junio 2015 - Matemática y Física

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lunes, 29 de junio de 2015

Mínimo común múltiplo (M.C.M)

Este post muestra la manera de obtener el mínimo común múltiplo de varias expresiones numéricas y algebraicas.

El mínimo común múltiplo es la menor expresión numérica y algebraica que es divisible por cada una de las expresiones numéricas y algebraicas dadas.


Pasos para obtener el mínimo común múltiplo (M.C.M) en varias expresiones numéricas y algebraicas.


1::::  Procedemos a descomponer cada expresión dada en sus factores primos.


2::::  El mínimo común múltiplo (M.C.M) es la multiplicación o producto de todos los factores comunes y no comunes de la expresiones dadas, con su mayor exponente.


Veamos alguno ejercicios que muestran como obtener el mínimo común múltiplo en varias expresiones numéricas.


1- 10 , 15 , 35


Aplicando el paso uno pasamos a descomponer cada expresión numérica en sus factores primos.


10 = 2 · 5

15 = 3 · 5
35 = 5 · 7

Ahora pasamos a aplicar el paso dos y buscamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, y como se puede observar estos factores son 2 · 3 · 5 · 7, por consiguiente el mínimo común múltiplo es entonces la multiplicación de estos factores ques es igual 210 .


2- 5 , 20 , 200


Primero descomponemos cada número en sus factores primos.


5 = 5

20 = 2 · 2 · 5 = 22 · 5
200 = 100 · 2 = 4 · 25 · 2 = 23 · 52

Tomamos los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes son 23 , 52, por tanto el mínimo común múltiplo (M.C.M) es el producto de estos factores 23 · 52

que es igual a 200.

3- 100 , 800 , 500


Pasamos a descomponer cada número en sus factores primos.


100 = 22 · 52

800 = 25 · 52
500 = 22 · 53

Ahora pasamos a tomar los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes que para este caso son 25 , 53, por tanto el mínimo común múltiplo (M.C.M) es entonces el producto de 

25 · 53 que es igual a 4000.

Veamos alguno ejercicios que muestran como obtener el mínimo común múltiplo en varias expresiones algebraicas.


1- a3 - b3 , (a - b)2 , a - c


Pasamos a descomponer en sus factores cada una de la expresiones dadas para esto vamos a factorizar aquellas expresiones que sean factorizables.


a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

(a - b)2 = (a - b)2
(a - c) = a - c

Ahora tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente que en este caso son (a - b)2(a - c)(a2 + ab + b2),

por lo que el mínimo común múltiplo (M.C.M) es 
(a - c)(a - b)2(a2 + ab + b2).

2- x2 + 5x + 6,  x2 - 9 , x2 + 2x


Procedemos a factorizar cada una de las expresiones algebraicas dadas.


x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
x2 + 2x = x(x + 2)

Buscamos ahora los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes que van a ser x, x + 2, x - 3, x + 3, por tanto el mínimo común múltiplo en estas expresiones algebraicas es el producto de cada uno de estos factores es decir

x(x + 2)(x - 3)(x + 3)  y que haciendo algunas simplificaciones nos queda así  x(x + 2) (x2 - 9).

3- m2 - 5m - 6 , (m - 1)3 , (m + 6)


Procedemos a factorizar cada una de las expresiones dadas que puedan ser factorizadas.


m2 - 5m - 6 = (m - 1)(m + 6)

(m - 1)3 = (m - 1)3
m + 6 = m+ 6

Pasamos a obtener los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes que como se puede observar son 

(m - 1)3 , m + 6, por consiguiente el mínimo común múltiplo (M.C.M) es entonces (m - 1)3 · (m + 6).

Vea también

Máximo común divisor (M.C.D)
Factorización
Productos notables
Cocientes notables

sábado, 27 de junio de 2015

Máximo común divisor (M.C.D)

En este articulo vamos a estar analizando como obtener el máximo común divisor en varias expresiones numéricas y algebraicas .

El máximo común divisor(M.C.D) es la expresión numérica o algebraica mayor que divide varias expresiones algebraicas o numéricas de manera exacta, es decir el residuo de esta división debe ser cero.



Pasos para obtener el máximo común divisor(M.C.D) de varias expresiones algebraicas o numéricas.


