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martes, 26 de enero de 2016

Momento de inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme [parte 2]

En este post vamos a continuar la parte 1 del tema {Momento de inercia de una placa rectangular delgada [parte 1]}, así que si usted está interesado en este tema le invito a leer ese artículo.
Bueno entrando en materia de trabajo vamos a empezar a hablar del momento de inercia de una placa rectangular delgada tomando el eje de rotación respecto al cual calcularemos el momento de inercia paralelo a la longitud más larga del rectángulo {b}, bueno el momento de inercia para un cuerpo especifico está definido mediante esta expresión matemática.

Para el cálculo del momento de inercia respecto al eje de rotación paralelo a la longitud {b}, nos guiaremos de la gráfica de un rectángulo con longitudes a y b, cuya área es A=ab y masa M, y la sub-área coloreada de rojo con área diferencial dA=bdy y masa 
dm.

Vamos a relacionar la densidad para la masa total de la placa rectangular y la densidad para la masa diferencial del pequeño rectángulo rojo y de esta manera vamos a despejar la masa diferencial dm del pequeño rectángulo rojo.

Y hecho este despeje estamos preparado para calcular el momento de inercia de una placa rectangular respecto a un eje paralelo a la longitud mayor del rectángulo {b}, para esto sustituiremos la masa diferencial por su igual, y sustituiremos (r) por (y) es decir r=y, y lo demás es cuestión de aplicar las técnicas de integración y simplificaciones numéricas.

Y como se puede observar del proceso de simplificación de la integral el momento de inercia de una placa delgada rectangular respecto a un eje que es paralelo a la longitud mayor de la placa rectangular, ubicado este eje en una posición s es.

Partiendo de la expresión general para calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada respecto a un eje de rotación paralelo a la longitud mayor de la placa en una posición s=0. 
r=y=a-s=a-0=a

Y el momento de inercia de una placa rectangular con un eje paralelo a longitud mayor de la placa ubicado en un extremo de la placa rectangular, tomando s = 0 es.

Y también podemos encontrar el momento de inercia de una placa rectangular basados en la expresión general dada para la inercia de una placa delgada con eje paralelo a la longitud mayor de la placa y con una posición de su eje de rotación s, el momento de inercia para una posición en s=a/2 es.
 
Y el momento de inercia para una placa rectangular con un eje paralelo a la longitud mayor de la placa {b}, con este eje ubicado 
s=a/2, osea a mitad del camino es.

Vea también
Inercia de un cilindro hueco, sólido y hueco con pared delgada respectivamente.
Momento de inercia de una varilla delgada con densidad uniforme
Momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable
Momento de inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme.
Reglas básicas de integración
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

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