septiembre 2015 - Matemática y Física

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domingo, 27 de septiembre de 2015

Determinación del área de un triángulo,un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas

En este post vamos a observar como se aplican las integrales definidas a la obtención de las áreas geométricas bien conocidas como son el área de un rectángulo, un triángulo y un trapecio utilizando integrales definidas.

Área de un rectángulo usando integrales definidas

Primero nos enfocaremos en la obtención del área de un rectángulo, formamos un rectángulo en los eje de coordenadas xy, tomando el área delimitada por dos valores de x que tomaremos como x1=0 y x2=b y estos dos valores de x interceptarán la gráfica de la función constante y=h, el resultado de esto es que se nos forma un rectángulo cuya base es b y cuya altura es h, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Nota: Si usted está leyendo este artículo es por que usted tiene alguna noción sobre las integrales si no es así haga clic en [Reglas básicas de integración y derivación].

Para resolver el problema de hallar el área entre el eje x y la gráfica y=h que corresponde al rectángulo rojo, tomaremos una integral de la función y=h definida en el intervalo a≤xb y luego procederemos a simplificar nuestra integral definida, todo este proceso se muestra a continuación.

Y como se puede ver en la simplificación anterior el área de un rectángulo cualquiera es igual bxh.

Área de un triángulo usando integrales definidas

Ahora vamos a delimitar los puntos x1=0 y x2=a en la gráfica de la función y=(b/a)x, estos valores de x, la gráfica de la función 
y=(b/a)x  y  y=0 limitan la gráfica de un triángulo cuya base va a ser b=a-0=a y cuya altura va a ser h=b-0=b, este triángulo se puede observar en la siguiente figura.

De manera que el área bajo la gráfica de la función y=(b/a)x,
0≤x≤a y y=0 la podemos hallar integrando la función y=(b/a)x en los límites 0≤x≤a, todo el proceso de representación de esta integral y su simplificación se muestra a continuación.

Y como muestra el proceso de simplificación de esta integral definida, el área de un triángulo cuya base es b  y cuya altura es h

Nota: Para un mejor entendimiento de este artículo le invito a ver el artículo [Ecuación de la recta].

Área de un trapecio usando integrales definidas

Ahora vamos a observar como se puede deducir utilizando integrales definidas el área de un trapecio, este trapecio está formado en materia de puntos por los puntos (0,0) , (a,0) , (a,b) , (0,c), y en materia de funciones este trapecio está conformado por las rectas x=0 , x=a , y =0 , y=[(b-c)/a]x+c,todo esto se puede observar en la siguiente gráfica.

Nuestra integral definida que nos permitirá obtener el área del trapecio que se nos forma tal como se muestra en la figura la definiremos en el intervalo 0≤x≤a, también tomaremos b1=c , b2=b y h=a, estos valores los sustituiremos al final de la simplificación de nuestra integral definida, todo el proceso de simplificación de esta integral definida se muestra a continuación.

Como se pudo ver en la simplificación anterior el área de un trapecio viene dada por:

Nota: Para un mejor entendimiento de este artículo le invito a leer el artículo [Reglas básicas de derivación e integración].

Vea también

lunes, 21 de septiembre de 2015

Multiplicación de decimales

En este post vamos a estar visualizando de manera analítica como multiplicar dos decimales al mismo tiempo que estaremos hablando de manera teórica como multiplicar dos números decimales.

Producto de números decimales

Para multiplicar dos decimales lo primero que hacemos es trasladar el punto decimal a la derecha del último valor entero que conforma nuestro decimal en los dos factores con  el objetivo de que los dos factores a multiplicar sean números enteros.

Luego hacemos nuestra multiplicación y una vez obtenido el valor final de este producto, pasamos a ubicar el punto decimal en el resultado de la multiplicación. Para ubicar el punto decimal en el resultado de la multiplicación sumamos la cantidades de lugares que tuvimos que trasladar el punto decimal en los factores originales de la multiplicación.

Ya sumamos la cantidad de lugares que trasladamos el punto decimal en ambos factores de la multiplicación, entonces a partir del último valor entero ubicado a la derecha que hemos obtenido en la multiplicación empezamos a trasladar el punto decimal a la izquierda tantos lugares como nos de el resultado de la suma de los lugares hacia la derecha que hay después del punto decimal en ambos factores.

