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lunes, 25 de enero de 2016

Momento de inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme [parte 1]

En este artículo vamos a estar trabajando en el cálculo del momento de inercia de una placa delgada rectangular, para este propósito nos estaremos guiando de una gráfica y por supuesto por la definición del momento de inercia para un cuerpo especifico.


Como se puede ver en esta figura en donde hemos tomado un pequeño segmento de área coloreada de rojo que es representativo del área total de esta figura que puede ser una puerta.
Para iniciar nuestro análisis acerca del momento de inercia de una placa delgada con densidad uniforme como la que se muestra más arriba, lo primero que haremos es hallar una relación entre la pequeña área roja de la placa y la densidad, así como también la relación de área total de la placa y la densidad, teniendo presente que como la densidad es uniforme esto significa que cualquier pequeña área de la placa rectangular tiene la misma densidad que va a estar dada en términos de la masa y el área de la placa.
El área delimitada por la parte roja es dA=adx, cuya mas es dm, también el área total de la placa rectangular es A=ab, cuya masa es M, por tanto vamos a determinar la densidad para el área total y la sub-área y la relacionaremos para de esta manera encontrar la masa diferencial dm.

Y ya estamos listos para hacer las debidas sustituciones en la expresión integral que nos permitirá calcular el momento de inercia de una placa rectangular con área [A=ab] respecto al eje de rotación que pasa por el punto P.

Y el momento de inercia de una placa delgada alrededor de un eje de rotación que se encuentra en el punto s es.

Con esta expresión general para el momento de inercia respecto a un eje que pasa por P y es paralelo a la longitud {a} del rectángulo, podemos calcular la inercia que debe haber cuando el eje de rotación se encuentra en una posición s = 0, todo el proceso de pura simplificación se muestra a continuación.

Y el momento de inercia de una placa rectangular con el eje de rotación colocado en un extremo es.

De manera similar vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular como la que se muestra más arriba cuando el eje de rotación está ubicado en s = L/2.

Y el momento de inercia de una placa rectangular delgada con un eje ubicado en s=L/2 es

Vea también
Momento de inercia de un cilindro hueco, sólido y con pared delgada respectivamente
Inercia de un varilla delgada con densidad uniforme
Inercia de una varilla delgada con densidad variable
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