1**  Lo primero que haremos es descomponer cada expresión en sus factores primos.


2**  El máximo común divisor(M.C.D) son todos los factores comunes a cada una de las expresiones dadas con su menor exponente.


Veamos varios ejemplos de como obtener el máximo común divisor de varias expresiones numéricas.


1-- 10 , 30 , 125


Aplicando el primer paso descomponemos cada expresión numérica en su factores primos.


10 = 2 · 5

30 = 2 · 15 = 2 · 3 · 5
125 = 5 · 5 · 5 = 53

El máximo común divisor(M.C.D) es según el segundo paso, el factor común con su mínimo exponente y como se puede observar el factor común es 5 y su menor exponente es 1 por tanto el máximo común divisor (M.C.D) es 5.


2--  25 , 45 , 100 , 225


Primero aplicando el primer paso descomponemos cada expresión numérica en sus factores primos.


25 = 5 · 5 = 52

45 = 3 · 15 = 3 · 3 · 5= 32 · 5
100 = 4 · 25 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52
225 = 5 · 45 = 5 · 3 · 15 = 5 · 3 · 3 · 5 = 52 · 32

Aplicando el segundo paso buscamos el factor común con su mínimo exponente y como se puede observar el factor común con su mínimo exponente es 5, por tanto el máximo común divisor(M.C.D) es 5.


Veamos varios ejemplos de como obtener el máximo común divisor de expresiones algebraicas.


1-- 30 a2b , 40ab


Aplicando el primer paso procedemos a obtener los factores primos de las expresiones algebraicas de manera individual.


30a2b = 2 · 3 · 5a2b

40ab = 23 · 5ab

Aplicando el paso dos se puede observar que el factor común con su mínimo exponente es 2 · 5ab = 10ab, es decir el M.C.D es 10ab.


2-- 10x2y3 z , 5xyz2 , 15xy2


Aplicando el primer paso pasamos a obtener los factores primos de cada expresión algebraica.


10x2y3z = 2 · 5x2y3z

5xyz2 = 5xyz2
15xy2 = 3 · 5xy2

Aplicando el paso dos, el factor común con su mínimo exponente es 5xy, por tanto el máximo común divisor (M.C.D) es 5xy.


3--  20 a2b2 c3 , 25a3b4, 35a2


Aplicando el primer paso procedemos a obtener los factores primos de cada una de las expresiones algebraicas.


20a2b2c3 = 22 · 5a2b2c3 

25a3b4 = 52a3b4
35a2 = 5 · 7a2

Aplicando el paso dos pasamos a buscar el factor común con su mínimo exponente de las tres expresiones algebraicas que es 

5a2, por tanto el máximo común divisor (M.C.D) es 5a2 .

Veamos como obtener el máximo común divisor(M.C.D) en polinomios.


1-- 2x3 + 2x2 , x2 + x


Aplicamos el primer paso pasamos a descomponer o factorizar las expresiones polinómicas dadas.


2x3 + 2x2 = 2x2(x + 1)

x2 + x = x(x + 1)

De las descomposiciones o factorizaciones anteriores se puede observar que el factor común con su mínimo exponente es 

(x + 1), por consiguiente el máximos común divisor(M.C.D) de las expresiones polinómicas anteriores es (x + 1).

2-- a3 - 1 , a2 - 1 , a2 -2a + 1


Aplicando el primer paso procedemos a factorizar cada expresión polinómica dada .


a3 - 1 = (a - 1)(a2 + a + 1)

a2 - 1 = (a - 1)(a + 1)
a2 - 2a + 1 = (a - 1)2

A la distancia se puede ver que el factor común con su mínimo exponente es (a - 1) , por lo que el máximo común divisor de las expresiones polinómicas anteriores es (a - 1).


3--  y2 - b2 , y3 + by2 , y3 + b3


Aplicando el primer paso pasamos a descomponer o a factorizar las expresiones algebraicas dadas.


y2 - b2 = (y - b)(y + b)

y3 + by2 = y2(y + b)
y3 + b3 = (y + b)(y2 - by + b2)

Como se puede ver el factor común con su mínimo exponente es

(y + b), por consiguiente el máximo común divisor en las tres expresiones polinómicas dadas es (y + b).

