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lunes, 29 de junio de 2015

Mínimo común múltiplo (M.C.M)

Este post muestra la manera de obtener el mínimo común múltiplo de varias expresiones numéricas y algebraicas.

El mínimo común múltiplo es la menor expresión numérica y algebraica que es divisible por cada una de las expresiones numéricas y algebraicas dadas.


Pasos para obtener el mínimo común múltiplo (M.C.M) en varias expresiones numéricas y algebraicas.


1::::  Procedemos a descomponer cada expresión dada en sus factores primos.


2::::  El mínimo común múltiplo (M.C.M) es la multiplicación o producto de todos los factores comunes y no comunes de la expresiones dadas, con su mayor exponente.


Veamos alguno ejercicios que muestran como obtener el mínimo común múltiplo en varias expresiones numéricas.


1- 10 , 15 , 35


Aplicando el paso uno pasamos a descomponer cada expresión numérica en sus factores primos.


10 = 2 · 5

15 = 3 · 5
35 = 5 · 7

Ahora pasamos a aplicar el paso dos y buscamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, y como se puede observar estos factores son 2 · 3 · 5 · 7, por consiguiente el mínimo común múltiplo es entonces la multiplicación de estos factores ques es igual 210 .


2- 5 , 20 , 200


Primero descomponemos cada número en sus factores primos.


5 = 5

20 = 2 · 2 · 5 = 22 · 5
200 = 100 · 2 = 4 · 25 · 2 = 23 · 52

Tomamos los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes son 23 , 52, por tanto el mínimo común múltiplo (M.C.M) es el producto de estos factores 23 · 52

que es igual a 200.

3- 100 , 800 , 500


Pasamos a descomponer cada número en sus factores primos.


100 = 22 · 52

800 = 25 · 52
500 = 22 · 53

Ahora pasamos a tomar los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes que para este caso son 25 , 53, por tanto el mínimo común múltiplo (M.C.M) es entonces el producto de 

25 · 53 que es igual a 4000.

Veamos alguno ejercicios que muestran como obtener el mínimo común múltiplo en varias expresiones algebraicas.


1- a3 - b3 , (a - b)2 , a - c


Pasamos a descomponer en sus factores cada una de la expresiones dadas para esto vamos a factorizar aquellas expresiones que sean factorizables.


a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

(a - b)2 = (a - b)2
(a - c) = a - c

Ahora tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente que en este caso son (a - b)2(a - c)(a2 + ab + b2),

por lo que el mínimo común múltiplo (M.C.M) es 
(a - c)(a - b)2(a2 + ab + b2).

2- x2 + 5x + 6,  x2 - 9 , x2 + 2x


Procedemos a factorizar cada una de las expresiones algebraicas dadas.


x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
x2 + 2x = x(x + 2)

Buscamos ahora los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes que van a ser x, x + 2, x - 3, x + 3, por tanto el mínimo común múltiplo en estas expresiones algebraicas es el producto de cada uno de estos factores es decir

x(x + 2)(x - 3)(x + 3)  y que haciendo algunas simplificaciones nos queda así  x(x + 2) (x2 - 9).

3- m2 - 5m - 6 , (m - 1)3 , (m + 6)


Procedemos a factorizar cada una de las expresiones dadas que puedan ser factorizadas.


m2 - 5m - 6 = (m - 1)(m + 6)

(m - 1)3 = (m - 1)3
m + 6 = m+ 6

Pasamos a obtener los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes que como se puede observar son 

(m - 1)3 , m + 6, por consiguiente el mínimo común múltiplo (M.C.M) es entonces (m - 1)3 · (m + 6).

Vea también

Máximo común divisor (M.C.D)
Factorización
Productos notables
Cocientes notables

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