febrero 2016 - Matemática y Física

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lunes, 29 de febrero de 2016

Centro de masa o centro de gravedad

El tema de encontrar el centro de masa o de gravedad de un objecto es un tema de vital importancia en asuntos ingenieriles y en el mundo de la acrobacia, ya que en el caso especial de un acróbata este debe estar bien consciente de su punto de centro de masa para mantener el equilibrio en rutinas en la que es imprescindible tener control del movimiento.
Aunque no soy la persona ideal para hablar de acrobacias ya que en toda mi vida no he realizado una actividad en la que mantener el equilibrio se convierta en un asunto de vida o muerte, como es el caso de muchos acróbatas.
Ahora bien no hay que ser un experto en estas disciplinas para saber que el equilibrio juega un papel preponderante.
Un ingeniero por su parte debe tener un conocimiento físico y analítico de la ubicación del centro de gravedad de una estructura ya que de ello podría depender las vidas de las futuras personas que habiten este espacio estructural, si por ejemplo un ingeniero sabe que en un punto especifico de una edificación converge la mayor cantidad de masa pues si este ingeniero tiene un poco de sentido común deberá tener este punto bien presente ya que la presión del peso en las columnas o vigas en este punto podría ser tan importante que si este punto no se refuerza la edificación podría colapsar por efecto de su propio peso y tornarse en un peligro para los que habitan este edificio, por tanto éste es el porqué es importante a nivel científico conocer como obtener el centro de masa o de gravedad de una masa con alguna forma geométrica

¿Qué es el centro de masa o de gravedad?
El centro de masa de un conjunto de puntos donde se encuentra la masa distribuida, es el punto de equilibrio de dicha masa, es decir es un punto que actúa como si toda la masa estuviera concentrada allí, de tal manera que si logramos localizar este punto entonces podemos alcanzar el equilibrio de un cuerpo que esté representado por una distribución de masa.
Aunque hemos hablados de equilibrio este no es único objetivo de conocer el centro de gravedad de un objecto, ya que la información de dónde se encuentra localizado el centro de masa puede ser utilizado por un ingeniero electromotriz para darle más tracción a las ruedas de un vehículo.
Dicho todo esto podemos decir que matemáticamente el centro de masa de un conjunto de masa localizada en los puntos {(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),·······,(xi,yi,zi)}

Cuando se trata de una distribución de masa que sigue un función matemática a lo largo de un plano coordenado (x,y,0), el centroide o centro de masa se puede calcular mediante estas expresiones matemáticas.

Estas expresiones se pueden deducir observando las siguientes gráficas, ya que la posición x del centro de masa de un rectángulo diferencial es (xdm)/M=(pxydx)/pA , donde p es la densidad, y la posición [y] del centro de masa de este mismo rectángulo va a ser 
[(y/2)dm]/M=[p(y/2)(ydx)]/pA=[(y2/2)dx]/A

Como ya es costumbre en este blog vamos a ver como aplicar las expresiones que nos permiten hallar el centroide o centro de masa de un sistema de partículas u objectos, primero vamos a ver como obtener el centro de masa o de gravedad de un sistema lineal de diferentes masas ubicadas en diferentes puntos en el eje x.

Centro de masa del sistema solar
1- a) ¿A qué distancia del sol se encuentra ubicado el centro de masa Sol-Júpiter, si la masa del sol es de 1.99x1030kg y la de júpiter es de 1.90x1027 y la distancia media del centro de masa del Sol al centro de masa de Júpiter es 7.78x1011m.
b) ¿El centro de masa del sistema Sol-Júpiter queda dentro del sol?
Solución:
a) En este pequeño problema lo primero que haremos es tomar el eje x como el eje que une el Sol con Júpiter con origen x1=0 y lo ubicaremos en el centro de masa o centro geométrico del Sol, por lo que colocaremos a Júpiter a la distancia x2 = 7.78x1011 que es la distancia orbital de Júpiter respecto al Sol, y con estos datos vamos a calcular el centro de masa del sistema Sol-Júpiter.
b) Una vez encontrado el  centro de masa procedemos a comparar esta distancia con el radio ecuatorial del Sol rs=6.96x108m  y si la distancia del centro de masa con respecto al centro del Sol es menor que el radio ecuatorial entonces concluiremos que el centro de masa está dentro del Sol.
La masa del Sol es de m1=1.99x1030kg, mientras la masa de Júpiter es de m2=1.90x1027kg, ya con estos datos estamos preparado para calcular el centro de masa de este sistema Sol-Júpiter.