Vea también

Factorización
Productos notables
Cocientes notables

jueves, 25 de junio de 2015

Como representar datos estadístico profesionalmente en una gráfica

En este post vamos a aprender a hacer una buena representación de un conjunto de datos estadísticos para fines de presentarlos ante un grupo de trabajo de una empresa o para un trabajo de investigación con fines educativos, para esto nos auxiliaremos de la tecnología informática y de los programas microsoft word y microsoft excel.


En el mundo globalizado se hace necesario que los trabajos sean tabulados u organizado mediante una tabla que presente el recogimiento de los datos en una investigación o una encuesta con un fin especifico y la manera en que uno presenta los datos deja mucho de que hablar de nuestro trabajo a aquella audiencia que valora nuestro trabajo.



Por esto nace este articulo con el objetivo de presentar algunos tips para representar nuestros datos estadísticos de una manera profesional.


Imaginemos que vamos a representar los datos recogido en una investigación mediante la cual se quiere averiguar en una muestra o población de 100 personas en un plantel universitario, ¿cual de 4 materias o asignaturas entre las cuales se encuentran Biología, Química, Matemática y Física es con la que se sienten más a gusto? y imagine que usted obtuvo  los datos siguientes, que a 50 estudiantes le gusta la Biología , a 20 estudiantes le gusta la Química, a 17 le gusta la Matemática y a 13 le gusta la Física, todos los datos equivaldrían en términos de porcentajes, a el 50% de los estudiantes le gusta la Biología, al 20% le gusta la Química, al 17% le gusta la matemática y al 13% le gusta la Física  .



Si se nos ocurriera presentar los datos tal como se han escrito en el párrafo anterior pues la verdad  no tiene nada de malo como lo hemos escrito, el problema es que en el mundo moderno todo debe ser analizado mediante una síntesis  o simplificación y nada mejor para este propósito que una tabla o un gráfico para presentar estos datos.


Para hacer esto utilizaremos la tecnología a nuestra disposición, si usted dispone del programa microsoft word y microsoft excel, estos programas pueden ayudarle a darle el toque profesional que su trabajo estadístico necesita.


Vamos a representar los datos anteriores en una tabla usando el programa microsoft word, en este post usamos microsoft word 7, aunque el proceso es similar en cualquier versión.


1- Abrimos el programa microsoft word y vamos a la cinta del menú de herramientas que dice "Insertar" encerrada en el óvalo rojo y hacemos clic tal como se muestra en la figura siguiente.


2- Vamos a la cinta que dice "Tabla" y hacemos clic, allí escogemos la cantidad de fila y de columna que ha de tener nuestra tabla que en nuestro caso serán  tres columnas y cinco fila es decir  3 x 5 .


Como se puede ver en la foto el óvalo rojo muestra que nuestra tabla tendrá 3 columnas y 5 filas, después de escoger el número de fila y columna hacemos un clic y se nos genera una tabla como esta.

La tabla que se nos genera quizá no tiene el ancho y el alto que nosotros deseemos, para personalizar la tabla haga clic en cualquier parte de la tabla y luego haga clic en la esquina superior izquierda en la cruz encerrada en el circulo rojo.


Luego de que hacemos clic en la esquina superior izquierda la tabla nos queda así.

3- Ahora vamos a cinta de menú que dice "Presentación" y hacemos clic, luego vamos a la sección que dice "Tamaño de celda" y hacemos clic, y allí especificamos el tamaño de las filas y de las columnas.


Ya después de haber personalizado nuestra tabla simplemente procedemos a poner los datos a tabular, los datos y la tabla con los datos organizado se vería así.


La tabla después de aplicarle un diseño personalizado en la cinta que dice "Diseño" la tabla se ve como en la gráfica anterior.


Para representar los datos de la tabla ahora en una gráfica que puede ser de pastel , barra o como uno la prefiera.

1- Vamos a la cinta de microsoft word que dice "Insertar" luego vamos a la sección donde dice "Gráfico" y hacemos clic allí.


Después que hacemos clic se nos abre un cuadro de dialogo con todas las posibles gráficas que podemos utilizar, en nuestro caso vamos a utilizar un gráfico circular para representar los datos ya tabulados en la tabla.