Ejemplo 1
Realizar 10.2 x 2.7
Solución:
Trasladamos el punto decimal 10.2 un lugar a la derecha quedándonos como 102. y trasladamos el punto en 2.7 un lugar a la derecha quedándonos como 27. , luego multiplicamos 102. y 27. de manera normal, al resultado le pasamos a ubicar el punto decimal para esto sumamos la cantidad de lugares que corrimos el punto a la derecha en ambos factores y la cantidad que nos de esta suma es exactamente la cantidad de lugares que trasladaremos el punto decimal a la izquierda del último número ubicado a la derecha, todo este proceso se ilustra a continuación

Y como se puede observar el resultado de multiplicar 10.2 y 2.7 es 27.54

Ejemplo 2
Realizar 0.07 x 7.7
Solución:
Al igual que en el ejemplo anterior trasladamos el punto decimal a la derecha en ambos factores y luego sumamos estas cantidades de lugares de ambos factores, los decimales 0.07 y 7.7 después de trasladar el punto decimal a la derecha nos quedan como 7. y 77. , ahora procedemos a multiplicar 7. y 77. de manera normal y al resultado de esta multiplicación procedemos a colocarle el punto decimal tantos lugares a la izquierda como nos de la suma de los lugares que hemos trasladado a la derecha en los números decimales originales 0.07 y 7.7 , todo este proceso se muestra a continuación. 

Y como se puede observar el resultado de multiplicar los números decimales 0.07 y 7.7 es 0.539.

Vea también
División de números decimales
Notación científica

miércoles, 16 de septiembre de 2015

Notación científica y operaciones básicas

En este post vamos a estar hablando de como expresar una cantidad bien pequeña o una cantidad muy grande en notación científica y analizaremos como hacer una suma, resta, multiplicación y división usando notación científica.

La notación científica cobra valor cuando queremos efectuar alguna operación con dos números que son muy pequeños o por el contrario muy grande, y aparte de esto es poco práctico escribir un número que contenga una unidad seguida de 30, 40, 100 ceros, por la cantidad de tiempo que agotaríamos escribiendo, un ejemplo 200000000000000000000000000000 , imagine que esta cantidad la tuviéramos que multiplicar por una cantidad similar tal como 3358000000000000000000000000, esto sería algo bastante tedioso no por la multiplicación sino por la cantidad de números que tendríamos que escribir si esta operación la realizáramos manualmente, en vista de estos inconvenientes la notación científica viene a salvar el día, ya que una cantidad que contiene 29 números si la tuviéramos que escribir tendríamos que escribir esos 29 números, ahora bien usando notación científica esta cantidad se simplificaría en unos cuantos dígitos.
Ejemplo 23000000000000000000000 , esta cantidad expresada en notación científica se reduce a 2.3x1022, y una cantidad como 0.00000000000000000045 se reduce a 4.5x10-19.

Como expresar un número en notación científica

Para expresar un número en notación científica si el número es mayor que la unidad, trasladamos el punto decimal hasta colocarlo después del primer número entero y la cantidad de lugares que recorre el punto hasta este lugar la colocamos como el exponente de la base 10.
Expresar 23000000. en notación científica

Si el número es menor que la unidad trasladamos el punto decimal hacia la derecha hasta colocarlo después del primer número entero y la cantidad de lugares que el punto decimal se traslade a la derecha la colocamos como el exponente pero con un signo negativo.
Ejemplo 
Expresar 0.000000000037 en notación científica.

Suma y resta de números expresados en notación científica

Para suma dos números que están expresados en notación científica debemos asegurarnos que ambos números estén elevado a el mismo exponente y los coeficientes los sumamos o los restamos de manera normal.
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 1
Sumar 2.4x107 y 3.3x107

Solución:
Como el exponente al que está elevada la base 10 en ambos números es 7 simplemente sumamos 2.4 y 3.3, y al resultado le agregamos (x107).

Ejemplo 2
Realizar 3.7x109 - 1.2x109
Solución:
Como el exponente al que está elevada la base 10 en ambos números es 9 simplemente restamos 3.7 y 1.2, y al resultado le agregamos (x109).

Ejemplo 3
Realizar 3.8x1011 + 1.5x1010
Solución:
Para realizar esta suma lo primero que debemos decir es que al igual que en la suma de dos polinomios los términos semejantes se suman con términos semejantes, en el caso de la notación científica los exponentes de los números expresados en notación científica deben estar elevados a los mismos exponentes, en el caso de este ejercicio debemos de expresar uno de los números con exponente 11 con un exponente 10 para que ambos tengan el mismo exponente 10 o uno de los números con exponente 10 expresarlo con un exponente 11 para que ambos tengan el mismo exponente 11, en nuestro caso vamos a expresar el número  3.8x1011 con exponente 10 y luego sumaremos de manera normal.
Para expresar 3.8x1011 con un exponente 10 simplemente trasladamos el punto un lugar a la derecha y le restamos uno al exponente 11-1=10, todo proceso se muestra a continuación.

El resultado es 3.95x1011 depués de haber trasladado el punto un lugar hacia la izquierda en el número 39.5x1010 .
Debemos decir que todo el proceso que se sigue para sumar estos dos números es el mismo que se debe seguir para restar dos números expresados en notación científica cuyos exponentes son diferentes y recordar que cuando el punto se traslada a la derecha el exponente disminuye en la misma cantidad de lugares que el punto decimal se traslada y si el punto se traslada a la izquierda el exponente aumenta en la misma cantidad de lugares que se traslada el punto decimal.

