Proporcionalidad inversa - Matemática y Física

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martes, 26 de mayo de 2015

Proporcionalidad inversa

En este post vamos a ver exactamente lo que es la proporcionalidad inversa.
¿Cuándo dos variables son inversamente proporcionales o tienen una proporcionalidad inversa?

Dos variables una dependiente y otra independiente son inversamente proporcionales o tienen una proporcionalidad inversa si el reultado de multiplicar la variable dependiente y la variable independiente es siempre constante, si esto se cumple entonces la variable dependiente e independiente tienen una relación de proporcionalidad inversa o son inversamente proporcionales.

Ejemplo sea (y) una variable dependiente de una variable (x)
si (y · x) = k entonces (y) y (x) son inversamente proporcionales.

En este caso la constante k representa la constante de proporcionalidad inversa que existe entre las dos variables.


En el campo de la física hay muchos ejemplos de como importantes fórmulas enuncian de manera ejemplificante el concepto de lo que es una proporcionalidad inversa, de estas fórmulas u ecuaciones matemáticas citaremos algunas.
Ejemplo para calcular el potencial eléctrico (v) que genera una carga en funcíon de una distancia (r) , la variable (v) y la variable (r) tienen una relación de proporcionalidad inversa.

En donde la constante de proporcionalidad inversa es:

Otro ejemplo de fórmula que utiliza el concepto de lo que es una proporcionalidad inversa es la fórmula que se utiliza para calcular la energía potencial gravitatoria cuándo la distancia entre las masas es demasiado grande para considerar la aceleración de gravedad constante e igual g = 9.8m/s

En donde la constante de proporcionalidad inversa es 
k = -GMm

Otro ejemplo es la energía potencial eléctrica que se genera cuando una carga se mueve con respecto a otra carga puntual, esta fórmula tiene una relación de proporcionalidad inversa.

En donde la constante de proporcionalidad inversa es:


Gráfica de una relación que representa una proporcionalidad ineversa
La gráfica que representa una variación de proporcionalidad inversa es una rama de una hipérbola.

Ejemplos
I) Dados los datos de la tabla
a) Hallar la constante de proporcionalidad inversa
b) La ecuación matemática
c) Hacer la gráfica

F
8
4
2
1
T
1
2
4
8

a) Para conocer la constante de proporcionalidad inversa procedemos a multiplicar la variable dependiente (F) y la independiente (T) si el resultado de multiplicar cada uno de los datos de las columnas  es constante entonces sabemos que entre (F) y (T) existe una proporcionalidad inversa.
Como se puede ver la constante de proporcionalidad inversa es 
k = 8

b) Ya conocemos  la constante de proporcionalidad inversa, ahora procedemos a encontrar la ecuación matemática que dá lugar a estos datos de la tabla que es.
C) Ya obtenida la constante y la ecuación matemática vamos a construir la gráfica.
II) Dados los datos de la tabla
a) Hallar la constante de proporcionalidad inversa
b) La ecuación matemática
c) Hacer la gráfica

v(m/s)
6m/s
3m/s
2m/s
1m/s
t(s)
1s
2s
3s
6s
a) Para averiguar cuál es la constante de proporcionalidad inversa procedemos a multiplicar la variable dependiente (v) y la independiente (t) si el resultado de multiplicar cada uno de los datos de las columnas  es constante entonces sabemos que entre (v) y (t) existe una proporcionalidad inversa.

Entonces la constante de proporcionalidad inversa es k = 6m

b) Ya encontramos  la constante de proporcionalidad inversa, ahora vamos a encontrar la ecuación matemática que genera estos datos de la tabla que es.

C) Ya obtubimos la constante y la ecuación matemática vamos a construir la gráfica.

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