Después que escogemos nuestro gráfico la pantalla se nos divide en dos ventanas, en una visualizaremos el gráfico que se encuentra en el programa microsoft word y en la otra mitad veremos los datos sin personalizar del programa de cálculo microsoft excel esto se debería ver así.


Ahora procedemos a personalizar los datos de la ventana de excel por nuestros datos haciendo un clic en la celdas donde vamos a cambiar los datos y procedemos a escribir los datos que nos competen a nosotros, quedándonos la gráfica así.

Ya después que hemos personalizado los datos de excel con nuestro propios datos, cerramos la ventana de excel y ya los datos de la tabla quedan representado como se muestra a continuación.

La gráfica anterior podemos personalizarla aún más haciendo clic sobre el gráfico y dirigiéndonos a la cintas "Diseño", "Herramientas de gráficos" y "Presentación", veamos la gráfica anterior aplicándole algunas personalizaciones.


Ya por último si no deseamos representar estos datos en un gráfico circular simplemente hacemos clic sobre el gráfico y luego hacemos clic sobre la cinta "Herramientas de gráficos" y allí vamos a la sección que dice "Cambiar gráfico" , el gráfico anterior cambiado por uno de barras se vería así:



Vea también 

Como guardar, copiar y pegar un texto o imágen
Como crear un párrafo en un html o página web 
Como crear un cuadro de diálogo con visual basic
Como como convertir una foto a un formato ".ico"
Ejemplos de códigos para funciones en visual basic

miércoles, 24 de junio de 2015

La tercera ley de Newton

En este articulo nos ocuparemos de ver y analizar la tercera ley de Newton.
Una fuerza sobre un cuerpo siempre nace de la interacción de este cuerpo con otro cuerpo, por esto nos permite tener el pensamiento por cierto correcto de que las fuerzas siempre se manifiestan en pares.

No podemos ejercer una fuerza sobre una puerta con el objetivo de cerrarla o abrirla sin que esta puerta ejerza sobre nosotros la misma fuerza con la misma magnitud y en sentido opuesto.

Al golpear un balón, la fuerza que nosotros ejercemos sobre el balón lo lanza hacia su trayecto de movimiento, pero el que golpea el balón siente como el balón ejerce esta misma fuerza.

Este hecho es tan real que si se golpea una pared, la pared nos golpeará con la misma fuerza por lo que después de golpear una pared con mucha fuerza empezaremos a sentir los estragos como el dolor físico, lo que demuestra que la pared sí nos golpea pues de no ser así no sentiríamos ningún tipo de molestia o dolor.

En todos los ejemplos anteriores, la fuerza que ejercemos sobre otro cuerpo tiene dirección opuesta a la que el cuerpo ejerce sobre nosotros.

Y según los muchos experimentos que se han podido hacer, demuestran que cuando dos cuerpo están en interacción, las fuerzas que se ejercen el uno sobre el otro son iguales y opuestas.

En la figura de la gráfica que aparece al principio de este articulo se puede ver la fuerza que el cuerpo A representado por un hombre, ejerce sobre el cuerpo B representado por un balón y la fuerza que el cuerpo B, ejerce con sentido opuesto sobre el cuerpo A.

También en la figura que aparece al principio de este articulo se puede observar que ambas fuerzas actúan en cuerpos distintos por ejemplo el cuerpo A actúa sobre el cuerpo B y el cuerpo B actúa sobre el cuerpo A esto siempre se debe cumplir en dos fuerzas que sean un par acción y reacción.
Esto que se da en esta figura es lo que se conoce como la tercera ley de Newton y se interpreta matemáticamente así:

Esta expresión matemática se expresa así:
"Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (una acción), entonces B ejerce la misma fuerza sobre A (una reacción), ambas fuerzas tienen la misma magnitud y direcciones opuestas, y estas actúan en diferentes cuerpos."

Entre las cosas que no debemos dejar de lado es el hecho que establece que en la tercera ley de Newton la fuerza que representa la acción y la que representa la reacción no deben actuar en un mismo cuerpo, también debemos decir que la tercera ley de Newton se aplica independientemente de que el cuerpo se encuentre en movimiento con aceleración o con velocidad constante o se encuentre en un reposo absoluto con velocidad nula o igual a cero.

