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sábado, 27 de junio de 2015

Máximo común divisor (M.C.D)

En este articulo vamos a estar analizando como obtener el máximo común divisor en varias expresiones numéricas y algebraicas .

El máximo común divisor(M.C.D) es la expresión numérica o algebraica mayor que divide varias expresiones algebraicas o numéricas de manera exacta, es decir el residuo de esta división debe ser cero.



Pasos para obtener el máximo común divisor(M.C.D) de varias expresiones algebraicas o numéricas.


1**  Lo primero que haremos es descomponer cada expresión en sus factores primos.


2**  El máximo común divisor(M.C.D) son todos los factores comunes a cada una de las expresiones dadas con su menor exponente.


Veamos varios ejemplos de como obtener el máximo común divisor de varias expresiones numéricas.


1-- 10 , 30 , 125


Aplicando el primer paso descomponemos cada expresión numérica en su factores primos.


10 = 2 · 5

30 = 2 · 15 = 2 · 3 · 5
125 = 5 · 5 · 5 = 53

El máximo común divisor(M.C.D) es según el segundo paso, el factor común con su mínimo exponente y como se puede observar el factor común es 5 y su menor exponente es 1 por tanto el máximo común divisor (M.C.D) es 5.


2--  25 , 45 , 100 , 225


Primero aplicando el primer paso descomponemos cada expresión numérica en sus factores primos.


25 = 5 · 5 = 52

45 = 3 · 15 = 3 · 3 · 5= 32 · 5
100 = 4 · 25 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52
225 = 5 · 45 = 5 · 3 · 15 = 5 · 3 · 3 · 5 = 52 · 32

Aplicando el segundo paso buscamos el factor común con su mínimo exponente y como se puede observar el factor común con su mínimo exponente es 5, por tanto el máximo común divisor(M.C.D) es 5.


Veamos varios ejemplos de como obtener el máximo común divisor de expresiones algebraicas.


1-- 30 a2b , 40ab


Aplicando el primer paso procedemos a obtener los factores primos de las expresiones algebraicas de manera individual.


30a2b = 2 · 3 · 5a2b

40ab = 23 · 5ab

Aplicando el paso dos se puede observar que el factor común con su mínimo exponente es 2 · 5ab = 10ab, es decir el M.C.D es 10ab.


2-- 10x2y3 z , 5xyz2 , 15xy2


Aplicando el primer paso pasamos a obtener los factores primos de cada expresión algebraica.


10x2y3z = 2 · 5x2y3z

5xyz2 = 5xyz2
15xy2 = 3 · 5xy2

Aplicando el paso dos, el factor común con su mínimo exponente es 5xy, por tanto el máximo común divisor (M.C.D) es 5xy.


3--  20 a2b2 c3 , 25a3b4, 35a2


Aplicando el primer paso procedemos a obtener los factores primos de cada una de las expresiones algebraicas.


20a2b2c3 = 22 · 5a2b2c3 

25a3b4 = 52a3b4
35a2 = 5 · 7a2

Aplicando el paso dos pasamos a buscar el factor común con su mínimo exponente de las tres expresiones algebraicas que es 

5a2, por tanto el máximo común divisor (M.C.D) es 5a2 .

Veamos como obtener el máximo común divisor(M.C.D) en polinomios.


1-- 2x3 + 2x2 , x2 + x


Aplicamos el primer paso pasamos a descomponer o factorizar las expresiones polinómicas dadas.


2x3 + 2x2 = 2x2(x + 1)

x2 + x = x(x + 1)

De las descomposiciones o factorizaciones anteriores se puede observar que el factor común con su mínimo exponente es 

(x + 1), por consiguiente el máximos común divisor(M.C.D) de las expresiones polinómicas anteriores es (x + 1).

2-- a3 - 1 , a2 - 1 , a2 -2a + 1


Aplicando el primer paso procedemos a factorizar cada expresión polinómica dada .


a3 - 1 = (a - 1)(a2 + a + 1)

a2 - 1 = (a - 1)(a + 1)
a2 - 2a + 1 = (a - 1)2

A la distancia se puede ver que el factor común con su mínimo exponente es (a - 1) , por lo que el máximo común divisor de las expresiones polinómicas anteriores es (a - 1).


3--  y2 - b2 , y3 + by2 , y3 + b3


Aplicando el primer paso pasamos a descomponer o a factorizar las expresiones algebraicas dadas.


y2 - b2 = (y - b)(y + b)

y3 + by2 = y2(y + b)
y3 + b3 = (y + b)(y2 - by + b2)

Como se puede ver el factor común con su mínimo exponente es

(y + b), por consiguiente el máximo común divisor en las tres expresiones polinómicas dadas es (y + b).

Vea también

Factorización
Productos notables
Cocientes notables

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