Y como se puede ver el centro de masa Sol-Júpiter xcm=7.42x108m es mayor que el radio ecuatorial solar, por lo que el centro de masa queda ubicado fuera del Sol pero muy próximo a este, y como el Sol y Júpiter son los dos cuerpos más masivos del sistema solar nos atreveríamos a decir que el centro del sistema solar queda aproximadamente en xcm=7.42x108m a unos  8.2x108m del Sol.

Punto de equilibrio
Dadas dos masas m1= y m2= con 20kg y 50kg respectivamente, ¿A qué distancia de m1= se debe colocar la silla triangular que se muestra en la figura para que las masas m1= y m2= permanezcan en equilibrio si los centros de masas de m1= y m2= están separados una distancia de 6m?
 
Solución:
Lo primero que haremos es colocar la masa m1= en la posición x1=0 y la masa m2= en la posición x2=L=6m y partiendo de estos datos vamos a proceder a sustituirlos en la fórmula que nos permite calcular el centro de masa de dos partículas ubicadas sobre un mismo eje que en nuestro caso tomaremos el eje x, el proceso de resolución de este problema se muestra a continuación.

Y como se ver de la resolución anterior el centro de masa xcm=4.289m, lo que nos parece una respuesta lógica que el centro de masa esté más cerca de m2= que de m1= ya que la mayor masa la contiene el objecto con masa m2=.

Centro de masa de una distribución de masa
Ahora nos dedicaremos a hallar el centro de masa de una región con masa distribuida a lo largo y a lo ancho de una región plana xy.

1- a) Halle el centro de masa de la función matemática que genera el área del semicírculo en el intervalo -r≤x≤r.
b) ¿Cuánto vale el centro de masa si r=4m?

Solución:
a) Lo primero que haremos es utilizar las definiciones del centro de masa para una masa distribuida en una región plana xy y procederemos a tomar una integral definida en el intervalo -r≤x≤r y luego simplificaremos esta integral para encontrar el centro de gravedad de esta región.
b) una vez obtenida una expresión general para el centro de masa para este semicírculo en función del radio r vamos a sustituir el valor r=4m para obtener el centro de masa de un semicírculo con este radio.


Y como se puede ver el centro de masa de un semicírculo con radio r es cm(0,[4r/3π]).

b) Y entonces el centro de masa de un semicírculo cuyo radio es r=4m es.

Y el centro de masa es cm(0m,1.698m).

2- a) Hallar el centro de gravedad de la región plana limitada por 0≤y≤x2 y 0≤x≤b.
b) ¿Cuál es la coordenada del centro de gravedad si b=4?

Solución:
Bueno primeramente vamos a utilizar las definiciones para el centro de masa en las coordenadas x e y, luego integraremos la función y=x2 en el intervalo que va de 0≤x≤b para encontrar el área coloreada de amarillo en la figura de arriba, por ultimo vamos a encontrar el centro de masa cm(x,y) de esta región.


Y el centro de masa de la región plana delimitada por 0≤y≤x2 y 0≤x≤b es cm([3b/4],[3b2/10]).

b) Y la coordenada del centro de masa cm cuando b=4 es.

Bueno este tema es bien extenso así que para una próxima oportunidad estaremos hablando del centro aplicado en tres dimensiones o de manera tridimensional.
Vea también
Reglas básicas de integración
Área de un triángulo, un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas
Momento de inercia de una esfera sólida
Momento de inercia de un cilindro sólido

Juego matemático


Siguiendo el modelo que se observa en la siguiente tabla. En que celda de la que tienen el signo de interrogación [?] se localiza el numero de la suerte?
Nota: Para elegir la celda donde se encuentra el número dado en el rectángulo color púrpura o morado haga click en una de las celdas con el signo de interrogación {?}.
ABC ABC ABC
123 456 789
       