Lo anterior significa que si el cuerpo interactúa con otro cuerpo ejerciendo una fuerza accionaria y reaccionaria uno sobre el otro y uno o ambos cuerpos se mueven con aceleración constante o variable aún así se cumple la tercera ley de Newton, si el cuerpo interactúa con otro cuerpo ejerciendo una fuerza accionaria y reaccionaria uno sobre el otro y uno o ambos se están moviendo con velocidad constante aún así se cumple la tercera ley de Newton y si el cuerpo interactúa con otro cuerpo ejerciendo una fuerza accionaria y reaccionaria uno sobre el otro y ambos están absolutamente en reposo sin experimentar ningún tipo de movimiento también en este caso se cumple la tercera ley de Newton.

Las fuerzas que actúan en la tercera ley de Newton también se les conoce como un par acción-reacción.


Vea también

La primera ley de Newton
La segunda ley de Newton
Isaac Newton y su historia

domingo, 21 de junio de 2015

Ecuación de la circunferencia

La circunferencia es una de las líneas más famosa en la geometría clásica, geometría analítica y las matemáticas generales por lo que en este articulo prestaremos una especial atención a la parte analítica de una circunferencia.


Definición de circunferencia:

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se mantiene siempre a una misma distancia de un punto fijo en el plano.

La circunferencia cuyo centro es el punto (h , k) y cuyo radio es la constante r, tiene como ecuación.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Veamos como podemos demostrar el teorema anterior, sea G(x , y) un punto cualquiera de una circunferencia cuyo centro es C(h , k) y radio r. Entonces el punto G debe satisfacer la definición de circunferencia bajo la condición geométrica .

Utilizando la fórmula que nos permite obtener la distancia entre dos puntos cualquiera en el plano calculamos la distancia entre G(x , y) y C(h , k) de donde obtenemos.

De donde si elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad anterior vamos a obtener la expresión o ecuación que representa una circunferencia.

De esta forma queda demostrado que:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 

Es la ecuación que representa el lugar geométrico conocido como circunferencia .

La ecuación de la circunferencia para el caso en que 
h = 0 y k = 0 es decir C(h,k) = C(0,0) es :

x2 + y2 = r2

La gráfica representativas de esta ecuación se verían así.

Ejemplo de un problema con la ecuación de una circunferencia.

Las rectas l1 y l2 están representadas 
por (x + y - 7 = 0) y (y - x -1 = 0) respectivamente y se cortan o interceptan justo en el centro de una circunferencia cuyo radio es r = 4. Hallar la ecuación de la circunferencia que cumple con estas condiciones .

Solución:
Lo primero que haremos será ilustrarnos con un gráfico que muestre la situación en la que se da el problema, para trazar la circunferencia de manera manual simplemente tomamos una abertura del compás equivalente a la distancia representativa del radio y luego apoyamos nuestro compás en el punto que representa el centro de la circunferencia y trazamos nuestra circunferencia.

Segundo procedemos de manera analítica a encontrar la solución de l1 y l2 cuyo resultado representaría la coordenada del centro C de la circunferencia cuyo radio es 
r = 4, para ver como solucionar dos ecuaciones cuyas variables son (x)  y (y) le sugiero ver el articulo solución de un sistema de ecuaciones con el método de reducción.
Las ecuaciones del problema representan el sistema de ecuaciones siguiente. 

El resultado de solucionar el sistema de ecuaciones anterior es [x = 3] y [y = 4]  donde h = 3 y k =4, este punto corresponde a la coordenada del centro de la circunferencia C(3 , 4), por lo que conociendo la coordenada del centro y el radio de la circunferencia con esto dos datos es más que suficiente para determinar la ecuación que representa esta circunferencia con estas características.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Entonces la ecuación buscada es:

(x - 3)2 + (y - 4)2 = 42

(x - 3)2 + (y - 4)2 = 16

viernes, 19 de junio de 2015

Ecuación de la recta y sus particularidades

La ecuación de la recta está definida en geometría analítica y en las matemáticas generales con la expresión matemática.

Ax  +  By  +  C  =  0


La gráfica de una ecuación o expresión como la anterior siempre representa una línea recta.


