Logaritmo y sus propiedades - Matemática y Física

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domingo, 31 de mayo de 2015

Logaritmo y sus propiedades

Logaritmo
El logaritmo de un número z, real y positivo en una base c se define como el exponente s al cual debemos elevar la base c para conseguir el número z.

logc z = s      donde c≠ 1    y    c= z

Veamos algunos ejemplos de el logaritmo de un número
1) log2 8 = z
         2z = 8
          z = 3
2) log3 81 = z
          3z = 81
            z = 4
3) log4 256 = z
          4z = 256
            z = 4

Propiedades de los logaritmos 

1) El logaritmo de la unidad es igual a cero

logc 1 = 0  → c0 = 1

2) El logaritmo de la base es igual a uno

logc  c = 1 →  c1 = c

3) El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

Veamos la demostración
Si tenemos  que 

a) cm = R → b) logc R = m       c) cn = H → d) logc H = n

Ahora procedemos a multiplicar ambos miembros de la expresión a) y c)

cm · cn = RH

d) cm + n = RH →  logc RH = m + n

Ahora sustituimos  los valores de m y n de las expresiones b) y d) en d), quedándonos entonces

logc RH = logc R + logc H

4) El logaritmo de la división de dos números no negativos es igual al logaritmo de dividendo menos el logaritmo del divisor.

Tomando como parámetro la demostración anterior procedamos a dividir a) y c)

Sustituyendo m y n de b) y d) se obtiene

logc (R/H) =logc R - logc H

5) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

Si  a) c m = R  →  b)  logc R = m

Si elevamos ambos miembros de la expresión a) tendremos que :

(cmk) = Rk

c) cmk = R→  logc Rk = mk

Ahora sustituimos m de b) en c para tener

logc Rk = k logc R

6) El logaritmo de una expresión raadical es igual a el logaritmo de la cantidad subradical dividida por el índice de la raíz.

De la demostración anterior del logaritmo de una potencia, si tomamos k como un exponente fracionario tal que k = (1/n)
entonces 

logc R(1/n) = (1/n) logc R

como

Entonces el logaritmo de una expresión radical es.

Ejemplos de aplicación de las propiedades de los logaritmos

Vea tambien
Funciones logarítmicas
Funciones exponenciales

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