    
1167 Tiempo:  0 s
    
A B C
Aciertos:  0  Fracasos:  0  Total:  0 

¿Como funciona este juego?
Este juego funciona muy simple, sencillamente se trata de elegir en qué celda de las que tiene el signo de interrogación [?] se encuentra ubicado el número dado en el cuadro púrpura o morado es este número dado en el cuadro púrpura o morado sigue un modelo tal como se muestra en primera tabla al principio de este artículo, el juego se inicia automáticamente al cargar esta página con un tiempo predeterminado de 20 segundos que usted puede cambiar haciendo clic en la casilla que contiene el número 20, luego hacemos clic en Play y pasamos a elegir haciendo un clic en la casilla con el signo de interrogación donde se encuentre el número dado en el cuadro color púrpura.

Debemos decir que aunque usted pueda acertar en varias ocasiones no significa que es un juego de azar, ya que detrás de este juego se oculta un algoritmo matemático que si usted lo descubre puede tener aciertos de manera precisa.

Reglas de este juego
Para ganar simplemente hay que hacer clic en la casilla con el signo de interrogación correcta.
Para perder o tener un fracaso en este juego hay dos formas la primera es que se agote el tiempo medido en segundo que usted puede escoger en un intervalo que va de 5 a 20 segundos.


Cuál es el reto en este juego
El reto es acertar de manera correcta en 50 ocasiones sin tener un solo fracaso.

Cual es el premio para aquel que logre romper este reto
Si usted es capaz de acertar en 50 ocasiones sin tener un fracaso entonces como premio usted podrá escribirme a mi correo el algoritmo o la lógica que usted usó para lograr esta hazaña y nosotros nos encargaremos de hacer una entrada en este blog publicando la forma en la que usted logró hacer esta hazaña.
Recuerde los aciertos y fracasos y el total de estos son contabilizado en las casillas de celdas que llevan este mismo nombre .


lunes, 1 de febrero de 2016

Inercia de una placa rectangular delgada alrededor de un eje que pasa perpendicular al área de la placa por su centro

En este artículo vamos a ver como obtener el momento de inercia de una placa rectangular alrededor de un eje que es perpendicular al plano de la placa rectangular, pero para este proposito de encontrar el momento de inercia nos auxiliaremos de la definición de inercia extendida hasta integrales dobles tal como se muestra a continuación.

Para empezar nuestro trabajo de obtener el momento de inercia de una placa rectangular alrededor de un eje de rotación que pasa por el punto O y es perpendicular al plano de la placa rectangular, nos guiaremos de una gráfica que muestre los distintos elementos que componen la placa rectangular como son el diferencial de área dA=dydx, el área total del rectángulo A=ab, la masa diferencial dm y la masa total M.

De los elementos dados en esta gráfica vamos a relacionar la densidad de un pequeño diferencial de masa dm, con la densidad de la masa total M, luego vamos a proceder a despejar dm y a sustituirla en la expresión para la integral doble que nos permitirá hallar el momento de inercia de una placa rectangular con respecto a un eje que pasa por el punto O que se encuentra en el centro del rectángulo y es perpendicular al plano donde se encuentra el rectángulo.

Después de despejar dm lo único que nos queda es sustituir este valor en la integral doble, que integraremos en el intervalo (x) desde 
-b/2 hasta b/2, y en el intervalo (y) desde -a/2 hasta a/2, luego vamos a proceder a integrar por parte cada una de la variables xy que componen la integral doble, advertimos que el proceso de integración es el mismo que si se hiciera con una sola variable, la única diferencia es que integraremos ambas variables una después de la otra.

 
Y como se puede observar el momento de inercia de una placa rectangular alrededor de un eje que atraviesa perpendicularmente una placa rectangular por su centro O es.

Vea también
Momento de inercia de una esfera hueca
Inercia de una esfera sólida
Inercia de un cilindro hueco, sólido y hueco con pared delgada respectivamente
Inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme [parte 1]
Inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme [parte 2]
Inercia de una varilla delgada con densidad uniforme
Inercia de una varilla delgada con densidad variable
Reglas básicas de derivación e integración
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación