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sábado, 8 de agosto de 2015

Perímetro y área de un polígono regular

Lo primero que debemos decir es que un polígono regular es una figura geométrica plana en la que todos los lados y ángulos internos son iguales es decir los lados tienen una misma medida y los ángulos internos también tienen una misma medida.
En este post deduciremos una fórmula que nos permitirá calcular fácilmente el perímetro y el área de un polígono regular y trabajaremos con algunos ejemplos que nos permitirán ilustrarnos acerca de como obtener el perímetro y el área de un polígono regular.

Perímetro de un polígono regular



Los polígonos regulares se clasifican según el número de lado n que contienen, en triángulo equilátero (3 lados), cuadrado(4 lados), pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), heptágono (7 lados), (octágono (8 lados) y así sucesivamente.
Un triángulo equilátero cuenta con tres lados iguales por tanto su perímetro es la suma de los tres lados, si estos lados miden L unidades el perímetro será 3L.

P = 3L

Un cuadrado cuenta con 4 lados que miden lo mismo, si estos lados miden L unidades el perímetro del cuadrado será 4L.

P = 4L

Un pentágono tiene 5 lados que tienen igual medida, si estos lados miden L unidades el perímetro del pentágono será 5L.

P = 5L

Un hexágono tiene 6 lados  y estos miden lo mismo, si estos lados miden L unidades el perímetro será 6L.

P = 6L

Y si continuamos el mismo proceso nos daremos cuenta de que el perímetro de cualquier polígono regular es igual al numero n de lados que tiene el polígono multiplicado por la medida L de uno de sus lados,matemáticamente esto se expresa así:

P = nL

Ejemplo
Hallar el perímetro de los polígonos mostrados en la figura si cada uno tiene por lado L = 4cm .

Solución:
La figura a) es un triángulo equilátero y el número de lados n  es 3, es decir n = 3 y como uno de sus lados mide 4cm, es decir
L = 4cm usando la fórmula P = nL, el perímetro será.
n = 3
L = 4cm
P = nL = 3(4cm) = 12cm
P = 12cm

La figura b) es un cuadrado y el número de lados n es 4, es decir
n = 4 y uno de sus lados mide 4cm sustituyendo estos datos en la fórmula que nos permite calcular el perímetro en un polígono regular tenemos que :
n = 4
L = 4cm
P = nL = 4(4cm) = 16cm
P = 16cm


La figura c) es un pentágono cuyo número de lados n es 5, es decir
n = 5 y uno de este mide 4cm, con estos datos y la fórmula que nos permite hallar el perímetro de un polígono regular tenemos entonces:
n = 5
L = 4cm
P = nL = 5(4cm) = 20cm
P = 20cm

La figura geométrica en la parte d) es un hexágono regular cuyo número de lados es 6, es decir n = 6 y la medida de uno de sus lados es 4cm, usando estos datos en combinación de la fórmula para hallar el perímetro de un polígono regular tenemos que :
n = 6
L = 4cm
P = nL = 6(4cm) = 24cm
P = 24cm

Área de un polígono regular

Para hallar una fórmula que nos permita calcular el área de un polígono regular nos guiaremos de las representaciones geométricas de los diferentes polígonos regulares cada uno de estos polígonos segmentados en el polígono que tiene menos lados que es el triángulo es decir para encontrar el área de un polígono regular dividiremos este polígono en sub-áreas representadas por triángulos con la misma base (L) y la misma altura que es conocida como el apotema (h=a) que por definición es el segmento de recta perpendicular a un lado del polígono que va desde la parte media de ese lado del polígono hasta el centro del polígono que se forma al trazar como mínimo dos segmentos de recta desde dos lados del polígono, el punto de intersección de estos segmentos de rectas es el centro del polígono  , y el área del polígono será la sumatorias de estas sub-áreas triangulares.
En las figuras se puede observar como se puede obtener el centro de un polígono, trazando como mínimo dos segmentos de rectas desde la parte media de dos de los lados del polígono regular el punto donde se interceptan estos segmentos es el centro del polígono, entonces desde el centro del polígono trazamos segmentos de rectas dirigidos hacia los vértices del polígono y en este proceso el polígono se dividirá en tantos triángulos como lados tiene el polígono es decir si el polígono tiene 3 lados se dividirá en 3 triángulos, si tiene 4 lados se dividirá en 4 triángulos, si tiene 5 lados se dividirá en 5 triángulos y así sucesivamente.Por lo que el área del triángulo equilatero será la sumatoria de los tres sub-triángulos que lo conforman y como ya sabemos el área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura divididos entre dos (bxh)/2, como la base es igual a 
b = L y la altura es igual a h = a el área de un polígono regular de 3 lados es decir el área de un equilatero es.

Como se puede ver el área del equilatero es igual a 3 que es la cantidad de lados n que tiene un triángulo multiplicado por el área de uno de los sub-triángulos en que se divide el equilatero. 

