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viernes, 22 de enero de 2016

Inercia de un cilindro hueco, sólido y con paredes delgadas respectivamente

En este post vamos a estar analizando el momento de inercia del cuerpo geométrico conocido como el cilindro, en nuestra primera parte de este análisis vamos a estar considerando como obtener el momento de inercia de un cilindro hueco y a partir de la fórmula que obtengamos para un cilindro hueco vamos a estar deduciendo las fórmulas para el momento de inercia de un cilindro sólido y un cilindro hueco con pared muy delgada.
Como ya es conocido de algunas publicaciones anteriores el momento de inercia está definido en términos de sumatoria e integrales así:

Iniciando ya con el trabajo, lo primero que nos auxiliaremos es de una gráfica de un cilindro hueco que nos permite navegar por el cilindro.

Como se observa en la figura tomamos una rebanada bien delgada del cilindro hueco y calculamos dv, dm y dI que representa la cantidad de inercia de esta rebanada de cilindro, lo único que queda organizar ahora es cada una de estas variables en su respectivos lugares para proceder a integral, claro que también debemos relacionar dm y dv con la densidad uniforme o constante del cilindro hueco .

Ahora lo que queda es sustituir cada uno de los datos anteriores en la expresión que procederemos a integral y luego empezar a simplificar la integral que nos dará como resultado el momento de inercia de un cilindro hueco.

Y como se puede ver el momento de inercia de un cilindro hueco con densidad uniforme o constante  es.

Esta expresión para el momento de inercia la podemos colocar de una manera mas compacta, para esto debemos conocer cuánta masa contiene este cilindro hueco para esto vamos a integral la expresión encontrada para dm que fue dada más arriba.

Ya conocemos la masa M del cilindro hueco ahora, vamos a proceder a obtener el momento de inercia del cilindro hueco en términos de la masa M.

Y el momento de inercia de un cilindro hueco con masa M y radios R1 y R2 es :

De esta expresión que calcula el momento de inercia de un cilindro hueco podemos deducir el momento de inercia de un cilindro sólido y de un cilindro hueco con una pared muy fina.
Para conocer el momento de inercia de un cilindro sólido tomemos 
R1 = 0 y R2 = R, lo demás es pura simplificación.

El momento de inercia de un cilindro sólido con masa M y radio R es :

Ahora procedamos a encontrar el momento de inercia de un cilindro hueco con pared sumamente delgada, se sobreentiende que si la pared del cilindro es muy fina entonces R1 y R2 son aproximadamente iguales, entonces establecemos que 
R1 = R2 = R.
Inercia-de-cilindro-con-pared-delgada
El momento de inercia de un cilindro hueco con pared muy delgada con masa M y radio R es:


Vea también
Momento de inercia de una varilla delgada con densidad uniforme
Momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable
Reglas básicas de integración.
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Inercia de una placa cuadrada delgada en torno a un eje que la atraviesa por un vértice, perpendicular al plano de esta.

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