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jueves, 21 de enero de 2016

Momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable

En este post vamos a estar considerando los cálculos que se deben hacer para obtener el momento de inercia de una varilla delgada con el caso especial de que la densidad varía de forma lineal a lo largo de la longitud de la varilla delgada, el hecho de que se diga que la densidad es variable se interpreta como que la densidad de un punto con relación a otro punto de la varilla es diferente, por tanto para calcular el momento de inercia de esta varilla delgada bajo estas condiciones es diferente aunque algo similar que cuando la varilla delgada tiene densidad uniforme, el momento de inercia está definido como sigue:


Si para este cálculo definimos la densidad así:

Ahora para continuar con nuestro cálculo despejamos dm .

Ahora tomamos el despeje dm y lo sustituimos en nuestra expresión integral, pero antes sustituimos r por x , y luego establecemos nuestro intervalo de integración que irá desde -s hasta L-s, con estos datos creo que estamos preparados para hacer la simplificación de nuestra expresión integral mediante la cual obtendremos el momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable.

Después de desarrollar el binomio (L - s)4, el momento de inercia para una varilla delgada con densidad variable es.

Pero esta expresión se puede expresar en términos de la masa total de la varilla, para esto integraremos la expresión que desarrollamos para dm , dm = kxdx, e integraremos esta ecuación diferencial desde m = 0 en x = 0 hasta M donde x = L, luego este valor lo sustituiremos en la expresión encontrada para el momento de inercia.

Ahora procedemos a sustituir (kL2/2), en la expresión para el momento de inercia de la varilla delgada con densidad variable.

Entonces la expresión más compacta para el momento de inercia de la varilla delgada con densidad variable.

El momento de inercia para una varilla delgada con densidad variable con s = 0, con el eje de rotación ubicado en 
L - s = L - 0 = L, es.

Y como se puede observar el momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable  respecto a un eje de rotación ubicado a una distacia L respecto al punto P es .

El momento de inercia para una varilla delgada con densidad variable con s = L/2, con el eje de rotación ubicado en 
L - s = L - L/2 = L/2, es.

Y como se puede observar el momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable  respecto a un eje de rotación ubicado a una distacia [L/2] respecto al punto P es .

Vea también
Momento de inercia de una varilla delgada con densidad uniforme
Reglas básicas de integración
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Momento de inercia de una varilla delgada con densidad uniforme
Momento de inercia de un cilindro hueco, sólido y hueco con pared delgada respectivamente
Momento de inercia de una placa rectangular con densidad uniforme [parte 1]
Momento de inercia de una placa rectangular con densidad uniforme [parte 2]