Multiplicación de números expresado en notación científica

Para multiplicar dos números en notación científica simplemente multiplicamos los coeficientes que forman los números, luego copiamos la base y sumamos los exponentes.
Si ax10b es un número en notación científica y cx10d es otro número expresado en notación científica entonces el producto de estos dos números es

(a x 10b) · (c x 10d) = a·c x 10b+d

Ejemplo 1
Realizar (2x1013)(3x108)
Solución:
Lo primero que hacemos es multiplicar los coeficientes de los dos números expresados en notación científica osea 2 y 3, luego copiamos la misma base 10 y sumamos los exponentes 13 y 8.

(2 x 1013) · (3 x 108) = (2)(3) x 1013+8 = 6 x 1021

Y el resultado de multiplicar 2x1013 y 3x108 es entonces 6x1021 .

Ejemplo 2
Multiplicar (1.2x1012) · (1.5x10-3)
Solución:
Multiplicamos primero los coeficiente, luego copiamos la base y sumamos los exponentes 12 y -3.

(1.2 x 1012) · (1.5 x 10-3) = (1.2)(1.5) x 1012+(-3) 

(1.2)(1.5) x 1012+(-3) = 1.8 x 109


(1.2 x 1012) · (1.5 x 10-3) = 1.8 x 109


Y el resultado es 1.8 x 109 .

División de números expresados en notación científica

Para dividir dos números expresados en notación científica, dividimos los coeficientes de los números expresados en notación científica, luego copiamos la base y al exponente del número en notación científica que representa el numerador le restamos el  exponente del número en notación científica que representa el denominador.
Si ax10b es un número que representa el numerador en una división y cx10d es el número que representa el denominador entonces (ax10b) ÷ (cx10d) es :

Ejemplo 1
Realizar (5x1020÷ (2x1011)
Solución:
Dividimos los dos coeficientes correspondientes a los dos números expresados en notación científica, luego copiamos la base 10 y al exponente del numerador le restamos el exponente del denominador todo el proceso se muestra a continuación.

Y el resultado dividir 5x1020 y 2x1011 es 2.5x109

Ejemplo 2
Realizar (6x10-30÷ (3x1012)
Solución:
Pasamos a dividir los coeficientes 6 y 3, luego copiamos la base y restamos los exponentes -30 y 12, esto se muestra a continuación.

Y al efectuar la resta como 30 es negativo y restando 12 en vez de una resta realizamos una suma de números negativos es decir 
-30 - 12 = -42.

Ejemplo 3
Resolver (1.4x108÷ (1.2x10-4)
Solución:
Primero dividimos 1.4 y 1.2 , luego copiamos la base 10 y restamos los exponentes 8 y -4.

Como se puede ver el resultado de restar los exponentes 8 y -4 es 
8 - (-4) = 8 + 4 = 12, esto es así porque la reglas de los signos establece que multiplicar dos números negativos es un número positivo por lo que -(-4) es equivalente a -1·(-4) por lo que el resultado es 4.

Potencia de un número expresado en notación científica
Para elevar un número expresado en notación científica el coeficiente lo elevamos a la potencia indicada y el exponente del número expresado en notación científica lo multiplicamos por el exponente al que está elevado dicho número expresado en notación científica.

Ejemplo 1
Elevar (4x103)2
Solución:
Elevamos el coeficiente 4 a la potencia 2 es decir 42, y el exponente 3 lo multiplicamos por la potencia 2, 3x2=6.

Y el resultado es 16x106
Raíz de un número expresado en notación científica
Para obtener la raíz de un número expresado en notación científica, le extraemos la raíz al coeficiente y el exponente lo dividimos entre el índice n de la raíz.

Ejemplo 1
Obtener la raíz del número

Solución
Le extraemos la raíz cúbica 3, a 27 que es 3, y el exponente 12 lo dividimos entre el indice 3 de la raíz , y esto nos da 4.

Y el resultado es 3x104
Ejemplo 2

Solución
Cuando el índice de la raíz no se marca asumimos que el índice radical es 2, así que primero obtenemos la raíz cuadrada de 25 que es 5, luego dividimos el exponente 10 entre el índice 2, y esto nos da 5.

Y el resultado es 5x105

viernes, 11 de septiembre de 2015

División de números decimales

En este post vamos a analizar como dividir un número decimal entre otro decimal, como dividir un decimal entre un número entero, y como dividir un número entero entre un número decimal

¿Cómo dividir un número decimal entre otro decimal?

Para dividir un número decimal entre otro número decimal, lo primero que hacemos en ambos números decimales es sacar el punto afuera del número es decir colocarlo a la derecha del último número del número decimal como se muestra a continuación.

