Producto vectorial - Matemática y Física

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lunes, 9 de noviembre de 2015

Producto vectorial

En este artículo vamos a analizar como obtener el producto vectorial de dos vectores en el plano y en el espacio, aunque debemos decir que siempre el producto vectorial da como resultado un vector ubicado en el espacio excepto solo en el producto vectorial de dos vectores paralelos y antiparalelos , en cuyos casos el vector resultante tendrá una magnitud de cero quedando prácticamente ubicado en el mismo plano que los vectores paralelos y antiparalelos.

Como una manera técnica de obtener la fórmula del producto vectorial se utilizan determinantes 3x3, siendo la primera fila de la matriz de datos de esta determinante los vectores unitarios î,J,k.
En las dos filas restantes se colocan los dos vectores para los cuales queremos saber el producto vectorial.
Si r y q son dos vectores cualquiera 
en donde r = r1i + r2j + r3k   y   q =  q1i + q2j + q3k 
entonces el producto vectorial vienes dado por :
r × q =[r2q3 - r3q2]i - [r1q3 - r3q1]j + [r1q2 - r2q1]k

Esta misma fórmula se puede obtener utilizando determinantes para esto creamos una matriz de datos 3x3, donde la primera fila va a estar compuesta de los vectores unitarios i,j,k, la segunda fila por el vector r y la tercera fila por el vector q, luego procedemos a hallar el determinante teniendo presente que la componente del vector unitario j siempre se toma como negativo.

Ejemplos de como calcular el producto vectorial de dos vectores usando determinantes.
Ejemplo 1
Calcular a)  r×q   b)   r×r   c)   q×r  , si r = i + 3j - 2k y
q = 3i - 2j + k

Solución:

En la solución de los tres productos vectoriales se pudo observar que el producto de dos vectores paralelos r×r es igual a cero y que 
r×q = - q×r , estas son propiedades que forman parte de lo que es un producto vectorial de dos o más vectores.

La siguiente tabla presenta las propiedades algebraicas de un producto vectorial dados los vectores r,q y s y la constante k.


Propiedades algebraicas de un producto vectorial
r × r =  0
r × 0 = 0 × r
r × q = - q × r
r × [q × s] = [r × q] + [r × s]
k[r × q] = [kr] × q = r × [kq]
r · [q × s] = [r × q] · s

También el producto vectorial tiene propiedades geométricas tal como las que se presentan en la siguiente tabla.
Propiedades geométricas de un producto vectorial
r × q  es perpendicular a r y q
r × q = 0  si y solo si r y q son paralelos
||r × q|| = ||r|| ||q|| sen(θ)
||r × q|| es el área de un paralelogramos en donde r y q son adyacentes

Aplicaciones del producto vectorial 
El producto vectorial es aplicable en geometría ya que el área de un paralelogramo es igual a la magnitud del producto vectorial de los vectores que conforman dos de sus lados no paralelos

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