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viernes, 19 de junio de 2015

Ecuación de la recta y sus particularidades

La ecuación de la recta está definida en geometría analítica y en las matemáticas generales con la expresión matemática.

Ax  +  By  +  C  =  0


La gráfica de una ecuación o expresión como la anterior siempre representa una línea recta.


Pendiente de una recta

La pendiente de una recta está definida como el cociente de las ordenadas de dos puntos de la recta entre las abcisas de dos puntos de la recta.


Sea P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tal como se puede observar en la gráfica anterior entonces la pendiente de la recta que nombraremos con la letra m será:

Si la tangente del ángulo de inclinación es :


Entonces el ángulo de inclinación de una recta es:


Ecuación de la recta dados dos de sus puntos:

Sea P1(x1,y1) y P2(x2,y2) entonces de la definición de pendiente tenemos que:


Si generalizamos la expresión anterior para cualquier punto es decir P(x , y) = P2(x2 , y2) la expresión resultante es :


Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente


En la ecuación anterior sustituimos la expresión de la pendiente por m quedándonos la expresión anterior así:


y  -  y1 = m(x  -  x1)


Ejemplos 

1-- Hallar la pendiente, el ángulo de inclinación. la ecuación y la gráfica de una recta que pasa por los puntos P1(0,1) y P2(1,2).


Usando la expresión que permite calcular la pendiente tenemos que la pendiente de esta recta es:


Ya sabiendo que la pendiente es m = 1, el ángulo de inclinación de la recta es entonces:


θ = arctan(1) = 45º


Para obtener este ángulo en una calculadora electrónica presione la tecla segunda o inversa y luego la tecla tangente y luego la tecla uno(1).


La ecuación de la recta es entonces :


La gráfica de la recta y-x-1=0 es :


2-- Hallar el ángulo de inclinación, la ecuación de la recta y la gráfica dado el punto P(0,2) y la pendiente m = 2


El ángulo de inclinación dada la pendiente es 

θ = arctan(m)

θ = arctan(2) = 63.4º

Para el propósito de hallar la ecuación de la recta tomamos la ecuación punto pendiente de una recta y - y1 = m(x - x1) y sustituimos el punto dado y la pendiente m.

y - 2 = 2(x - 0)

y - 2 = 2x

y -2 + 2 = 2x + 2

y = 2x + 2

y - 2x - 2 = 0

Y la ecuación de la recta es y-2x-2=0.

La gráfica de la recta cuya pendiente es m= 2 y pasa por el punto
P(0,2) es :


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