 6 y 2.
(6x - 6)(6x + 2)

Ahora como ya hemos multiplicado por 6 para no alterar la expresión procedemos a dividir entre 6 .

Despues de efectuar la división por 6 el resultado final es :
(x - 1)(6x + 2) 

Segundo proceso 
En este caso vamos a factorizar el trinomio ax2 + bx + c donde 
a ≠ 1.
Para este proceso vamos a usar la técnica de combinación de factores 
6x2 - 4x - 2
Primero descomponemos en dos factorse el primer y el tercer término del trinomio .
6x2 = (6x)(x)      -2 = (-1) (2)     -2 = (1) (-2)
Bueno ahora procedemos a combinar los factores de manera que la suma algebraica de los productos cruzados de los factores resulte en el segundo  término del trinomio, entonces sabremos que estos son los factores del trinomio , y hacemos combinaciones de factores y signos hasta obtener como resultado el segundo término del trinomio ejemplo .

Como se puede observar los factores que cumple con la condición son (6x + 2) y (x - 1) .
Por tanto el resultado es : (6x + 2)(x - 1)

Factorización de la diferiencia de los cuadrados de dos cantidades x2 - y2

La factorización de la diferencias de dos cantidades es igual al producto indicado de la suma por la diferencia de dichas cantidades 
(x2 - y2) = (x + y)(x - y)
(4m2 - 16n2) = (2m + 4n)(2m -4n)
(25z2 - y2) = (5z + y)(5z - y)

Factorización de la diferencia de los cubos de dos cantidades 
x3 + y3
La factorización del cubo de la diferencia de dos cantidades es igual a el producto indicado de la diferencia de las raíces de las dos cantidades como primer factor y el segundo factor es el cuadrado de la raíz cúbica de la primera cantidad más la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la raíz cúbica de la segunda cantidad .
La raíz cúbica de x3 es x y de y3 es y . 
Ejemplos . 
x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy y2)
8t3 - 27 = (2t)3 - (3)3 = (2t - 3)((2t)2 + (2t)(3) + (3)2 =
(2t - 3)(4t2 +6t + 9)


Factorización de la suma de los cubos de dos cantidades 
x3 + y3 
Para factorizar el cubo de la suma de dos cantidades descomponemos esta suma en dos factores . El primer factor es igual a la suma de las raices cúbicas de las dos cantidades , el segundo factor es igual al cuadrado de la raíz cúbica de la primera cantidad menos el productos de las raices cúbicas de la primera y segunda cantidad más el cudrado de la segunda raíz cúbica .
Ejemplos .
x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
(8z3 + 64) = (2z)3 + (4)3 = (2z + 4)((2z)2 - (2z)(4) + (4)2) =
(2z + 4)(4z2 - 8z + 16)

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