Un cuadrado tiene 4 lados y por tanto lo sub-dividiremos en 4 triángulos como se puede observar en la figura.

El área de este cuadrado es la sumatorias de los 4 sub-triángulos que lo conforman, como h = a y b = h, el área de este polígono regular es :

También podemos observar que el área del cuadrado es igual a 4 el número de lados n del cuadrado multiplicado por el área de uno de los sub-triángulo en que se divide el cuadrado.

Un pentágono tiene 5 lados por lo que lo dividiremos en 5 triángulos con base  igual a (L) y altura igual a (a) como se puede observar en la figura .

El área de este pentágono es igual a la sumatoria de los 5 sub-triángulos en los que hemos dividido el área del pentágono, como 
h = a y b = L el área de este polígono regular va a ser:

Como se puede ver el área de un pentágono es igual a 5 multiplicado por el área de uno de los sub-triángulos en que se dividió el pentágono. 
En base a la observaciones que hemos vistos hasta ahora podemos concluir que el área de cualquier polígono regular es igual al número de lados del polígono multiplicado área de uno de uno de los n sub-triángulos en que se divide el polígono regular :
Si conocemos el apotema (a), la longitud L  y el número de lados n de un polígono regular su área expresada matemáticamente es:

Como el perímetro de un polígono regular es P = nL , la expresión para calcular el área de un polígono regular la podemos reescribir así:

Donde (p) representa el perímetro del polígono regular y (a) conocida como el apotema representa la distancia del segmento de recta que va desde el punto medio de un lado cualquiera del polígono regular a el centro del polígono.

Ejemplo 1
Hallar el área de un hexágono regular como el que se muestra en la figura que tiene por lado 5cm y cuya apotema es 4.33cm.

Solución:
El problema establece que se trata de un hexágono regular por lo que implícitamente nos dice que el polígono cuenta con 6 lados es decir n = 6 y como el área de un polígono regular es el producto del perímetro y el apotema dividido entre dos, lo primero que haremos es buscar el perímetro del hexágono que no es más que el producto de la longitud de un lado y el número de lados del polígono.

n = 6     L = 5cm
P = n·L
P = 6 (5cm) = 30cm
P = 30cm

Ya encontrado el perímetro del hexágono y conociendo que el apotema del hexágono es 4.33cm, procedemos a sustituir estos datos en la fórmula que relaciona el área de un polígono regular con su perímetro y apotema.

Y bueno ya se puede ver que el área de este hexágono regular es 64.95cm2 .

Ejemplo 2
Demostrar que la fórmula para calcular el área de un polígono regular se reduce a L2 cuando se trata de un cuadrado con lado L.

Solución:
Como el polígono regular es un cuadrado sabemos que el perímetro de este polígono es 
P = nL = 4L
Mientras el apotema del cuadrado es igual a la mitad de uno de sus 4 lados (L/2) como se puede ver en la siguiente figura.

Pasamos a sustituir el perímetro del cuadrado 4L y el apotema (L/2) en la fórmula que permite calcular el área de cualquier polígono regular y simplificamos.

Y como se puede observar en los cálculos anteriores queda demostrado que el área de un cuadrado que tiene por lado una medida L es L2

A = L2  {área de un cuadrado}

Ejemplo 3
Si un pentágono tiene 25cm2 y su apotema mide 2cm.¿Cuánto centímetros mide uno de sus lados?

Solución:
El problema establece de entrada que se trata de un pentágono regular, de lo que deducimos que tiene 5 lados y que estos miden exactamente lo mismo.Y con este dato junto con lo demás que nos da el problema podemos calcular el lado del pentágono, Para esto tomaremos la fórmula que nos permite calcular el área de un polígono regular y sustituiremos los datos que nos brinda el problema sabiendo que el perímetro de cualquier polígono regular es igual al número de lados del polígono multiplicado por la medida de uno de sus lado es decir P=n·l .
Lado-de-un-poligono-regular
Lado-de-un-poligono-regular
Así que cada uno de los lados de este pentágono miden 5cm.

Problemas propuestos

1--¿Cuánto centímetros mide un lado de un pentágono si su perímetro es de 25cm?

2-- Un polígono regular tiene 100cm de perímetro y uno de sus lados mide 25cm ¿Cuánto lados tiene este polígono regular y como se le conoce?

3-- Si el área de un polígono regular es 93.528cm2  y el perímetro de este polígono es de 36cm y uno de sus lados mide 6cm ¿Cuál es la longitud del apotema de polígono regular y cómo se llama este polígono regular?

4-- ¿Como se nombra o se conoce el polígono regular que tiene un área de 127.3056cm2  y cuya apotema mide 6.0622cm y uno de sus lados mide 7cm?

5--¿Cuál es el número de lados n que tiene un polígono regular que tiene una área de 769.42cm2 y cuya apotema mide 15.3884cm y uno de sus lados mide 10cm?

Vea también
Medida y suma de los ángulos interiores de un polígono regular
Áreas planas

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