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domingo, 21 de junio de 2015

Ecuación de la circunferencia

La circunferencia es una de las líneas más famosa en la geometría clásica, geometría analítica y las matemáticas generales por lo que en este articulo prestaremos una especial atención a la parte analítica de una circunferencia.


Definición de circunferencia:

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se mantiene siempre a una misma distancia de un punto fijo en el plano.

La circunferencia cuyo centro es el punto (h , k) y cuyo radio es la constante r, tiene como ecuación.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Veamos como podemos demostrar el teorema anterior, sea G(x , y) un punto cualquiera de una circunferencia cuyo centro es C(h , k) y radio r. Entonces el punto G debe satisfacer la definición de circunferencia bajo la condición geométrica .

Utilizando la fórmula que nos permite obtener la distancia entre dos puntos cualquiera en el plano calculamos la distancia entre G(x , y) y C(h , k) de donde obtenemos.

De donde si elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad anterior vamos a obtener la expresión o ecuación que representa una circunferencia.

De esta forma queda demostrado que:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 

Es la ecuación que representa el lugar geométrico conocido como circunferencia .

La ecuación de la circunferencia para el caso en que 
h = 0 y k = 0 es decir C(h,k) = C(0,0) es :

x2 + y2 = r2

La gráfica representativas de esta ecuación se verían así.

Ejemplo de un problema con la ecuación de una circunferencia.

Las rectas l1 y l2 están representadas 
por (x + y - 7 = 0) y (y - x -1 = 0) respectivamente y se cortan o interceptan justo en el centro de una circunferencia cuyo radio es r = 4. Hallar la ecuación de la circunferencia que cumple con estas condiciones .

Solución:
Lo primero que haremos será ilustrarnos con un gráfico que muestre la situación en la que se da el problema, para trazar la circunferencia de manera manual simplemente tomamos una abertura del compás equivalente a la distancia representativa del radio y luego apoyamos nuestro compás en el punto que representa el centro de la circunferencia y trazamos nuestra circunferencia.

Segundo procedemos de manera analítica a encontrar la solución de l1 y l2 cuyo resultado representaría la coordenada del centro C de la circunferencia cuyo radio es 
r = 4, para ver como solucionar dos ecuaciones cuyas variables son (x)  y (y) le sugiero ver el articulo solución de un sistema de ecuaciones con el método de reducción.
Las ecuaciones del problema representan el sistema de ecuaciones siguiente. 

El resultado de solucionar el sistema de ecuaciones anterior es [x = 3] y [y = 4]  donde h = 3 y k =4, este punto corresponde a la coordenada del centro de la circunferencia C(3 , 4), por lo que conociendo la coordenada del centro y el radio de la circunferencia con esto dos datos es más que suficiente para determinar la ecuación que representa esta circunferencia con estas características.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Entonces la ecuación buscada es:

(x - 3)2 + (y - 4)2 = 42

(x - 3)2 + (y - 4)2 = 16