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lunes, 31 de agosto de 2015

Número de diagonales de un polígono regular

En este post vamos a ver como se deduce una fórmula que nos permita obtener o saber fácilmente el número de diagonales con que cuenta un polígono regular en particular, también veremos algunos ejemplos que nos ilustrarán la forma de resolver ciertos problemas relacionados con este tema.

En el mundo de las matemáticas muchas fórmula son el producto de analizar ciertos patrones y de modelar matemáticamente estos patrones o secuencias, en el caso de la fórmula que permite calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular con n lados, surge del análisis de una secuencia o patrón que en matemática se conoce como una progresión aritmética, vamos a ver el patrón que surge cuándo contamos la cantidad total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular en donde cada diagonal debe se contada una sola vez.

En la figura se puede observar el patrón numérico que se da cuando contamos el número de diagonales de un polígono regular de n lados.
2,5,9,14,20,....
Entre las observaciones que debemos hacer a este patrón es:
2=2
5=2+3
9=2+3+4
14=2+3+4+5
20=2+3+4+5+6
Como se puede observar cada enésimo término de este patrón es igual a la suma del enésimo término de la progresión aritmética.

2,3,4,5,6,7,8,9,10......

Y este patrón lo podemos modelar matemáticamente usando la fórmula que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética como se muestra a continuación

Como se puede observar la fórmula que modela la suma de los enésimos términos de la progresión aritmética 2,3,4,5,6,7,8,9... es

Esta fórmula modela cada término de el patrón que se obtiene al contar el número de diagonales de un polígono regular pero aún le falta un pequeño detalle y es que n debe representar desde el polígono con menor números de diagonales que es el cuadrado con n=4 hasta cualquier polígono regular con cualquier n cantidad de lados , debemos modelar n de modo que
n=(4-3),(5-3),(6-3),(7-3),...,(n-3)=1,2,3,4,...n , esto significa que la n de la fórmula la vamos a sustituir por n-3, ¿porqué n-3? por que queremos que cuando el polígono regular tenga 3 lados las fórmula nos arroje cero, que es la cantidad de diagonales de un triángulo regular, por lo que haciendo esta sustitución la fórmula nos queda así:

Y la fórmula que permite obtener el número de diagonales que se pueden trazar desde un polígono regular  de n lados es.

En esta fórmula D representa el total de diagonales que se puede trazar en un polígono regular cualquiera y n representa la cantidad de lados de cualquier polígono regular.

Ejemplo 1
¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono con n = 3?

Solución:
El ejercicio dice que n es igual a 3 con este único dato podemos determinar el número de diagonales de este polígono 

Y como era de esperarse desde un triángulo no se puede trazar una sola diagonal.

Ejemplo 2
¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un heptágono regular?

Solución:
Un heptágono regular tiene 7 lados por tanto n=7, sustituyendo este dato en la fórmula vamos a tener.

Y en un heptágono regular se pueden trazar 14 diagonales.

Ejemplo 3
¿Cuánto lados tiene un polígono regular si se sabe que desde este se pueden trazar 4850 diagonales?

Solución:
Usando la fórmula que nos permite averiguar el número de diagonales que se pueden trazar desde un polígono regular sustituimos el único dato que nos da el ejercicio D=4850 y pasamos a despejar el valor de n, tal como se muestra a continuación.

Y la solución de la ecuación cuadrática 
n2 -3n -9700=0 es n=100 y n=-97 , descartamos el valor negativo y entonces el polígono regular desde el cual se pueden trazar 4850 diagonales tiene 100 lados.

Problema propuestos
1- ¿Cuál es el número D de diagonales que se pueden trazar desde un poligono con n = 10 ?
2- ¿Cuál es el número D de diagonales que se pueden trazar desde un poligono con n = 30 ?
3- ¿Cuál es el número D de diagonales que se pueden trazar desde un poligono con n = 5 ?
4- ¿Cuál es el número D de diagonales que se pueden trazar desde un poligono con n = 200 ?
5- ¿Cuánto lados tiene un polígono regular si se sabe que desde este se pueden trazar 44550 diagonales?
6- ¿Cuánto lados tiene y cómo se clasifica un polígono regular si se sabe que desde este se pueden trazar 20 diagonales?

Vea también
Perímetro y área de un polígono regular
Medida y suma de los ángulos internos de un polígono regular
Áreas planas
Progresiones aritmética

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