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lunes, 29 de febrero de 2016

Centro de masa o centro de gravedad

El tema de encontrar el centro de masa o de gravedad de un objecto es un tema de vital importancia en asuntos ingenieriles y en el mundo de la acrobacia, ya que en el caso especial de un acróbata este debe estar bien consciente de su punto de centro de masa para mantener el equilibrio en rutinas en la que es imprescindible tener control del movimiento.
Aunque no soy la persona ideal para hablar de acrobacias ya que en toda mi vida no he realizado una actividad en la que mantener el equilibrio se convierta en un asunto de vida o muerte, como es el caso de muchos acróbatas.
Ahora bien no hay que ser un experto en estas disciplinas para saber que el equilibrio juega un papel preponderante.
Un ingeniero por su parte debe tener un conocimiento físico y analítico de la ubicación del centro de gravedad de una estructura ya que de ello podría depender las vidas de las futuras personas que habiten este espacio estructural, si por ejemplo un ingeniero sabe que en un punto especifico de una edificación converge la mayor cantidad de masa pues si este ingeniero tiene un poco de sentido común deberá tener este punto bien presente ya que la presión del peso en las columnas o vigas en este punto podría ser tan importante que si este punto no se refuerza la edificación podría colapsar por efecto de su propio peso y tornarse en un peligro para los que habitan este edificio, por tanto éste es el porqué es importante a nivel científico conocer como obtener el centro de masa o de gravedad de una masa con alguna forma geométrica

¿Qué es el centro de masa o de gravedad?
El centro de masa de un conjunto de puntos donde se encuentra la masa distribuida, es el punto de equilibrio de dicha masa, es decir es un punto que actúa como si toda la masa estuviera concentrada allí, de tal manera que si logramos localizar este punto entonces podemos alcanzar el equilibrio de un cuerpo que esté representado por una distribución de masa.
Aunque hemos hablados de equilibrio este no es único objetivo de conocer el centro de gravedad de un objecto, ya que la información de dónde se encuentra localizado el centro de masa puede ser utilizado por un ingeniero electromotriz para darle más tracción a las ruedas de un vehículo.
Dicho todo esto podemos decir que matemáticamente el centro de masa de un conjunto de masa localizada en los puntos {(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),·······,(xi,yi,zi)}

Cuando se trata de una distribución de masa que sigue un función matemática a lo largo de un plano coordenado (x,y,0), el centroide o centro de masa se puede calcular mediante estas expresiones matemáticas.

Estas expresiones se pueden deducir observando las siguientes gráficas, ya que la posición x del centro de masa de un rectángulo diferencial es (xdm)/M=(pxydx)/pA , donde p es la densidad, y la posición [y] del centro de masa de este mismo rectángulo va a ser 
[(y/2)dm]/M=[p(y/2)(ydx)]/pA=[(y2/2)dx]/A

Como ya es costumbre en este blog vamos a ver como aplicar las expresiones que nos permiten hallar el centroide o centro de masa de un sistema de partículas u objectos, primero vamos a ver como obtener el centro de masa o de gravedad de un sistema lineal de diferentes masas ubicadas en diferentes puntos en el eje x.

Centro de masa del sistema solar
1- a) ¿A qué distancia del sol se encuentra ubicado el centro de masa Sol-Júpiter, si la masa del sol es de 1.99x1030kg y la de júpiter es de 1.90x1027 y la distancia media del centro de masa del Sol al centro de masa de Júpiter es 7.78x1011m.
b) ¿El centro de masa del sistema Sol-Júpiter queda dentro del sol?
Solución:
a) En este pequeño problema lo primero que haremos es tomar el eje x como el eje que une el Sol con Júpiter con origen x1=0 y lo ubicaremos en el centro de masa o centro geométrico del Sol, por lo que colocaremos a Júpiter a la distancia x2 = 7.78x1011 que es la distancia orbital de Júpiter respecto al Sol, y con estos datos vamos a calcular el centro de masa del sistema Sol-Júpiter.
b) Una vez encontrado el  centro de masa procedemos a comparar esta distancia con el radio ecuatorial del Sol rs=6.96x108m  y si la distancia del centro de masa con respecto al centro del Sol es menor que el radio ecuatorial entonces concluiremos que el centro de masa está dentro del Sol.
La masa del Sol es de m1=1.99x1030kg, mientras la masa de Júpiter es de m2=1.90x1027kg, ya con estos datos estamos preparado para calcular el centro de masa de este sistema Sol-Júpiter.


