Medida y suma de los ángulos interiores de un polígono regular - Matemática y Física

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jueves, 27 de agosto de 2015

Medida y suma de los ángulos interiores de un polígono regular

En este artículo vamos a estar viendo como se deduce la fórmula que permite obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono regular y aquella fórmula que permite obtener la medida de uno de sus ángulos internos.

Medida de un ángulo interno de un polígono regular

Lo primero que debemos decir es que en un polígono regular los ángulos internos miden lo mismo y lo que medirá un ángulo dependerá de la cantidad de lados n que tenga el polígono regular, para deducir una fórmula que permita calcular la medida de un ángulo interno de un polígono regular construiremos un circulo, luego para inscribir un polígono regular, a partir del segmento que representa el radio del circulo medimos un ángulo equivalente a 360º/n, luego  tomamos una abertura de un compás igual a la del arco formado por los dos segmentos de rectas o rayos que forman el ángulo, por último colocamos el compás en las intersecciones de estos rayos y a parir de ahí movemos nuestro compás para intersectarlo con la circunferencia y se nos formarán la misma cantidad de intersecciones como lado tenga el polígono regular tal como se puede ver en la figura. 
Como se puede ver el circulo se nos divide en tres partes con tres ángulos que miden 120º, como la suma de los ángulo internos en un triángulo es 180º como los subtriángulos son triángulos isósceles con un ángulo que mide 120º entonces un ángulo interno del triángulo inscrito es 
(180º - 120º) , esto lo podemos generalizar sabiendo que 360º/n representa uno de los ángulos interiores de los subtriángulos isósceles que forman un lado del polígono y dos de sus radios por lo que el ángulo interno en cualquier polígono regular lo podemos deducir así.

Como se pudo ver en la deducción anterior la medida de un ángulo interno de un ángulo interno de cualquier polígono regular es.

Ejemplo 1
¿Cuánto mide un ángulo interno de un equilátero como el que se muestra en la figura?

Solución:
Como se puede ver un equilátero es un polígono regular con n=3 es decir tiene 3 lados, sustituimos este único dato en la fórmula que nos permite calcular el ángulo interno de un polígono regular y vamos a tener.

Y como era de esperarse en un triángulo equilátero los ángulos internos miden 60º y su suma es 3(60º)=180º.

Ejemplo2
¿Cuánto mide un ángulo interno de un cuadrado?

Solución:
Como se puede ver en la figura un cuadrado tiene 4 lados es decir n=4, con este dato ya podemos averiguar cuánto mide un ángulo interno de un cuadrado.

Y como era de esperarse los ángulos internos de un cuadrado miden 90º, por lo que su suma es 4(90º)=360º.

Ejemplo 3
¿Cuánto mide un ángulo interno de un pentágono regular?

Solución:
Un pentágono tiene 5 lados, sustituyendo este dato en la fórmula para calcular el ángulo interno de un polígono vamos a tener que.

Y un ángulo interno de un polígono regular  es 108º y su suma es 5(108º)=540º.

Suma de los ángulos interiores de un polígono regular

Como se pudo ver en los ejercicios anteriores la suma de los ángulos internos de un polígono regular de 3 lados osea un equilátero es la medida de uno de sus ángulos internos multiplicada por el número de lados 3  es decir 3(60º)=180º, la suma de los ángulos interiores de un polígono de 4 lados osea un cuadrado es la medida de uno de sus ángulos internos multiplicada por el número de lados 4 es decir 4(90º)=360º, la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular es la multiplicación de la medida de uno de sus ángulos internos por el número de lados que en un pentágono es 5 osea 5(108º)=540º.
Todo lo anterior lo podemos generalizar a cualquier polígono regular de cualquier n cantidad de lados como se muestra a continuación.

Y como se puede ver de lo anterior la suma de los ángulos internos de un polígono regular es.

Ejemplo1
¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un hexágono regular como el de la figura?

Solución:
Como el problema habla de un hexágono regular, el número de lados n es 6, asi que con este dato vamos a averiguar la suma de los ángulos interiores de un hexágono regular, sustituyendo este dato en la fórmula que permite hacer este cálculo.

Ejemplo 2
Si la suma de los ángulos internos de un polígono regular es 900º¿Cuánto lados tiene este polígono regular y cómo se clasifica?
Solución:
El problema habla de la suma de los ángulos internos de un polígono regular por lo que usaremos la fórmula que nos permite hacer esto y luego sustituiremos el dato que nos da el problema y despejaremos n que representa el número de lados de este polígono y que nos permitirá saber como se clasifica este polígono regular.

Como se puede ver n=7 y el polígono se puede clasificar como un heptágono regular.

Problema propuestos
1- Si un ángulo interno de un polígono regular es 128.571¿Cuál es el valor de n en este polígono regular y como se clasifica este polígono?
2- ¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un polígono regular si este polígono cuenta con 10 lados?
3- ¿Cuánto mide un ángulo interno de un polígono regular si este tiene 20 lados?
4-Si la suma de los ángulos internos de un polígono regular es 5040º ¿Cuánto  lados tiene este polígono regular y cuánto mide un ángulo interno de este polígono?
5- Si el perímetro cuyo lado mide 5cm es 100cm a) ¿Cuánto mide un ángulo interno de este polígono regular?
b) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de este polígono regular?

Vea también
Perímetro y área de un polígono regular
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Áreas plana

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