Como se puede observar en el decimal 0.2 el punto decimal lo trasladamos un lugar a la derecha es decir n=1, y en el número decimal 0.001 el punto decimal lo trasladamos 3 lugares hacia la derecha es decir n=3, después de hacer esto los decimales 0.2 y 0.001 nos quedan como 2. y 1. , ahora efectuamos la división de 2 y 1 de manera normal al resultado de esta división pasamos a trasladarle el punto decimal una cantidad de lugares igual al valor absoluto de la resta de la cantidad de lugares que se trasladó el punto decimal en el divisor y en el dividendo, si la cantidad de lugares que se traslada el punto decimal en el divisor es mayor que la cantidad de lugares que se traslada el punto en el dividendo entonces el punto se traslada a la derecha si es lo contrario el punto decimal se traslada a la izquierda una cantidad de lugares equivalente al valor absoluto de la resta de la cantidad de lugares que se corre el punto a la derecha en el divisor y en el dividendo todo esto se muestra a continuación.

Y como se puede ver resultado de dividir 0.2÷0.001 es 200.
Veamos otro ejemplo de como dividir dos números decimales en donde vamos a estar aplicando la misma técnica que usamos en el primer ejemplo, correremos el punto hacia afuera trasladándolo a la derecha tanto en el dividendo como en el divisor luego restaremos la cantidad de lugares del divisor menos la cantidad de lugares del dividendo.

Como se puede observar cuando trasladamos el punto decimal a la derecha 20.60 se transforma en 2060. y el punto se trasladó dos lugares, también cuando el punto se traslada a la derecha 10.3 se transforma en 103 y dividimos 2060 entre 103 de manera normal como se muestra continuación.÷

Ya dividimos 2060 entre 103 ahora bien a la cantidad de lugares que el punto se trasladó en el divisor le restamos la cantidad de lugares que el punto se trasladó en el dividendo y si la cantidad de lugares que el punto se trasladó en el divisor es menor que la cantidad de lugares que el punto se trasladó en el dividendo entonces el punto se trasladará a la izquierda en una cantidad igual al resultado del valor absoluto de |1-2|=|-1|=1 tal como se muestra a continuación.

Como se puede ver 20.60÷10.3 es igual 2.

División de un número decimal entre un número entero

Para dividir un número decimal entre un número entero dividimos ambos números como si los dos fueran cantidades enteras luego de hecha la división trasladamos el punto decimal del cociente a la izquierda tantos lugares como cantidad de lugares después del punto decimal haya en el dividendo.

Como se puede observar dividimos 2.4÷5. como si no hubiera punto decimal es decir 24.÷5. y el resultado de 24.÷5 es 4.8 , ahora para obtener el resultado de dividir 2.4÷5. simplemente corremos o trasladamos el punto decimal de 4.8 la misma cantidad de lugares que hay después del punto en el decimal 2.4 hacia la izquierda, y como solo hay un lugar después del punto entonces vamos a trasladar el punto decimal de 4.8 un lugar a la izquierda dándonos el resultado de la división que es 0.48 es decir 2.4÷5=0.48 todo el proceso se muestra a continuación.

Y el resultado de dividir 2.4 ÷ 5 es igual a 0.48

División de un número entero entre un número decimal

Para dividir un número entero entre un número decimal dividimos los dos números como si los dos números fueran números enteros, luego al resultado de esta división le trasladamos el punto decimal tantos lugares como lugares hay en el divisor después del punto hacia la derecha.Veamos un ejemplo que ilustre este proceso.
Vamos a dividir 4 ÷ 0.8.

Como se puede ver hemos dividido 4. ÷ 0.8 como si fueran dos enteros es decir 4. ÷ 8. dándonos como resultado 0.5 y a este resultado le vamos a trasladar el punto decimal tantos lugares hacia la derecha como lugares hay después del punto decimal en el decimal 0.8 y como se puede ver después del punto solo hay un lugar, entonces al resultado 0.5 le vamos a trasladar el punto un lugar a la derecha es decir 5. entonces el resultado de dividir 
4. ÷  0.8 = 5. todo este proceso se muestra a continuación.

Y el resultado de dividir 4. ÷  0.8 es igual a 5.
Vamos en un próximo post a ver como se pueden hacer estas divisiones entre decimales fácilmente escribiendo los decimales como notación científica.

martes, 8 de septiembre de 2015

Dos conductores eléctricos se encuentran sometidos a diferentes temperaturas ¿Cuál conductor eléctrico consumirá más energía eléctrica?

En este post vamos a analizar un hecho que es aplicable al mundo cotidiano y que es común a todos los seres humanos en este tiempo y es el consumo de energía eléctrica y particularmente vamos a estar analizando si la temperatura a la que está sometido un conductor o alambre que conduce electricidad influye en lo que ese alambre o conductor en particular consume. 

En este post vamos a demostrar física y matemáticamente ¿Qué alambre consume más electricidad entre dos alambres eléctricos sometidos a  diferentes temperaturas sabiendo que uno de los alambres está expuesto a una mayor temperatura que el otro alambre?.

A nivel atómico y molecular se sabe que la libertad de movimiento de los átomos o energía cinética es directamente proporcional a la temperatura osea a mayor temperatura mayor nivel de movilidad de los átomos y usted se preguntará bueno y ¿en qué influye esto en el consumo de electricidad de un conductor eléctrico?, bueno recordemos que todo tipo de masa a nivel microscópico está compuesta de la unidad fundamental de masa que es el átomo y la corriente eléctrica es un flujo de electrones y recordemos que los átomos están compuesto de electrones y sabemos que los electrones están compuesto por unidades de carga negativas por tanto cuando un electrón atraviesa un alambre si el alambre se encuentra a una temperatura T, mientras mayor sea esta temperatura más electrones se encuentran en libertad de movimiento en ese conductor y un electrón que atraviese este conductor encontrará más resistencia en su trayecto  ya que las cargas de igual signos se repelen esto incrementa la resistencia R del alambre eléctrico y aparte también es más probable que se produzcan colisiones o choques que impidan el paso del flujo de electrones y matemáticamente se sabe que la potencia eléctrica o la velocidad a la que un alambre consume electricidad es:

P = V · I = R · I · I = R · I2

Donde V es el voltaje, I la corriente eléctrica y R la resistencia eléctrica.
La fórmula demuestra que a mayor resistencia eléctrica mayor potencia disipada y si la potencia o la velocidad con un conductor eléctrico consume electricidad se incrementa también se incrementa el consumo de energía eléctrica ya que la energía consumida por un conductor de electricidad físicamente está definida como:

E = P · t = (R · I2) · t

E = R · I· t 


Donde E es la energía consumida por el alambre o aparato eléctrico y R es la resistencia eléctrica del alambre eléctrico y t representa el tiempo y P la potencia eléctrica.
La fórmula para calcular la energía eléctrica descrita en un lenguaje simple significa que a mayor resistencia eléctrica mayor energía consumida, a mayor flujo de corriente eléctrica mayor energía consumida y mientras más tiempo está conectado un conductor o aparato eléctrico a una fuente de energía eléctrica más energía eléctrica consumirá el alambre o dispositivo eléctrico.
La resistencia de un material también es directamente proporcional a la longitud del alambre e inversamente proporcional al área transversal del alambre expresado esto matemáticamente se ve así:

Donde R es la resistencia eléctrica, l es la longitud del alambre y A es el área transversal de alambre.
Ahora si tomamos un muy pequeño pedazo de alambre con longitud Δl , entonces la resistencia del alambre va a ser:

Ahora bien físicamente se sabe que ciertos materiales se expanden cuando se incrementa la temperatura en una pequeña longitud que es directamente proporcional a la longitud l del alambre y al incremento de temperatura por lo que este incremento de longitud Δl es:

Δl = α · l · ΔT

Donde α es el coeficiente de expansión térmica y es igual coeficiente de temperatura si el coeficiente de expansión térmica es pequeño.
Sustituyendo esto en la fórmula vamos a tener que ΔR=p(Δl/A) y haciendo algunas simplificaciones y despejes vamos a encontrar una fórmula que nos permita ver como depende la resistencia eléctrica de incremento de temperatura sabiendo que R0 es la resistencia eléctrica a temperatura ambiente T0 y que R=(pl/A) :

Y como se puede ver la resistencia depende de la temperatura según la fórmula.

R = R0 [1 + α (T - T0)]

Donde R es la resistencia para cualquier temperatura T, R0 es la temperatura cuando T=T0, y T0 representa la temperatura ambiente y α es el coeficiente de temperatura de la resistividad.
Esta formula demuestra que si T > T0 entonces la resistencia aumenta y si la resistencia aumenta, aumenta el consumo de electricidad ya que la energía consumida es :

E = P · t = V · I · t = (R I2) · t

Donde E es la energía eléctrica, P la potencia eléctrica, V la diferencia de potencial o voltaje, I la corriente eléctrica, R es la resistencia eléctrica. 
En resumen la resistencia eléctrica y el último el tiempo que un conductor eléctrico permanece conectado a una fuente de electricidad influirá en el consumo eléctrico y por tanto en la cantidad de dinero que se pagará en la factura eléctrica. 
En conclusión si usted tiene un alambre que sale de su contador eléctrico hacia su hogar y un tramo de este alambre está expuestos a altas temperaturas externas tenga por seguro que su consumo de energía eléctrica será mayor que si este alambre estuviera expuesto a una temperatura externa menor.

Ejemplo 1
Si un alambre de cobre está a temperatura ambiente de 20ºC tiene una resistencia de 40Ω , si la temperatura se incrementa a 50ºC ¿Cuál será la resistencia R del alambre a esta temperatura?

Solución:
Lo primero es que el coeficiente de temperatura de la resistividad del alambre de cobre es α=0.00393(ºC)-1, la temperatura ambiente es T0=20ºC y T=50ºC, sustituimos estos datos en la fórmula ya deducida en este artículo vamos a tener que:

T0 = 20ºC  α=0.00393(ºC)-1   T = 50ºC  R0 = 40Ω

R = R0[1 + α(T - T0)]


R = (40Ω)[1 + 0.00393(ºC)-1(50ºC - 20ºC)]


R = (40Ω)[1 + 0.00393(ºC)-1(30Cº]


R = (40Ω)[1 + 0.1179] = (40Ω)[1.1179]


R = 44.716Ω


Y como se puede ver la resistencia del alambre de cobre cuando la temperatura se incrementa de 20ºC a 50ºC la resistencia también se incrementa de 40Ω a 44.716Ω como había de esperase.

Ejemplo 2
Si este mes su contador eléctrico indica que usted ha consumido 100kwh, y un 1kwh cuesta en su país 4.44 pesos. ¿Qué monto de dinero usted pagará por el servicio de electricidad este més?

Solución:
Recordemos que la energía eléctrica es igual a E=100kwh y si 1kwh vale 4.44 pesos, el monto que se deberá pagar es producto de la cantidad de energía consumida y lo que cuesta 1kwh como se observa a continuación.

(100kwh) x (4.44pesos/kwk) = 440 pesos

Y el consumo de energía eléctrica es de 440 pesos.

domingo, 6 de septiembre de 2015

Progresiones geométricas

Vamos en este post a estar hablando de lo que es una progresión geométrica, que fórmula nos permite obtener el enésimo término de una progresión geométrica, como podemos obtener la suma de los enésimos términos de una progresión geométrica y aparte de todo esto estaremos viendo en cada uno de estos tópicos ejemplos de aplicación que nos permitirán ver la forma de usar los conceptos y fórmulas que desarrollaremos en este artículo.

Para empezar una progresión geométrica es una secuencia o patrón de números en donde cada  enésimo término del patrón numérico se obtiene a partir de multiplicar por un número fijo el antepenúltimo término enésimo del patrón numérico.

Es decir si a1 es el primer término numérico en un patrón numérico y r representa un número fijo llamado razón, entonces un segundo término del patrón es a1r , un tercer término es a1r2, un cuarto término es a1r3, un antepenúltimo término del patrón será a1rn-2 y el enésimo o último término del patrón va a ser a1rn-1, generalizando todo esto vamos a tener que:

a, a1r , a1r2, a1r3,..........., a1rn-2 , a1rn-1

Por lo que ´la fórmula para calcular el enésimo término de una progresión geométrica será entonce:

an = a1·rn-1

En donde a1 representa el primer término de una progresión geométrica, n representa la posición en la que se encuentra un determinado término de la progresión geométrica, r es la razón y es igual al cociente de dos términos consecutivos de la progresión geométrica y an representa un término de la progresión geométrica que se encuentra en la posición n.

Ejemplo 1
Dada la progresión geométrica 2,4,8,16,..... encontrar el término que se encuentra en la posición n=8.

Solución:
Lo primero que vamos a hacer es encontrar la razón r que es el cociente de dos términos consecutivos de la progresión es decir
r=(4/2)=(8/4)=(16/8)=2 y la razón es igual a 2 osea r=2, y el ejemplo nos da la posición en que se encuentra el término de la progresión que es n=8, con estos datos ya sustituido en la fórmula que nos permite obtener el enésimo término de una progresión geométrica vamos a tener que:

an = a1·rn-1

a1 = 2   r = 2    n = 8    a8 = ?

a8 = 2·28-1

a8 = 2·27

a8 = 28

a8= 256

Ejemplo 2
Dada la progresión geométrica 4096,1024,256,64,.... encontrar a7.

Solución:
Tomamos los datos que nos da el ejemplo y lo sustituimos en la fórmula mediante la cual encontraremos a7.

a1 = 4096   r=1024/4096=1/4   n = 7  a7 =?

an = a1·rn-1


a7 = 4096 · (1/4)7-1

a7 = 4096·(1/4)6

a7 = 4096/4096

a7 = 1

Suma del enésimo término de una progresión geométrica Sn

Para sumar los n términos de una progresión geométrica multiplicamos la suma de los n términos de la progresión geométrica por la razón r, a la suma de los n términos de la progresión aritmética le restamos el resultado de esta multiplicación  y simplificamos para obtener una expresión matemática que nos permita calcular la suma de los n términos de una progresión geométrica tal como se muestra a continuación.

De la deducción anterior queda confirmado que la fórmula o expresión matemática que nos permite calcular el enésimo término de una progresión geométrica es:

Donde a1 representa el primer término de la progresión geométrica, r la razón que es igual al cociente de dos términos consecutivos de la progresión geométrica, n el lugar en que se encuentra un término de la progresión geométrica y Sn es la sumatoria de los n términos de la progresión geométrica.

Ejemplo 1
Hallar la sumatoria de los primeros 11 términos de la progresión geométrica 4, 20, 100,500,······.

Solución:
Tomamos los datos del ejemplo, en donde a1=4, r=(20/4)=5, y n=11, sustituyendo estos datos en la fórmulas que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión geométrica vamos a encontrar a11.

Como se puede ver la suma de los primeros 11 términos de la progresión del ejemplo es 48828140.

Ejemplo 2
Una bola se deja caer desde una h=10m, si cada vez que la bola rebota alcanza la mitad de la altura correspondiente al antepenúltimo rebote, después de 10 rebote ¿Si se suma la altura de cada rebote que distancia se ha movido la bola desde que se dejó caer después que han transcurrido 11 rebotes?

Solución:
Lo primero que hacemos es establecer es que cada distancia de la alturas que alcanza la bola es correspondiente a los términos de una progresión geométrica que tiene como primer término la mitad de la altura inicial de la bola a1=10m/2=5m que es la altura alcanzada en el primer rebote, y el problema implícitamente nos da la razón que es r=1/2, ya que el problema dice que la bola en cada rebote alcanza la mitad de la altura de su penúltimo rebote la distancia que la bola alcanza en cada rebote es 2 veces la altura alcanzada en ese rebote ya que la bola se mueve hacia arriba y luego hacia abajo recorriendo la misma distancia 2 veces y 2Sn va representar la distancia que la bola se ha movido después de 11 rebotes es decir n=11 por tanto la distancia total recorrida por la bola desde que se suelta de una altura h=10m es 10m + 2S11, sustituimos estos datos para tener que:

Como se puede ver la suma de todas las diferentes alturas alcanzadas en los diferentes 11 rebotes y la altura desde la cual se dejó caer la bola es 29.99m.

Problemas propuestos
1- ¿Cuál es el valor de n si el enésimo término de una progresión geométrica es an= 2916 , a1=4 y la razón r=3?
2-En la progresión geométrica 2,0.8,0.32,0.128,·····. ¿Cuánto vale a8?
3- Si a11=30 a1=5 ¿Cuál es el valor de r?
4-Hallar la sumatoria de las áreas de los cuadrados negros y blancos cuándo el proceso de inscripción y circunscripción de cuadrados negros y blancos se continúa hasta el infinito como se muestra en la figura.

5- Si una presa cuenta con 1000000 litros de agua y cada semana la cantidad de agua que se usa para consumir es un cuarto de la cantidad de agua que se consumió la antepenúltima semana.
a) Hallar una expresión matemática que indique la cantidad de litros de agua que se consume semanalmente y otra que indique la cantidad de agua que queda en la presa.
b) ¿Cuántos litros de agua se habrá consumido en 10 semana?
c) ¿En cuántas semanas se consumirán 333007.8 litros de agua?  
d) Si se continúa consumiendo agua bajo las condiciones que describe el problema ¿Se agotará el agua de la presa en algún tiempo o el consumo de agua? explique.
e) Si se agota el consumo de agua bajo las condiciones que describe el problema ¿Cuántos litros en total de agua se habrán consumido y cuántos litros de agua quedarán en la presa?

Vea también
Progresiones aritméticas

miércoles, 2 de septiembre de 2015

Progresiones aritméticas

En este artículo vamos a analizar una secuencia numérica o patrón numérico que en el campo de las matemáticas es conocido como una progresión aritmética, una progresión aritmética es una secuencia numérica en donde cada enésimo término de la secuencia numérica es el producto de sumar o restar un número fijo conocido como diferencia (d) a el antepenúltimo enésimo término de la secuencia numérica.
Ejemplos de progresiones aritméticas

Lo primero que haremos es deducir una fórmula que nos permita determinar el valor de un término de la sucesión o secuencia que se encuentre en una posición n de la progresión aritmética, y como cada término enésimo de la progresión es el resultado de sumar o restar una número fijo (d) al antepenúltimo término enésimo de la progresión, si tenemos a1 representa el primer término de la progresión entonces el segundo término de la progresión será a1+d, el tercer término a1+d+d=a1+2d , el cuarto término 
a1+d+d+d+d=a1+4d, el antepenúltimo término de la progresión es entonces a1+(n-2)·d y el último término de la progresión va a ser entonces a1+(n-1)·d , todo esto lo podemos expresar de manera compacta así:

De la generalización anterior, la fórmula que nos permite obtener el enésimo término de una progresión aritmética es:

Donde n es la posición que ocupa un término en la progresión aritmética, d es igual a la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera de progresión es decir d=a2-a1=a3-a2=a4-a3 y an representa el término que se encuentra en la posición n.

Antes de ver algunos ejemplos debemos decir que si la progresión aumenta en un número fijo entonces esta progresión aritmética es creciente pero si disminuye en un número fijo esta progresión aritmética decreciente.

1,2,3,4,5,6,...    Progresión creciente
20,17,14,11,..   Progresión decreciente

Ejemplo 1
Hallar el término que ocupa la posición n=12 en la progresión aritmética
7,11,15,19,23,.....

Solución:
Usando la fórmula que nos permite obtener el enésimo término de una progresión aritmética y tomando como dato que a1=7 y 
d=11-7=4 y n=12, sustituimos estos datos en la fórmula para la progresión aritmética.

an = a1 + (n-1)·d
a12 = 7 + (12-1)·4
a12 = 7 + 11·4
a12 = 7 + 44
a12 = 51

Y el término de la progresión aritmética 7,11,15,19,... que ocupa la posición número 12 es a12 = 51

Ejemplo 2
Hallar el término que ocupa la posición n=13 en la progresión aritmética
300,293,286,279,.......

Solución:
Tomamos los datos que son útiles para la solución del ejercicio entre estos datos están a1=300 , n=13, d=293-300=-7 y  a13=? ,
pasamos a sustituir estos datos en la fórmula para hallar el término de la progresión que ocupa la posición 13.

an = a1 + (n-1)·d
a13 = 300 + (13-1)·(-7)
a13 = 300 - (12)·(7)
a13 = 300 - 84
a13 = 216

Y el término que ocupa la posición 13 es 216.

Suma del enésimo término de una progresión aritmética Sn

Ahora procederemos a deducir la fórmula que nos permitirá saber cual es la sumatoria de los enésimos términos de una progresión aritmética y para deducir esta fórmula nos guiaremos de un artificio matemático que nos permita este propósito, sumaremos dos veces la progresión aritmética colocando cada término en forma creciente y luego colocando cada término en forma decreciente .

Como se puede observar la suma de un término en orden ascendente con un término en orden descendente de la progresión aritmética es constante e igual 2a1+(n-1)·d y como la misma progresión se suma dos veces, esta suma es igual al número n de términos que se van a sumar multiplicado por 2a1+(n-1)·d, por tanto vamos a tener que:

Como se puede observar de la deducción anterior la fórmula que permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética es:

Donde a1 representa el primer término de la progresión aritmética, n el número de términos de la progresión aritmética y d es la diferencia entre dos términos consecutivos y Sn representa la suma de los n términos de la progresión aritmética.
Esta fórmula la podemos reescribir sabiendo que an=a1+(n-1)·d, la fórmula se reescribe así:

Entonces la fórmula que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética ya reescrita es:

Ejemplo 1
Cuál es la sumatoria de los primeros 30 números de la progresión aritmética 1,2,3,4,5,6,......

Solución:
Como se puede observar la diferencia d entre dos términos consecutivos es d=2-1=3-2=4-3=1 es decir d=1, n es la cantidad de términos de la progresión que vamos a sumar es decir n=30, y a1=1, sustituyendo estos datos en la fórmula que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética vamos a tener que:

y la suma de los primeros 30 términos de la progresión aritmética es 465.

Ejemplo 2
Demostrar que la sumatoria de los n términos de la progresión aritmética 1,2,3,4,5,6,....,n es

En la progresión que da el ejemplo d=1 , a1=1 y n representa una cantidad determinada de términos de la progresión aritmética, con estos datos y la fórmula que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética vamos a tener que:

Ejemplo 3
Cuál es la sumatoria de los primeros 9 números de la progresión aritmética 30,27,24,21,18,14,......

Solución:
Los datos son d=30-27=27-24=24-21=-3 es decir d=-3, a1=30 y n=9, sustituyendo estos datos en la fórmula que permite hallar la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética vamos a tener.

Y la sumatoria de esta progresión aritmética es Sn=144

Problemas propuestos
1-Hallar el término de la progresión aritmética 2,4,6,8,... que ocupa la posición n=100
2- Si el enésimo término de una progresión aritmética es an=1093 y el primer término de la progresión aritmética es a1=4 y la diferencia entre cada término consecutivo es d=11 ¿Cuánto vale n?
3- Si el enésimo o último término de una progresión aritmética es 1198 , n=100 y d=12 ¿Cuál es el primer término de esta progresión aritmética?
4- Si décimo término de una progresión aritmética es 5 y el primer término de la progresión es (1/2).¿Cuál es la diferencia entre cada dos término numérico consecutivo de la progresión aritmética?
5-Hallar la sumatoria de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 0.5,1,1.5,3,3.5,....
6- Si la sumatoria de los 8 primeros términos de una progresión aritmética es 36 y la diferencia entre cada dos término consecutivo de la progresión es 1 ¿Cuál es el primer término de la progresión aritmética?
7- Si la suma de los n términos de una progresión aritmética es 24 y el primer término de la progresión es 2 y la diferencia entre cada término cada dos términos consecutivos es 2 ¿Cuál es el valor de n?

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