Y como se puede ver el centro de masa Sol-Júpiter xcm=7.42x108m es mayor que el radio ecuatorial solar, por lo que el centro de masa queda ubicado fuera del Sol pero muy próximo a este, y como el Sol y Júpiter son los dos cuerpos más masivos del sistema solar nos atreveríamos a decir que el centro del sistema solar queda aproximadamente en xcm=7.42x108m a unos  8.2x108m del Sol.

Punto de equilibrio
Dadas dos masas m1= y m2= con 20kg y 50kg respectivamente, ¿A qué distancia de m1= se debe colocar la silla triangular que se muestra en la figura para que las masas m1= y m2= permanezcan en equilibrio si los centros de masas de m1= y m2= están separados una distancia de 6m?
 
Solución:
Lo primero que haremos es colocar la masa m1= en la posición x1=0 y la masa m2= en la posición x2=L=6m y partiendo de estos datos vamos a proceder a sustituirlos en la fórmula que nos permite calcular el centro de masa de dos partículas ubicadas sobre un mismo eje que en nuestro caso tomaremos el eje x, el proceso de resolución de este problema se muestra a continuación.

Y como se ver de la resolución anterior el centro de masa xcm=4.289m, lo que nos parece una respuesta lógica que el centro de masa esté más cerca de m2= que de m1= ya que la mayor masa la contiene el objecto con masa m2=.

Centro de masa de una distribución de masa
Ahora nos dedicaremos a hallar el centro de masa de una región con masa distribuida a lo largo y a lo ancho de una región plana xy.

1- a) Halle el centro de masa de la función matemática que genera el área del semicírculo en el intervalo -r≤x≤r.
b) ¿Cuánto vale el centro de masa si r=4m?

Solución:
a) Lo primero que haremos es utilizar las definiciones del centro de masa para una masa distribuida en una región plana xy y procederemos a tomar una integral definida en el intervalo -r≤x≤r y luego simplificaremos esta integral para encontrar el centro de gravedad de esta región.
b) una vez obtenida una expresión general para el centro de masa para este semicírculo en función del radio r vamos a sustituir el valor r=4m para obtener el centro de masa de un semicírculo con este radio.


Y como se puede ver el centro de masa de un semicírculo con radio r es cm(0,[4r/3π]).

b) Y entonces el centro de masa de un semicírculo cuyo radio es r=4m es.

Y el centro de masa es cm(0m,1.698m).

2- a) Hallar el centro de gravedad de la región plana limitada por 0≤y≤x2 y 0≤x≤b.
b) ¿Cuál es la coordenada del centro de gravedad si b=4?

Solución:
Bueno primeramente vamos a utilizar las definiciones para el centro de masa en las coordenadas x e y, luego integraremos la función y=x2 en el intervalo que va de 0≤x≤b para encontrar el área coloreada de amarillo en la figura de arriba, por ultimo vamos a encontrar el centro de masa cm(x,y) de esta región.


Y el centro de masa de la región plana delimitada por 0≤y≤x2 y 0≤x≤b es cm([3b/4],[3b2/10]).

b) Y la coordenada del centro de masa cm cuando b=4 es.

Bueno este tema es bien extenso así que para una próxima oportunidad estaremos hablando del centro aplicado en tres dimensiones o de manera tridimensional.
Vea también
Reglas básicas de integración
Área de un triángulo, un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas
Momento de inercia de una esfera sólida
Momento de inercia de un cilindro sólido

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