Pendiente de una recta

La pendiente de una recta está definida como el cociente de las ordenadas de dos puntos de la recta entre las abcisas de dos puntos de la recta.


Sea P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tal como se puede observar en la gráfica anterior entonces la pendiente de la recta que nombraremos con la letra m será:

Si la tangente del ángulo de inclinación es :


Entonces el ángulo de inclinación de una recta es:


Ecuación de la recta dados dos de sus puntos:

Sea P1(x1,y1) y P2(x2,y2) entonces de la definición de pendiente tenemos que:


Si generalizamos la expresión anterior para cualquier punto es decir P(x , y) = P2(x2 , y2) la expresión resultante es :


Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente


En la ecuación anterior sustituimos la expresión de la pendiente por m quedándonos la expresión anterior así:


y  -  y1 = m(x  -  x1)


Ejemplos 

1-- Hallar la pendiente, el ángulo de inclinación. la ecuación y la gráfica de una recta que pasa por los puntos P1(0,1) y P2(1,2).


Usando la expresión que permite calcular la pendiente tenemos que la pendiente de esta recta es:


Ya sabiendo que la pendiente es m = 1, el ángulo de inclinación de la recta es entonces:


θ = arctan(1) = 45º


Para obtener este ángulo en una calculadora electrónica presione la tecla segunda o inversa y luego la tecla tangente y luego la tecla uno(1).


La ecuación de la recta es entonces :


La gráfica de la recta y-x-1=0 es :


2-- Hallar el ángulo de inclinación, la ecuación de la recta y la gráfica dado el punto P(0,2) y la pendiente m = 2


El ángulo de inclinación dada la pendiente es 

θ = arctan(m)

θ = arctan(2) = 63.4º

Para el propósito de hallar la ecuación de la recta tomamos la ecuación punto pendiente de una recta y - y1 = m(x - x1) y sustituimos el punto dado y la pendiente m.

y - 2 = 2(x - 0)

y - 2 = 2x

y -2 + 2 = 2x + 2

y = 2x + 2

y - 2x - 2 = 0

Y la ecuación de la recta es y-2x-2=0.

La gráfica de la recta cuya pendiente es m= 2 y pasa por el punto
P(0,2) es :


jueves, 18 de junio de 2015

Solución de una ecuación logaritmica

¿Qué es una ecuación logarítmica?

Es aquella en donde la variable está o se encuentra sometida a la operación logaritmo.


Ejemplo de ecuaciones logarítmicas.


log(x2) = log(100)


log2 (x + 2) =log(6)


log(z3) = log(64)


log(x-2) = 2


Paso para resolver una ecuación logarítmica:


1-- Para resolver una ecuación logarítmica reunimos todos los términos de la ecuación que se encuentren sometidos a la operación de logaritmo en un miembro o lado de la igualdad, luego pasamos a simplificar si fuere necesario las expresiones logarítmicas con las propiedades de un logaritmo.


2-- Luego de hecho el paso uno pasamos a expresar la expresión a una expresión exponencial que sea equivalente.


3-- Pasamos a despejar la variable en la ecuación resultante de los pasos 1 y 2.


Ejemplos


Primero reunimos los términos sometidos a la operación de logaritmo en el lado izquierdo quedándonos la expresión anterior así.


Ahora procedemos a aplicar la propiedad de un logaritmo para el cociente de dos cantidades, por lo que la diferencia de los logaritmos en la expresión anterior es:

 .
Ahora buscamos la expresión exponencial que sea equivalente a la anterior.

Ahora pasamos a despejar la variable x en la ecuación lineal anterior para esto multiplicamos por 100 ambos lados de la ecuación y simplificamos la potencia 100 que es igual a uno.

Como se puede observar en el despeje anterior la variable x es igual a 97, para confirmar que el resultado es correcto pasamos a sustituir el valor de la variable obtenida en la ecuación original.

log(x + 3) = log(100)


log(97 + 3) = log(100)


log(100) = log(100)


Después de ver que efectivamente x = 97, no queda duda de que este resultado es verdadero.


Ejemplo 2


log(w + 4) = 3


Como ya la expresión que contiene logaritmo está aislada de la expresión numérica que no contiene logaritmo simplemente pasamos a aplicar el paso 2, buscando una expresión exponencial que sea equivalente a la expresión anterior.


w + 4 = 103


Ahora pasamos a simplificar la potencia 103 que es igual a 1000 y luego proseguimos despejando la variable w.


w + 4 = 1000

w + 4 - 4 = 1000 - 4


w = 1000 - 4


w = 996


Como se puede observar el valor de la variable w es 996, para verificar este resultado pasamos a sustituir este valor en la ecuación logarítmica original.


log(w + 4) = 3


log(996 + 4) = 3


log(1000) = 3


log(103) = 3


Aplicando la propiedad de un logaritmo para una potencia es 


3 log 10 = 3


Que es igual a


3 log10 10 = 3


Como el logaritmo de la base de un sistema de logaritmo es igual a 1 (logc c = 1), vamos a tener.


3(1) = 3


3 = 3 


De la verificación anterior no nos queda ninguna duda de que 
w = 996 es la respuesta correcta.

Vea también
Funciones logarítmicas
Propiedades de un logaritmo
Logaritmo y sus sistemas conocidos

miércoles, 17 de junio de 2015

Resolución de una ecuación exponencial

¿Qué es una ecuación exponencial?

Es aquella ecuación que tiene la variable independiente en el exponente y la base es diferente de cero y uno.


Ejemplos de ecuaciones exponenciales.


2e(2x) = 16


3(x - 1) = 27


2x2 = 16


5t = 125


A la hora de resolver una ecuación exponencial se usan dos métodos.


Método usando logaritmo.


Pasos a dar para resolver una ecuación exponencial con este método.



1-- Ponemos los dos miembros de la igualdad en un misma base.


2-- Aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad, este logaritmo debe estar en la misma base que tiene la variable independiente.


3-- Solucionamos la ecuación despejando la variable independiente.


Ejemplo:


3(x-1) = 27


Aplicando el paso uno procedemos a colocar ambos lados de la igualdad buscando una misma base.


3(x-1) = 33


Pasamos a aplicar el paso 2), pasamos a aplicar logaritmo en base 3 a ambos lados de la igualdad.


log3 3(x-1) = log3 33


Ahora aplicamos la propiedad de la potencia para logaritmo quedándonos entonces.


(x-1)log3 3 = 3log3 3


Como el logaritmo de la base de un sistema de logaritmo es siempre igual a uno (loga a = 1) la expresión resultante es :


x-1 = 3


Por último aplicando el último paso pasamos a despejar la variable x.


x - 1 + 1 = 3 + 1


x = 4


Para saber si el resultado es el correcto sustituimos el valor de x encontrado en la ecuación exponencial original y si se cumple la igualdad entonces el resultado es el correcto.


3(x - 1) = 27


3(4 - 1) = 27


33 = 27


3·3·3 = 27


Como se puede ver el procedimiento anterior no deja lugar a dudas acerca de que x = 4 es el resultado correcto.


Método de igualación de dos términos algebraicos.


Nota : este método funciona muy bien si cada miembro de la igualdad se puede expresar en la misma base.


1-- Expresamos ambos lados de la igualdad en la misma base.


2-- Partiendo de la definición de dos términos iguales que establece que : si dos términos son iguales tienen iguales sus coeficientes e iguales sus bases y iguales sus exponentes entonces estos dos términos son iguales.


mxa = nyb

m = n , x = y  ,  a = b


3-- Igualamos los exponentes de cada miembro de la igualdad y despejamos la variable independiente
Ejemplo:


2(y - 2) = 16


Primeros expresamos ambos lados de la igualdad en una misma base 


2(y-2) = 24


Aplicando el segundo paso vemos que  2 = 2 y que 

entonces para que ambos términos sean iguales debe cumplirse que

y - 2 = 4


Ahora por último despejamos la variable (y) en la ecuación lineal resultante.


y - 2 = 4


y - 2 + 2 = 4 + 2


y = 4 + 2


y = 6


Para confirmar que el resultado es verdadero procedemos a sustituir el valor de la variable en la ecuación exponencial original.


2(y-2) = 16


2(6-2) = 16


2(4) = 16


El resultado anterior nos verifica que y = 6 es el resultado correcto.


Vea también

Funciones exponenciales